圆周运动经典例题
A球转到最低点时速度为vA=4m/s,问此时A、B球对
杆的作用力的大小和方向?
B
vB
vA
A
解: 两球固定在一轻杆上,它们的角速度相同,由此
可知:
vA=4m/s时vB=1m/s 对A球:FA-mg=mvA2/OA 解出:FA=30N,于是A球对细杆的力大小为30N,方
向向下
对B球:设杆对球的作用力向下,则FB+mg=mvB2/OB
1、竖直平面内的圆周运动 (1)无支持物模型
临界条件:小球恰能过最高点
mg mv02 r
v0 gr
A、能过最高v点的条件gr:
B 、不能过最高点v 的条件g:r
实际是球还没到最高点时就脱离了轨道
思考:小球在竖直平面的运动情况?
(2)有支持物模型 临界条件:
小球恰能到最高点:v=0;
v轻杆 无g弹r力时:
时受杆的拉力F1及重力作用,如图甲所示,此时F1>mg。当小铁 块转至最高点时,铁块受向下的重力及拉力F2(或向上的支持力
F2),如图所示: 【解析】对铁块,由牛顿第二定律得:
甲:F1-mg=mω2r
①
乙:F2+mg=mω2r(或mg-F2=mω2r)
②
由①②两式得: F1±F2=2mω2r.
由牛顿第三定律知,铁块对杆、杆对电动机两个作用力的差即为:
下,要使水不流出来,瓶子的速度至少为
m/s,
若瓶子在最高点的速度为6m/s则瓶子对水的压力为
N,绳子受到的
v
拉力为______N。
N
mg
解: 在圆周的最高点,杯子中的水受到的杯底
对它的压力和重力的合力为向心力。
v
mg N m v2 r
而N压力0只能:
所以水不流出的条v件是:gr 3m/ s
若瓶子在最高点的速度为6m/s
2mω2r.
铁块转至最高点时,电动机对地面的压力FN最小为: FN=Mg±F2,其中M为电动机的质量.
电动机对地面的最大压力为:F′N=Mg+F1 故:FN′-FN=F1±F2=2mω2r
例6、如图所示,水平转台上放着A、B、C三物,质量 分别为2m、m、m,离转轴距离分别为R、R、2R,与 转台动摩擦因数相同,转台旋转时,下列说法正确的
a、当v=0时,N=mg
b、当0<v<gr 时,支持力N, 0<N<mg
mg – N = m v 2 r
gr c、当v= 时,N=0
grd、当v>
时T,+拉m力g T=
v2 m
r
例1、如图所示,长为L的轻杆,一端固定着一个小球, 另一端可绕光滑的水平轴转使小球在竖直平面内运动,
设小球在最高点的速度为v,
运动. 求:(1)质点由半径a到b所需的时间, (2)质点在半径为b的圆周上运动的角速度。
P
F
解:(1)绳子迅速放松后质点P沿切线做匀 速直线运动。如图所示,质点做匀速直线运
动S 的距b2 离 a为2 :
做匀速直线运动速度大小为 v a
所以质点由半径a到b所需的时间为 t S b2 a2
v a
r
解得: 6.5(rad / s)
故范围是:2.9弧度/秒≤ ≤ 6.5弧度/秒。
例8、如图所示,在水平固定的光滑平板上,有一质量 为M的质点P,与穿过中央小孔的轻绳一端连着。平板 与小孔是光滑的,用手拉着绳子下端,使质点做半径为 a、角速度为ω的匀速圆周运动.若绳子迅速放松至某一长 度b而拉紧,质点就能在以半径为b的圆周上做匀速圆周
N
则瓶子对水的压力为
v2 N m mg 3(N )
G
R
绳子受到的拉力为:T (m M ) v径为R=0.5m的光滑圆环(管 径远小于R)竖直放置,一小球(可看作质点直 径略小于管径)质量为m=0.2kg在环内做圆周运 动,求:小球通过最高点A时,下列两种情况下球 对管壁的作用力。 取g=10m/s2 ,求: (1) A的速率
为1.0m/s (2) A的速率为4.0m/s。
解:先求出弹力为0 时的速率v0
m
mg m v2 r
v0 rg 2.25m/ s
A
(1) v1=1m/s < v0 球应受到内壁向上的支持力N1
O
mg
N1
m
v12 r
N1 1.6(N)
(2) v2=4m/s > v0 球应受到外壁向下的弹力力N2 m
mg
N2
m
v22 r
N2 4.4(N)
A mg
由牛顿第三定律,球对管壁的作用力分别为:
N2 O
(1) 对内壁1.6N向下的压力 (2)对外壁4.4N向上的压力.
例4、 如图,轻细杆可绕光滑的水平轴O在竖直面内
转动,杆的两端固定有质量均为m=1kg的小球A和B,
球心到轴O的距离分别为O=0.8m,BO=0.2m。已知
解出:FB=-5N,于是B球对细杆的力大小为5N,方向
向下
B
vB
vA
A
例5、如图所示,在电动机上距水平轴O为r处固定一个 质量为m的铁块,电动机启动后达到稳定时,以角速度 ω做匀速圆周运动,则在转动过程中,电动机对地面的
最大压力和最小压力的数值之差为多少?
【思路点拨】当小铁块做匀速圆周运动时,小铁块转动至最低点
是(
)
A.若三物均未滑动,C物向心加速度最大
B.若三物均未滑动,B物受摩擦力最大
C.转速增加,A物比B物先滑动
D.转速增加,C物先滑动
例7、细绳一端系着质量M=0.6千克的物体,静止在水 平面,另一端通过光滑小孔吊着质量m=0.3千克的物体, M与圆孔距离为0.2米,并知M和水平面的最大静摩擦力 为2牛,现使此平面绕中心轴线转动,问角速度在什 么范围m会处于静止状态?(g取10米/秒2)
M O
r
m
解:当具有最小值时,M有向圆心运动 趋势,故水平面对M的摩擦力方向和指向圆心
方向相反,且等于最大静摩擦力2牛。
M rO
隔离M有:T fm M12r
m
解得: 2.9(rad / s)
当具有最大值时,M有离开圆心趋势,水平面对M摩擦力方向指向圆心, 大小也为2牛。
隔离M有:T
fm
M
2 2
则(
)
gLA.v的最小值为
B.v若增大,向心力也增大
C.当v由gL 逐渐增大时,杆对球的弹力也增大
D.当v由0逐渐增大时,杆对球的弹力先减小后增大
例2、杂技演员表演“水流星”,使装有水的瓶子在
竖直平面内做半径为0.9 m的圆周运动,若瓶内盛有100
g水,瓶的质量为400 g,当瓶运动到最高点时,瓶口向
(2)绳子绷直的瞬间,质点的法向 速度V2变为0,此后质点以切向速度V1