《近世代数》课程教学大纲
MODERN ALGEBRA
（2009年10修订，潘庆年执笔）
一、课程的适用专业、学时及学分
本课程的适用专业为：数学与应用数学专业，68学时，4学分。

二、课程的性质、目的和任务
近世代数是数学与应用数学专业一门必修的专业基础课，是现代数学的重要基础之一。

通过本课的学习，能够使学生掌握群、环、域的基础知识，深刻理解和体会公化这一现代数学的思想方法，同时掌握代数的一些基本方法：集合、运算、运算性质，特殊元素，特殊子对象，商对象，同态同构，为学生的进一步学习提供理论基础和方法保证，加深对中等数学中代数体系的理解。

三、与其它课程的联系
本课程的学习需要一定集合论和高等代数的基础，对数论、组合论、离散数学的学习有一定的帮助。

四、课程的基本内容、重点及难点
（一）基本概念
1、集合及其运算。

2、映射，映射的合成，一一映射，可逆映射击，一一映射与可逆映射的关系。

3、代数运算及其运算律。

4、同态，同构，自同态，自同构。

5、等价关系，集合元素的分类，二者的关系。

重点及难点：同态、同构等价关系与集合元素的分类
（二）群
1、群的定义及其等价条件。

2、群的同态及其性质。

3、变换群，Cayley定理。

4、置换群，置换的循环表方法，交代群。

5、循环群，整数加群Z和模n剩余类加群Z n，结构定理。

6、子群及子群的陪集，Lagrange定理。

7、不变子群，商群，同态基本定理。

重点及难点：群的定义，循环群与置换群，不变子群与商群，同态基本定理。

（三）环与域
1、环的定义及简单性质，几类常用的环的实例。

2、交换律，单位元，可逆元，零因子，正则元，整环。

3、除环和域，四元数除环，域中元的运算。

4、无零因子环的特征。

5、子环，环的同态及同态映射的性质。

6、多项式环，同态及代入法，未定元的存在性。

7、理想，剩余类（商）环，同态基本定理。

8、极大理想，域的构作。

9、分式域的存在条件及其构作方法
重点与难点：环（域）的概念，几类常用环的性质，理想与商环，同态及同态基本定理。

（四）整环的因子分解理论
1、整除，因子与平几因子，相伴元，素元，唯一分解。

2、唯一分解环及其等价条件，最大公因子，互素。

3、主理想环，升链条件，极大理想与素元的关系。

4、欧氏环、唯一分解环、主理想环及其之间的关系。

5、多项式环的因子分解，根。

重点与难点：素元，唯一分解问题。

（五）扩域
1、扩域，素域，最小扩域F（S）的构造及其性质。

2、代数元与超越元，单代数扩域的同构定理，单超越扩域的同构定理。

3、代数扩域，有限扩域，二者的关系
4、多项式的分裂域，存在及其唯一性。

5、有限域，有限域的阶，多项式x q-x的分裂域。

重点与难点：单扩F（α）的同构定理，代数扩域，分裂域的存在及唯一，有限域的性质。

六、教材与教学参考书
[1] 张禾瑞. 近世代数基础. 北京:高教出版社, 2000年（选用教材）.
[2] 刘绍学. 近世代数基础. 北京:高教出版社,2001年.
[3] 吴品三.抽象代数.北京:高教出版社,1984年.
[4] 杨子胥.近世代数.北京:高教出版社,2001年.
[5] 韩士安,林磊.近世代数.北京:科学出版社,2008年.
[6] 樊辉,刘宏伟.抽象代数.北京:科学出版社,2008年.
[7] 聂灵沼，丁石孙．代数学引论．北京：高等教育出版社， 1988
[8] T .W .Hungerford . Algebra. Berlin: Springer_verlag,1 974.
[9] Nathan Jacobson ． Basic Algebra (I) ． New York ：W. H. Freeman and Company ， 1985
[10] Joseph. J. Rotman. 抽象代数基础教程 ( 英文版). 第 2 版. 北京:机
械工业出版社 ,2004 年
[11]Joseph A Gallian ．Contemporary abstract algebra ． Boston :New York Houghton Mifflin Company ， 1998 ．
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