第2讲 速算与巧算（裂项法）
1、分数裂项法
将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法。

裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。

遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。

(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1
a b ⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有
1111()
a b b a a b =-⨯- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：
1
(1)(2)
n n n ⨯+⨯+，1
(1)(2)(3)
n n n n ⨯+⨯+⨯+形式的，我们有：
1111
[]
(1)(2)2(1)(1)(2)
n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+++
1111
[]
(1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)
n n n n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+
裂差型裂项的三大关键特征：
（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。

（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”
（3）分母上几个因数间的差是一个定值。

2、整数裂项法：
裂项思想是：瞻前顾后，相互抵消。

例如：1223344950⨯+⨯+⨯++⨯=_________； 设S ＝1223344950⨯+⨯+⨯+
+⨯
1×2×3＝1×2×3
2×3×3＝2×3×（4－1）＝2×3×4－1×2×3 3×4×3＝3×4×（5－2）＝3×4×5－2×3×4 ……
49×50×3＝49×50×（51－48）=49×50×51－48×49×50 3S ＝1×2×3＋2×3×3＋3×4×3＋…＋49×50×3＝49×50×51 S ＝49×50×51÷3＝41650
例1：
111111223344556
++++=⨯⨯⨯⨯⨯ 。

练习：（1）
111
......101111125960+++
⨯⨯⨯ （2）
22
2210998
5443
+++
+=⨯⨯⨯⨯
例2：1111
133557
99101
++++
=⨯⨯⨯⨯
练习：（1）111
125133557
2325⎛⎫
⨯++++
=
⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭
（2）
251251251
251251
488121216
2000200420042008
++++
+
⨯⨯⨯⨯⨯
例3：11111111()1288244880120168224288
+++++++⨯=
练习：（1）11111111
612203042567290+
++++++= （2）111111
13
610152128
+++
+++= （3）111111111
2
612203042567290
--
------ （4）
11111104088154238
++++=
例4：
11
1123234
789++
+
⨯⨯⨯⨯⨯⨯
练习：（1）
11
1
123234
9899100++
+
⨯⨯⨯⨯⨯⨯
（2）
111
1
135357579
200120032005+++
+
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯
（3）
999897
1
123234345
99100101
+++
+
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯
例5：（1）
234
50
1(12)(12)(123)(123)(1234)
(12349)(1250)
+++
+
⨯++⨯++++⨯++++++
+⨯++
+
（2）
111111212312100++++
+++++
+
练习：（1）
23
10
1112(12)(123)
(1239)(12310)
---
-
⨯++⨯+++++
+⨯+++
+（）
（2）
3245671255771111161622222929++++++=⨯⨯⨯⨯⨯⨯
例6：1×2＋2×3＋3×4＋…＋99×100
例7：3×5＋5×7＋7×9＋…＋99×101
例8：1×2×3＋2×3×4＋3×4×5＋…＋99×100×101
例9：10×16×22＋16×22×28＋22×28×34＋…＋76×82×88
例10：（1）122334(1)⨯+⨯+⨯+
+⨯+n n
（2） （3）
综合练习：
分数裂项法主要有以下几种方式：
一、
1
1
1)1(1+-=+n n n n
1、60
591
1211111101⨯++⨯+⨯
2、90
172156142130120112161+++++++
3、100
9932114321132112111++++++++++++++++
4、从1到100这100个自然数中任取10个数，使它们的倒数和等于1，这10个数分别是多少？
5、90
197218561742163015201412136121++++++++ 6、120
110519117816615514513612812111511016131+++++++++++++
7、★56
15
42133011209127311-+-+-
8、★
19800
140124112141+++++
二、
⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+k n n k k n n 111)(1 ⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-=+k n n k n n k 11
)(
1、15
131131111191971751⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 2、100
9711071741411⨯++⨯+⨯+⨯ 3、17
141
11141119118158513521⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 4、99
163135115131++++ 5、10
71851741631521⨯++⨯+⨯+⨯+⨯ 6、22
201
641531421311⨯++⨯+⨯+⨯+⨯
7、120
180148124181++++
8、★200
4321432132121+++++++++++ 9、★
100
6421642142121+++++++++++
三、
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛++-+=++)2)((1
)(121)2)((1k n k n k n n k k n k n n 1、50
49481
6541543143213211⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯
2、100
98961
1086186416421⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯
3、99
97951
975175315311⨯⨯--⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯
4、84
12101120160124161+++++ 5、100
99982
6542543243223212⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯
四、
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+++-++=+++)3)(2)((1
)2)((131)3)2)((1k n k n k n k n k n n k k n k n k n n （ 1、20
1918171
654315432143211⨯⨯⨯++⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯
2、
630
1840136011201241++++
小学奥数总复习
五、用拆项法求复合型分数和
1、4
32332221⨯⨯+⨯+
2、
65432554324432332221⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯+
3、
11975311197531097538753653431⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯+
4、
99009899970297017271565542413029201912116521++++++++++
5、84832102091201196059242365+++++。