23.
x 2 a2 2 x + a dx = x + a + ln( x + x 2 + a 2 ) + C (a > 0). 2 2
2 2
3
2
n 1
七、 常见函数的泰勒 (Taylor ) 展开（ Maclaurin 展开的 Peano 余项） x 2 x3 + + o( x 3 )； 2! 3! x2 x4 (3) cos x = 1 − + + o( x 4 )； 2! 4! x3 3 5 x + o( x 5 )； (5) arcsin x = x + + 6 40 x 2 x3 (7)ln(1 + x ) = x − + + o( x 3 )； 2 3 (1) e x = 1 + x + 八、 常见的不定积分公式 1. 3. 5. 7. 9. 11. 13. 15. x3 x5 + + o( x 5 )； 3! 5! x3 2 (4) tan x = x + + x5 + o( x 5 )； 3 15 x 3 x5 (6)arctan x = x − + + o( x 5 ) 3 5 α (α − 1) 2 (8) (1 + x)α = 1 + α x + x + o( x 2 ). 2! (2) sin x = x −
1
五、 几个常见函数的导数 (1)
x ±a (3) 幂指函数的导数
2
(
x2 ± a2
)′ =
x
2
；
(2)
(
a2 − x2
)′ = −
x a − x2
2Hale Waihona Puke . (a > 0)设 y = u ( x)v ( x ) ( u ( x ) > 0 )，且 u ( x)、v ( x) 均可导，则 u′( x ) y′ = ( ev ( x ) ln u ( x ) )′ = ev ( x ) ln u ( x ) v′( x) ln u ( x) + v ( x) ⋅ u( x) u′( x) = u ( x )v ( x ) v′( x )ln u ( x ) + v( x) ⋅ . u ( x) 【注】：幂指函数的导数也可用对数求导法计算， ln y = v( x )ln u ( x )，则 1 u′( x) u′( x) ⋅ y′ = v′( x )ln u ( x ) + v( x) ⋅ ⇒ y′ = u ( x )v ( x ) v′( x )ln u ( x ) + v( x ) ⋅ . y u ( x) u ( x) (4) 设 y = (1 + x ) x ( x > 0)，求： y′. x x − ln(1 + x) − ln(1 + x ) ln(1+ x ) 1 ln(1x+ x ) ′ 1+ x x x ⋅ 1+ x e 1 . y′ = e x = ⋅ = + ( ) x2 x2 1 x ln(1 + x) > y = (1 + x ) x 在 (0， 当 x > 0 时， ，因此， + ∞) 上单调递减. 1+ x 1 由此可得，数列 an = 1 + 单调递增. n 六、 微积分中值定理
2
∫ sin xdx = − cos x + C ； ∫ csc
2
xdx = tan x + C ； 1 dx = arcsin x + C ；
xdx = − cot x + C ； dx = arctan x + C ；
1 − x2
∫ 1+ x ∫x ∫
1
2
∫ sec x tan xdx = sec x + C ； ∫ ax + b = a ln ax + b + C (a ≠ 0)； ∫x ∫
( f ′( x ) ≠ 0.)
四、 复合函数求导的链式法则 设函数 u = g ( x ) 在点 x 处可导，函数 y = f (u ) 在对应点 u = g ( x) 处可导， dy dy du 则复合函数 y = f ( g ( x) ) 在点 x 处可导，且 = ⋅ .即 dx du dx
( f ( g ( x)) )′ = f ′ ( g ( x) ) ⋅ g ′( x).
( )
(10) (cot x)′ = − csc 2 x； (12) (csc x)′ = − csc x cot x； 1 (14) (arccos x)′ = − ； 1 − x2 1 (16) (arc cot x)′ = − . 1 + x2 1 1 ′ 1 ′ x = ； =− 2. x 2 x x
二、 导数的四则运算法则 设 u = u ( x)， v = v ( x ) 为可导函数，则 u ′ u′v − uv′ (1) ( u ± v )′ = u′ ± v′； (2) (uv)′ = u′v + uv′；(3) = (v ≠ 0). v2 v (4) 若 uk = uk ( x) (k = 1， 2， L，n) 均为可导函数，则
1、罗尔 ( Rolle) 定理： 假设 f ( x) 在 [ a，b] 上满足 (1) f ( x) 在 [ a，b] 上连续； (2) f ( x) 在 (a，b ) 内可导； (3) f ( a ) = f (b ). ∃ξ ∈ ( a，b) 使得 f ′(ξ ) = 0. 则： 2、 拉格朗日 ( Lagrange) 中值定理： 假设 f ( x ) 在 [ a，b] 上满足 (1) f ( x) 在 [ a，b] 上连续； (2) f ( x) 在 ( a，b) 内可导； f (b ) − f (a ) ∃ξ ∈ ( a，b) 使得 f ′(ξ ) = 则： ； 或 f (b ) − f (a ) = f ′(ξ )(b − a ). b−a 3、 柯西中值定理：假设 f ( x)、g ( x) 在 [ a，b] 上满足 (1) f ( x)、g ( x) 在 [ a，b] 上连续； (2) f ( x)、g ( x) 在 (a，b ) 内可导； (3) g ′( x) ≠ 0. f (b) − f ( a ) f ′(ξ ) 则：∃ξ ∈ ( a，b) 使得 = . g (b) − g ( a ) g ′(ξ ) 【注】拉格朗日中值定理的几何意义： 在光滑连续曲线上一定存在平行于端点弦的切线. 其中的“中值” ξ 有时也表示为 ξ = a + θ (b − a )，其中： ( 0 < θ < 1)
2
∫ csc x cot xdx = − csc x + C ；
2
dx
1
1 dx x−a ln = + C； 2 −a 2a x + a dx = arcsin x + C； a
dx 1 x = arctan + C ； 2 +a a a dx x +a
2 2
17. 19. 21. 22.
a −x
2
∫ dx = x + C ； ∫ x dx = ln x + C ；
x ∫ a dx =
x α +1 2. ∫ x dx = + C (α ≠ 1)； α +1
α
1
4. 6. 8. 10. 12. 14. 16.
∫ e dx = e
x
x
+C ；
ax +C ； ln a
∫ cos xdx = sin x + C ； ∫ sec ∫
( u1u2 Lun )′ = u1′u2 L un + u1u2′ Lun + L + u1u2 Lun′.
三、 反函数的求导公式 设 y = f ( x ) 的反函数为 x = g ( y )，若 f ( x) 可导，则 g ( y ) 也可导，且
dx 1 1 = ，即 g ′( y ) = . dy dy f ′( x ) dx
2
18. 20.
= ln x + x 2 + a 2 + C；
(
)
∫ tan xdx = − ln cos x + C； ∫ sec xdx = ln sec x + tan x + C； ∫ ∫
a 2 − x 2 dx =
∫ cot xdx = − ln sin x + C；
x 2 a2 x a − x 2 + arcsin + C (a > 0)； 2 2 a
微积分(1)中常见的基本公式（一）
一、 16 个基本初等函数的导数公式
(1) (C )′ = 0； (3) (e x )′ = e x； 1 (5) (ln x)′ = ； x (7) (sin x)′ = cos x； (9) (tan x )′ = sec 2 x； (11) (sec x)′ = sec x tan x； 1 (13) (arcsin x )′ = ； 1 − x2 1 (15) (arctan x )′ = ； 1 + x2 【特别地】： (2) ( xα )′ = α xα −1； (4) (a x )′ = a x ln a (6) (log a x )′ = ( a > 0且 a ≠ 1)； 1 (a > 0且 a ≠ 1)； x ln a (8) (cos x)′ = − sin x；