1 函数基本性质——奇偶性知识点及经典例题

一、函数奇偶性的概念：

①设函数yfx的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有xD，

且fxfx，则这个函数叫奇函数。

（如果已知函数是奇函数，当函数的定义域中有0时，我们可以得出00f）

②设函数ygx的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有xD，

若gxgx，则这个函数叫偶函数。

从定义我们可以看出，讨论一个函数的奇、偶性应先对函数的定义域进行判断，看其定义域是否关于原点对称。也就是说当x在其定义域内时，x也应在其定义域内有意义。

③图像特征

如果一个函数是奇函数这个函数的图象关于坐标原点对称。

如果一个函数是偶函数这个函数的图象关于y轴对称。

④复合函数的奇偶性：同偶异奇。

⑤对概念的理解：

(1)必要条件：定义域关于原点成中心对称。

(2))(xf与)(xf的关系：

当)()(xfxf或0)()(xfxf或1)()(xfxf时为偶函数；

当)()(xfxf或0)()(xfxf或1)()(xfxf时为奇函数。

二、函数的奇偶性与图象间的关系：

①偶函数的图象关于y轴成轴对称，反之也成立；

②奇函数的图象关于原点成中心对称，反之也成立。

三、关于函数奇偶性的几个结论：

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①若)(xf是奇函数且在0x处有意义，则(0)0f

②偶函数 偶函数=偶函数；奇函数奇函数=奇函数；

偶函数偶函数=偶函数；奇函数奇函数=偶函数；

偶函数奇函数=奇函数

③奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，

偶函数在对称的单调区间内具有相反的单调性.

（二）、关于函数奇偶性的运用

1．利用奇偶性求函数式或函数值

1．设函数)(xf为定义域为R上奇函数，又当0x时2()23fxxx，试求)(xf的解析式。

2.已知yfx是奇函数，当0x时，221fxxx，求当0x时，fx得解析式。

3.设函数()fx是定义域R上的奇函数，(2)()fxfx，当01x时，()fxx，求(7.5)f的值

5.已知函数53()4fxaxbx，若(2)0f，求(2)f的值。

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6．若函数()fx是偶函数，则)211()21(ff 。

7.已知fx是偶函数，gx是奇函数，且11fxgxx，试求fxgx与的表达式。