[学业水平训练]1．设x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥4，x －y ≥－1，x －2y ≤2，则z ＝x ＋y ( )A ．有最小值2，最大值3B ．有最小值2，无最大值C ．有最大值3，无最小值D ．既无最小值，也无最大值解析：选B.由图像可知z ＝x ＋y 在点A 处取最小值，即z m in ＝2，无最大值．2．设变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤10，0≤x ＋y ≤20，0≤y ≤15，则2x ＋3y 的最大值为( )A ．20B ．35C ．45D ．55解析：选D.作出可行域如图所示．令z ＝2x ＋3y ，则y ＝－23x ＋13z ，要使z 取得最大值，则需求直线y ＝－23x ＋13z 在y 轴上的截距的最大值，移动直线l 0：y ＝－23x ，可知当l 0过点C (5，15)时，z 取最大值，且z m ax＝2×5＋3×15＝55，于是2x ＋3y 的最大值为55.故选D.3．(2013·高考课标全国卷Ⅱ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －1≥0，x ≤3，则z ＝2x －3y 的最小值是()A．－7 B．－6C．－5 D．－3解析：选B.作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)．易知直线z＝2x－3y过点C时，z取得最小值．由⎩⎪⎨⎪⎧x＝3，x－y＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x＝3，y＝4，∴z m in＝2×3－3×4＝－6，故选B.4．直线2x＋y＝10与不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x≥0y≥0x－y≥－24x＋3y≤20，表示的平面区域的公共点有()A．0个B．1个C．2个D．无数个解析：选B.画出可行域如图阴影部分所示．∵直线过(5，0)点，故只有1个公共点(5，0)．5．已知实数x，y满足⎩⎪⎨⎪⎧y≥1，y≤2x－1，x＋y≤m.如果目标函数z＝x－y的最小值为－1，则实数m等于()A．7 B．5C．4 D．3解析：选B.画出x ，y 满足的可行域，可得直线y ＝2x －1与直线x ＋y ＝m 的交点使目标函数z ＝x －y 取得最小值，解⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，x ＋y ＝m得x ＝m ＋13，y ＝2m －13，代入x －y ＝－1，得m ＋13－2m －13＝－1，解得m ＝5.6．已知点P (x ，y )的坐标满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4，y ≥x ，x ≥1，点O 为坐标原点，那么|PO |的最小值等于________，最大值等于________．解析：画出约束条件对应的可行域，如图阴影部分所示，∵|PO |表示可行域上的点到原点的距离，从而使|PO |取得最小值的最优解为点A (1，1)；使|PO |取得最大值的最优解为B (1，3)，∴|PO |m in ＝2，|PO |m ax ＝10.答案：2107．(2013·高考大纲全国卷)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4，则z ＝－x ＋y 的最小值为________．解析：由不等式组作出可行域，如图阴影部分所示(包括边界)，且A (1，1)，B (0，4)，C (0，43)．由数形结合知，直线y ＝x ＋z 过点A (1，1)时，z m in ＝－1＋1＝0.答案：08．某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨、B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨、B原料不超过18吨，那么该企业可获得最大利润是________．解析：设该企业生产甲产品为x吨，乙产品为y吨，则该企业可获得利润为z＝5x＋3y，且⎩⎨⎧x≥0，y≥0，3x＋y≤13，2x＋3y≤18，联立⎩⎪⎨⎪⎧3x＋y＝13，2x＋3y＝18，解得⎩⎪⎨⎪⎧x＝3，y＝4.由图可知，最优解为P(3，4)．故z的最大值为z＝5×3＋3×4＝27(万元)．答案：27万元9．已知x，y满足条件⎩⎪⎨⎪⎧y≤x，x＋2y≤4，y≥－2，若r2＝(x＋1)2＋(y－1)2(r>0)，求r的最小值．解：作出不等式⎩⎨⎧y≤x，x＋2y≤4，y≥－2所表示的平面区域如图：依据上图和r的几何意义可知：r的最小值是定点P(－1，1)到直线y＝x的距离，即r m in＝|1＋1|2＝ 2.10．某工厂制造A种仪器45台，B种仪器55台，现需用薄钢板给每台仪器配一个外壳．已知钢板有甲、乙两种规格：甲种钢板每张面积2 m2，每张可作A种仪器外壳3个和B种仪器外壳5个．乙种钢板每张面积3 m2，每张可作A种仪器外壳6个和B种仪器外壳6个，问甲、乙两种钢板各用多少张才能用料最省？(“用料最省”是指所用钢板的总面积最小)解：设用甲种钢板x张，乙种钢板y张，依题意⎩⎪⎨⎪⎧x，y∈N，3x＋6y≥45，5x＋6y≥55，钢板总面积z＝2x＋3y.作出可行域如图所示中阴影部分的整点．由图可知当直线z＝2x＋3y过点P时，z最小．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x＋6y＝45，5x＋6y＝55得⎩⎪⎨⎪⎧x＝5，y＝5.所以甲、乙两种钢板各用5张用料最省．[高考水平训练]1．若实数x，y满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y≥0x－y≤42x－y－2≥0，则w＝y－1x＋1的取值范围是() A．[－1，13] B．[－12，13]C．[－12，2) D．[－12，＋∞)解析：选C.把w＝y－1x＋1理解为一动点P(x，y)与定点Q(－1，1)连线斜率的取值范围，可知当x＝1，y＝0时，w m in＝－12，且w＜2.2．若实数x、y满足⎩⎪⎨⎪⎧x－y＋1≥0，x＋y≥0，x≤0.则z＝3x＋2y的最小值是________．解析：由不等式组，得可行域是以A (0，0)，B (0，1)，C (－0.5，0.5)为顶点的三角形，易知当x ＝0，y ＝0时，z ′＝x ＋2y 取最小值0.∴z ＝3x ＋2y 的最小值为1.答案：1 3．某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐，已知1个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C ；1个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.如果1个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？解：法一：设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x 个单位和y 个单位，所花的费用为z 元，则依题意，得z ＝2.5x ＋4y ，且x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，12x ＋8y ≥64，6x ＋6y ≥42，6x ＋10y ≥54，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，3x ＋2y ≥16，x ＋y ≥7，3x ＋5y ≥27.作出可行域如图，则z 在可行域的四个顶点A (9，0)，B (4，3)，C (2，5)，D (0，8)处的值分别是z A ＝2.5×9＋4×0＝22.5， z B ＝2.5×4＋4×3＝22， z C ＝2.5×2＋4×5＝25， z D ＝2.5×0＋4×8＝32.比较之，z B 最小，因此，应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐，就可满足要求．法二：设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x个单位和y个单位，所花的费用为z 元，则依题意，得z＝2.5x＋4y，且x，y满足⎩⎪⎨⎪⎧x≥0，y≥0，12x＋8y≥64，6x＋6y≥42，6x＋10y≥54，即⎩⎪⎨⎪⎧x≥0，y≥0，3x＋2y≥16，x＋y≥7，3x＋5y≥27.作出可行域如图，让目标函数表示的直线2.5x＋4y＝z在可行域上平移，由此可知z＝2.5x＋4y在B(4，3)处取得最小值．因此，应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐，就可满足要求．4．已知实数x、y满足⎩⎪⎨⎪⎧x＋y－3≥0，x－y＋1≥0，x≤2，(1)若z＝2x＋y，求z的最大值和最小值；(2)若z＝x2＋y2，求z的最大值和最小值；(3)若z＝yx，求z的最大值和最小值．解：不等式组⎩⎨⎧x＋y－3≥0，x－y＋1≥0，x≤2表示的平面区域如图阴影部分所示．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，x －y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，∴A (1，2)； 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，x －y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3，∴M (2，3)； 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，x ＋y －3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1，∴B (2，1)． (1)∵z ＝2x ＋y ，∴y ＝－2x ＋z ，当直线y ＝－2x ＋z 经过可行域内点M (2，3)时，直线在y 轴上的截距最大，z 也最大，此时z m ax ＝2×2＋3＝7.当直线y ＝－2x ＋z 经过可行域内点A (1，2)时，直线在y 轴上的截距最小，z 也最小，此时z m in ＝2×1＋2＝4.∴z 的最大值为7，最小值为4.(2)过原点(0，0)作直线l 垂直于直线x ＋y －3＝0，垂足为N ，则直线l 的方程为y ＝x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，x ＋y －3＝0，得⎩⎨⎧x ＝32，y ＝32，∴N ⎝⎛⎭⎫32，32. 点N ⎝⎛⎭⎫32，32在线段AB 上，也在可行域内．此时可行域内点M 到原点的距离最大，点N 到原点的距离最小．又|OM |＝13，|ON |＝92， 即92≤x 2＋y 2≤13，∴92≤x 2＋y 2≤13，∴z 的最大值为13，最小值为92.(3)∵k OA ＝2，k OB ＝12，∴12≤yx ≤2，∴z 的最大值为2，最小值为12.。