完全平方公式和平方差公式专项训练完全平方公式与平方差公式专项训练一、基本概念：1．平方差公式：()()a b a b +-=22a b -2．完全平方公式：2()a b +=222b ab a ++2()a b -=222a ab b -+3．完全平方公式重要变形：22a b +=2()2a b ab +- 22a b +=2()2a b ab -+ ()2a b +=2()4a b ab-+221[()()]4ab a b a b =+-- 注：将a +b 、a -b 、ab 看做整体进行变形，巧解问题4．配方法：逆用完全平方公式，化为完全平方式；关键点：寻找2a 、2ab 、2b 这三项中部分项；增添项：增添某些项，使之凑成完全平方；中间项注意考虑多解．二、强化练习：1．下列多项式中可以用完全平方公式计算的是（ ）A ．(2)(2)a b a b --B ．(2)(2)a b b a ---C ．(2)(2)a b b a ---+D ．(2)(2)a b b a --2．下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是（ ）A ．214m m -+ B ．22a b + C ．222a ab b -- D ．225a -+3．已知224250a a b b -+-+=，求a ，b 的值．4．用平方差公式或完全平方公式计算（必须写出运算过程）．（1）10298⨯； （2）299；（3）2100.2； （4）299199+；（5）2(5)a -； （6）(34)(34)m n m n -+-；（7）(()2)2a b a c b c -+-+； （8）2(23)a b c +-．（9）(23)(46)a b a b --+-； （10）2(21)(21)(41)m m m +-+=．5．小明在利用完全平方公式计算一个二项整式的平方时，不小心用墨水把最后一项染黑了，得到正确的结果变为2-+（），你觉得这一项应是________．412a ab6．材料：一般地，对于任意的a、b，由多项式的乘法法则可以得到22222+=++=+++=++a b a b a b a ab ab b a ab b()()()2222+=++即“完全平方公式”；()2a b a ab b又比如：222222-=+-=+-+=-+()[()]2()2a b a b a a b b a ab b计算：（1）小聪在进行整式乘法练习时，发现了如下的立方和公式：2233+-+=+a b a ab b a b()()①利用乘法法则，帮小聪写出立方和公式的推演过程；②根据因式分解与整式乘法之间的互逆关系，写出因式分解的立方和公式：____________________；（2）请模仿材料中的“转换”方法，分解因式：38a-．7．数形结合是一种重要的数学思想，借助这种方法我们可以将抽象的数学知识变得直观且具有可操作性，初中数学里的代数公式，有很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行推导和验证，例如完全平方公式．下面我们进行类似的探究：（1）如图，是用4个全等的长方形拼出的“回”字图案，将图形中的阴影部分的面积用两种方法表示，可以得到一个等式，这个等式为_______________________；（2）若2(32)9x y+=，利用上面的结论求xy的值．-=，2(32)5x y9．利用完全平方公式，可以将多项式2(0)a x m n++的形式，我们把这样()ax bx c a++≠变形为2的变形方法叫做多项2ax bx c++式的配方法．运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行分解因式．例如：2222211111125115115112411()()24()()()(8)(3)22242222x x x x x x x x x ++=++-+=+-=+++-=++ 根据以上材料，解答下列问题： （1）用配方法将多项式2310x x --化成2()x m n ++的形式；（2）用配方法及平方差公式对多项式2310x x --进行分解因式；（3）求证：不论x ，y 取任何实数，多项式222416x y x y +--+的值总为正数．8．如果22(3)1x k x +-+是一个用完全平方公式得到的结果，则k 的值是________．10．若三项式2421a a -+加上一个单项式后能用完全平方公式分解因式，请写出所有满足题意的单项式___________________________________________________________．11．图1是一个长为2m 、宽为2n 的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．（1）你认为图2中的阴影部分的正方形的边长等于________．（2）请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积．①______________________________；②______________________________．（3）观察图2你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗?2()m n +，2()m n -，mn ．（4）运用你所得到的公式，计算若2mn =-，4m n -=，求2()m n +的值．（5）求代数式22247x x y y ++-+的最小值．12．请你计算：(1)(1)x x -+，2(1)(1)x x x -++，…，猜想2(1)(1 )n x x x x -++++g g g 的结果是_________．13．已知3a b +=，1a b -=-，求：（1）22a b -的值；（2）ab 的值．14．（1）填空：()()a b a b -+=________；22()()a b a ab b -++=________；3223()()a b a a b ab b -+++=________．（2）猜想：1221()( )n n n n a b a a b ab b -----++++=g g g ________．（其中n 为正整数，且n ≥2）． （3）利用（2）猜想的结论计算：98732222 222-+-+-+g g g ．15．观察下列各式及其展开式：222()2a b a ab b +=++33223()33a b a a b ab b +=+++4432234()464a b a a b a b ab b +=++++554322345()510105a b a a b a b a b ab b +=+++++………请你猜想10()a b +的展开式第三项的系数是________．16．若1a b -=，则代数式222a b b --的值为________．17．有3张边长为a 的正方形纸片，4张边长分别为a 、b （b ＞a ）的矩形纸片，5张边长为b的正方形纸片，从其中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形（按原纸张进行无空隙、无重叠拼接），则拼成的正方形的边长最长可以为_______．18．算式222999038880577707++之值的十位数字为________．19．定义 a b c d 为二阶行列式．规定它的运算法则为 a b c dad bc =-．那么当1x =时，二阶行列式1 10 1x x --的值为________．20．填空：210x x ++________(x =+________2)．21．已知a ＞b ，如果1132a b +=，2ab =，那么a b -的值为________．22．填空：2(25)(a b --________42)425a b =-；()(x y z -+________22)()z x y =--．23．解方程：(6)(6)(9)0x x x x +---=24．先化简，再求值：(2)(2)(2)(2)x y y x y x y x -+-+-，其中1x =，2y =．25．观察下列算式：223941401⨯=-，224852502⨯=-，226575705⨯=-，228397907⨯=-…，请你把发现的规律用字母表示出来_______________________________．（给定字母m ，n ）26．化简：248(41)(41)(41)(41)3+++++．27．如果自然数a 是一个完全平方数，那么与a 之差最小且比a 大的一个完全平方数是________．28．如果对于不＜8的自然数n ，当31n +是一个完全平方数时，1n +能表示成k 个完全平方数的和，那么k 的最小值为________．29．由()m a b c ma mb mc ++=++，可得：2232222333()()a b a ab b a a b ab a b ab b a b +-+=-++-+=+，即2233()(a b a ab b a b +-+=+）…① 我们把等式①叫做多项式乘法的立方和公式．下列应用这个立方和公式进行的变形不正确的是（ ）A ．2233(4)(416)64x y x xy y x y +-+=+B ．2233(2)(42)8x y x xy y x y +-+=+C ．23(1)(1)1a a a a +++=+D ．3227(3)(39)x x x x +=+-+。