北京大学2018年博雅计划数学试卷选择题共20小题，在每小题的四个项中，只有一项符合题目要求，请把正确选项的代号填在表格中，选对得5分，选错扣1分，不选得0分。

1. 设n 为正整数，)!(!!k n k n C k n-=为组合数，则201820182201812018020184037...53C C C C ++++等于（ ）A. 201822018⋅B. 2018！C. 20184036C D. 前三个答案都不对【答案】D 解析：111111(21)222nn n nn nnk k k k k k knnnn nn n k k k k k k k k CkC C nCC n CC ----=======+=+=+=+∑∑∑∑∑∑∑， 201820182018122018120182018201820182018201720180135...4037(21)22018k k kk k k CC CCk C CC -===∴++++=+=⨯⨯+∑∑∑ 20172018201840362220192=⨯+=⨯，故选D 。

2. 设a ，b ，c 为非负实数，满足a +b +c =3，则a +ab +abc 的最大值为（ ）A. 3B. 4C. 23D. 前三个答案都不对 【答案】B解析：22(1)(4)(1(1))1144b c a a ab abc a b c a a ⎛⎫⎛⎫++-++=++≤+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，对其求导得到2a =时取最大值为4。

3. 一个正整数n 称为具有3-因数积性质若n 的所有正因数的乘积等于3n ，则不超过400的正整数中具有3-因数积性质的数的个数为（ ）A. 55B. 50C. 51D. 前三个答案都不对 【答案】C解析：设n 的所有正因数的乘积为T ，即3T n =。

1n =显然符合题意；下面证明当2n ≥时，正整数n 的质因数的个数最多为2：假设n 的质因数的个数大于或等于3，即n 的全部质因数为12,,...,(3)k p p p k ≥，并设1212...k k n p p p ααα=，则n 的所有正因数的乘积中，(1,2,...)i i p i k α=至少在12112,,,...,,...,,...i i i i i i i i i i i i i i i k i k p p p p p p p p p p p p p p ααααααα-+这些因子中出现，即i i p α出现的次数大于或等于4，这样T 124412(...)k k p p p n ααα≥=，这与题意3T n =矛盾，所以假设不成立，即n 的质因数的个数最多为2。

若n 只有一个质因数，设n p α=，则(1)2332...5T p p p p n p ααααα+=⋅⋅⋅===⇒=，此时只有质数23p =或满足400n ≤；若n 有两个质因数，设(,)n p q p q αβαβ=≠≥，此时(1)(1)(1)(1)33322T pqn p q ααβββααβ++++===，解得2,1αβ==，即2n p q =：p 取2时q 有24个取值，p 取3时q 有13个取值，p 取5时q 有5个取值，p 取7时q 有3个取值，p 取11时q 有2个取值，p 取13时q 有1个取值； 综上，所求总个数=1+2+24+13+5+3+2+1=51个。

4. 已知复数i z 2sin 1+=θ，θcos 12i z +=，则21221-14iz z iz z -+的最小值为（ ）A. 2B. 22C. 32D. 前三个答案都不对【答案】B解析：21212sin cos 3||10sin 2z iz i z iz θθθ+=-+⇒+=-，1212sin cos ||2sin 2z iz i z iz θθθ-=++⇒-=+，2121214-2sin 2222sin 22sin 22sin 2z iz z iz θθθθ+∴===+≥-+++，取等条件为：2sin 2sin 202sin 2θθθ=+=+。

5. 设A 是不超过2018的正整数组成的集合，对于正整数k ，用k a 表示所有可能的A 中k 个数乘积的倒数之和，则201842...a a a +++的值为（ ）A. 1B.22019 C. 22017D. 前三个答案都不对【答案】C解析：12320181111232019...(1)(1)(1)...(1)1...120181232018122018a a a a ++++=++++-=⋅⋅⋅-=，123201720181111...(1)(1)(1)...(1)111232018a a a a a -+-+-+=-----=-，两式相加即得242018201812017...22a a a -+++==。

6. 已知实数a ,b ,c 成公差非0的等差数列，在平面直角坐标系中，点P 的坐标为（-3，2），点N 的坐标为（2，3），过点P 作直线ax +by +c =0的垂线，垂足为点M ，则M,N 间的距离的最大值与最小值的乘积是（ ）A. 10B. 26C. 24D. 前三个答案都不对【答案】A解析：由等差中项性质得2a c b +=，可见直线ax +by +c =0过定点(1,2)Q -，设垂足00(,)M x y ，则22000(1)8PM QM PM QM x y ⊥⇔⋅=⇒++=，即点M 在圆T ：22(1)8x y ++=上，点N 到圆心T 的距离||32NT =max min ||||(||22)(||22)10MN MN NT NT ⋅=+-=。

7. 设2018212018,21,...,,...,,b b b a a a 是4036个实数，201821,...,,a a a 互异，满足对任意的i ）（20181≤≤i 都有122018()()...()i i i a b a b a b +++=2018，则对任意的j ）（20181≤≤j))...()((201821j j j b a b a b a +++的值为（ ）A. 2018B. -2018C. 不能确定D. 前三个答案都不对【答案】B解析：由12201812018,()()...()2018i i i i a b a b a b ∀≤≤+++=恒成立可得：122018122018()()()...()2018()()...()f x x b x b x b x a x a x a =+++-=---，上式两边令j x b =-即得122018()()...()2018j j j a b a b a b +++=-。

8. 用[x]表示不超过实数x 的最大整数，例如[π]=3,[-π]= -4. 设n 为正整数，用n a 表示当[)n x ,0∈时，函数]][[)(x x x f =的值域中的元素的个数，则使得n a n 2018+最小的n 的取值为（ ） A. 63 B. 1009 C. 2018D. 前三个答案都不对【答案】A解析：令(01,01)x k r k Z k n r =+∈≤≤-≤<且，当0k =时[]0x x =；1k ≥时，则22[]()k x x k r k k k ≤=+<+，[]x x 有k 个取值；(1)112 (112)n n n a n -∴=++++-=+， 所以220184038140381(1)(240381)222n a n n n n n n +-+==+-≥-，当[4038][4038]1n =+或时n a n 2018+最小，而[4038]63=，6364201820186364a a ++>，故n =64时最小，选D 。

9. 已知ABC ∆的面积为1，D,E 分别为边BC,CA 上的点，且BC BD 31=,CA CE 31=,AD 和BE 交于点P ，则四边形PDCE 的面积是（ ）A.92B.72 C. 218 D. 前三个答案都不对【答案】B 解析：12()()(1)33AP AB BP AB BE AB BC CE AB AC AB AC AB AC λλλλλ=+=+=++=+--=-+，又1121()3333AP AD AB AC AB AB AC μμμμ==+-=+。

比较两式得37λ=，所以316612737737PDCE BCE BDP BCE BCE BCE ABC S S S S S S S ∆∆∆∆∆∆=-=-⋅⋅==⋅=。

10. 设实数x ,y 满足14522=+y x ，则12122222+-+++-+x y x y y x 的最小值为（ ） A. 52 B. 2-52 C. 2-52 D. 前三个答案都不对【答案】C解析：22222121x y y x y x +-++-+14522=+y x 上动点(,)M x y 到定点(0,1)N 与定点(1,0)F 的距离之和，F 为椭圆右焦点，设左焦点为'(1,0)F -，则22222121||||2|'|||x y y x y x MF MN a MF MN +-++-+=+=-+2|'|252a F N ≥-=11. 设关于x 的方程01222=+---ax a x a x 有3个互不相同的实根，则实数a 的取值范围是（ ）A. [)∞+，1 B. (]1--，∞ C. [)(]1,00,1⋃- D. 前三个答案都不对 【答案】D解析：222222210()210()21x a x a ax x a a x a a x a a a ---+=⇔---+-=⇔--=-，2221021a x a a a ⎧-≥⎪∴⎨-=-⎪⎩，要使原方程有三个互不相等实根，则222210210210a a a a a ⎧->⎪⎪+->⎨⎪--=⎪⎩或222210210210a a a a a ⎧->⎪⎪+-=⎨⎪->⎪⎩，解得1a =，故选D 。

12. 把正整数中的非完全平方数从小到大排成一个数列{}(1)n a n ≥，例如，21=a ，32=a ，53=a ，64=a ，…，则2018a 的值为（ ）A. 2061B. 2062C. 2063D. 前三个答案都不对【答案】C解析：222441936,452025,462116===，即小于2018的数中共有44个完全平方数，所以20184419742018a a -==，201820184412063a ∴=++=（2025是完全平方数，不在该数列中）。

13. 15人围坐在圆桌旁，从中选出4人使得其中任意两人都不相邻的选法数为（ ）A. 1820B. 450C. 360D. 前三个答案都不对【答案】B解析：从15人中任选4人的方法总数为415C ：若选出的4个人刚好顺序相邻，情况种数=15；若选出的4人中有3人顺序相邻，其余1人与他们隔开，情况种数=1510150⨯=；若选出的4人可分成两两一组，其中每组内部两人相邻，但整体两组不相邻，情况种数=1015752⨯=；若选出的4人中只有两人相邻，其他两人跟他们彼此不相邻，情况种数=15(987...1)675⨯++++=。