第9章9-4 直角三角形ABC 如题图9-4所示，AB 为斜边，A 点上有一点荷91 1.810C q -=⨯，B 点上有一点电荷92 4.810C q -=-⨯，已知0.04m BC =，0.03m AC =，求C 点电场强度E的大小和方向(cos370.8︒≈,sin370.6︒≈).解：如解图9-4所示C 点的电场强度为12E E E =+994111220 1.810910 1.810(N C )4π()(0.03)q E AC ε--⨯⨯⨯===⨯⋅ 994122220 4.810910 2.710(N C )4π()(0.04)q E BC ε--⨯⨯⨯===⨯⋅ C 点电场强度E的大小222244112 1.8 2.710 3.2410(N C )E E E -=+=+⨯=⨯⋅方向为4o142 1.810arctan arctan 33.72.710E E α⨯===⨯ 即方向与BC 边成33.7°。

9-5 两个点电荷6612410C,810C q q --=⨯=⨯的间距为0.1m ，求距离它们都是0.1m 处的电场强度E。

解：如解图9-5所示9661112201910410 3.610(N C )4π10q E r ε---⨯⨯⨯===⨯⋅ 96612222029108107.210(N C )4π10q E r ε---⨯⨯⨯===⨯⋅ 1E ，2E沿x 、y 轴分解611212cos60cos120 1.810(N C )x x x E E E E E -=+=︒+︒=-⨯⋅ 611212sin60sin1209.3610(N C )y y y E E E E E -=+=︒+︒=⨯⋅电场强度为 22619.5210(N C )x y E E E -=+=⨯⋅解图9-5解图9-4C题图9-46o69.3610arctan arctan 1011.810yx E E α⨯===-⨯9-12.一均匀带电球壳内半径16cm R =，外半径210cm R =，电荷体密度为53210m C ρ--=⨯⋅，求：到球心距离r 分别为5cm 8cm 12cm 、、处场点的场强． 解: 根据高斯定理0d ε∑⎰=⋅qS E s得2π4ε∑=q rE当5=r cm 时，0=∑q，得0=E8=r cm 时，∑q 3π4p=3(r )31R - ()20313π43π4rR r E ερ-=41048.3⨯≈1C N -⋅， 方向沿半径向外． 12=r cm 时,3π4∑=ρq -32(R ）31R ()42031321010.4π43π4⨯≈-=rR R E ερ1C N -⋅ 沿半径向外.9-13 两平行无限大均匀带电平面上的面电荷密度分别为+б和-2б,如题图9-13所示,(1)求图中三个区域的场强1E ，2E ，3E 的表达式；（2）若624.4310C m σ--=⨯⋅，那么，1E ，2E ，3E 各多大？解：（1）无限大均匀带电平板周围一点的场强大小为2E σε=在Ⅰ区域题图9-1310002222σσσεεε-=+=E i i i Ⅱ区域200023222σσσεεε=+=E i i i Ⅲ区域30002222σσσεεε=-=-E i i i （2）若624.4310C m σ--=⨯⋅则51102.5010(V m )2E i i σε-==⨯⋅ 512037.5010(V m )2E i i σε-==⨯⋅ 51302.5010(V m )2E i i σε-=-=-⨯⋅ 9-17 如题图9-17所示，已知2810m a -=⨯，2610m b -=⨯,81310C q -=⨯,82310C q -=-⨯，D 为12q q 连线中点，求：（1）D 点和B 点的电势； (2) A 点和C 点的电势；（3）将电量为9210C -⨯的点电荷q 0由A 点移到C 点，电场力所做的功；（4）将q 0由B 点移到D 点，电场力所做的功。

解：（1）建立如解图9-17所示坐标系，由点电荷产生的电势的叠加得898912220031091031091004104104π4π22D q q U a a εε----⨯⨯⨯⨯⨯⨯=+=-=⨯⨯⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭同理，可得0B U =题图9-17解图9-17（2）104πA q U b ε=989832910310 1.810(V)610---⨯⨯⨯==⨯⨯204πC q U bε=+989832910310 1.810(V)610---⨯⨯⨯=-=-⨯⨯ （3）将点电荷q 0由A 点移到C 点，电场力所做的功93360210[1.810( 1.810)]7.210(J)AC AC A q U --==⨯⨯⨯--⨯=⨯（4）将q 0由B 点移到D 点，电场力所做的功00BD BD A q U ==9-20 半径为1R 和2R (2R ＞1R )的两无限长同轴圆柱面，单位长度上分别带有电量λ和λ-,试求:(1) 空间场强分布；(2) 两圆柱面之间的电势差。

解: （1）由高斯定理求对称性电场的场强分布0d ε∑⎰=⋅qS E s取同轴圆柱形高斯面，侧面积rl S π2=，则rl E S E Sπ2d =⋅⎰小圆柱面内： 1R r <，0q =∑10E =两圆柱面间：21R r R <<，q l λ=∑，rE 02π2ελ=方向沿径向向外大圆柱面外：2R r >，0=∑q3=E（2）12002ln 2d 2d 2121R R r r r E U R R R R AB πελπελ===⎰⎰9-21 在半径为R 1和R 2的两个同心球面上分别均匀带电q 1和q 2,求在10r R <<,12R r R <<,2r R >三个区域内的电势分布。

解：利用高斯定理求出空间的电场强度：0I E = 1r R < 10204II q E r rπε=12R r R <<120204IIIq qE r r πε+= 2r R > 则空间电势的分布：1r R ≤1212d d d R R I I II III rR R U E r E r E r +∞=⋅+⋅+⋅⎰⎰⎰2102114q q R R πε⎛⎫=+ ⎪⎝⎭22R r R ≤≤22d d R II II III rR U E r E r +∞=⋅+⋅⎰⎰2112212002021444R rq q q q q dr r R R r πεπεπε⎛⎫+=+=+ ⎪⎝⎭⎰2r R ≥1212200d d 44III III rrq q q q U E r r r rπεπε+∞+∞++=⋅==⎰⎰解图9-21第11章1. 用两根彼此平行的长直导线将半径为R 的均匀导体圆环联到电源上，如题图所示，b 点为切点，求O 点的磁感应强度。

解：先看导体圆环，由于大ab 和小ab 并联，设大圆弧有电流1I ，小圆弧有电流2I ，必有：12I R I R =大小由于圆环材料相同，电阻率相同，截面积S 相同，实际电阻与圆环弧的弧长l 大和l 小有关，即：12,I l I l =大小 则1I 在O 点产生的1B 的大小为0112,4πI l B R μ=大而2I 在O 点产生的2B 的大小为02212.4I l B B Rμ==π小1B 和2B 方向相反，大小相等.即120B B +=。

直导线1L 在O 点产生的30B ＝。

直导线2L 在O 点产生的RIB πμ404=，方向垂直纸面向外。

则O 点总的磁感强度大小为RIB B πμ4040==，方向垂直纸面向外。

2.一载有电流I 的长导线弯折成如题图所示的形状，CD 为1/4圆弧，半径为R ，圆心O 在AC ，EF 的延长线上.求O 点处磁场的场强。

解：因为O 点在AC 和EF 的延长线上，故AC 和EF 段对O 点的磁场没有贡献。

CD 段：00,48CD I IB R Rμμπ==π2DE 段0002(cos 45cos135).4242/2DE II IB aRR μμμ=︒-︒==πππO 点总磁感应强度为000112824DE CD III B B B RRR μμμ⎛⎫=+=+=+ ⎪ππ⎝⎭，方同垂直纸面向外.3. 如题图所示，在长直导线AB 内通有电流I ，有一与之共面的等边三角形CDE ，其高为h ，平行于直导线的一边CE 到直导线的距离为b 。

求穿过此三角形线圈的磁通量。

解：建立如解图所示坐标，取距电流AB 为x 远处的宽为d x 且与AB 平行的狭条为面积元d 2()tan 30d .S b h x x =+-︒ 则通过等边三角形的磁通量为：0d 2()tan 30d 2b hSbIB S b h x x xμΦ+=⋅=+-︒π⎰⎰0033d ()ln .33b hbI I b h x b h x b h h x b μμ++-+⎡⎤==+-⎢⎥ππ⎣⎦⎰4. 一根很长的圆柱形实心铜导线半径为R ，均匀载流为I 。

试计算：（1）如题图（a ）所示，导线内部通过单位长度导线剖面的磁通量； （2）如题图（b ）所示，导线外部通过单位长度导线剖面的磁通量.解： 由磁场的安培环路定理可求得磁感应强度分布情况为020()2()2Ir B r R R IB r R r μπμπ⎧=<⎪⎪⎨⎪=≥⎪⎩内外然后求磁通量。

沿轴线方向在剖面取面元d d S l r =，考虑到面元上各点B 相同，故穿过面元的磁通量d d B S Φ=，通过积分，可得单位长度导线内的磁通量。

(1)导线内部通过单位长度导线剖面的磁通量 0020d d 24RRIr IB r r R μμΦππ===⎰⎰内内 (2)导线外部通过单位长度导线剖面的磁通量. 20d ln 22RRIB r μΦπ==⎰外外解图11-175. 有一根很长的同轴电缆，由两个同轴圆筒状导体组成，这两个圆筒状导体的尺寸如题图11-19所示。

在这两导体中，有大小相等而方向相反的电流I 流过。

求:（1）内圆筒导体内各点（r a <）的磁感应强度B ； （2）两导体之间（a r b <<）的B ； （3）外圆筒导体内（b r c <<）的B ； （4）电缆外（r c >）各点的B 。

解：在电缆的横截面，以截面的轴为圆心，将不同的半径r 作圆弧并取其为安培积分回路L ，然后，应用安培环路定理求解，可得离轴不同距离处的磁场分布。

(1)当r a <时，0d 0==⋅⎰∑liiIl B μ， 20B r π⋅=，得B =0；(2)当a r b <<时，同理可得02IB rμ=π； (3)当b r c <<时，有 22022()2()I r b B r I c b μ⎡⎤π-π=-⎢⎥π-⎣⎦, 得 2202212I r b B r c b μ⎛⎫-=- ⎪π-⎝⎭(4)当r c >时， B =0；6. 如题图所示，一根长直导线载有电流130A I =，矩形回路载有电流220A I =，已知1.0cm a =，8.0cm,12cm.b l ==试计算：（1）作用在回路各边上的安培力； （2）作用在回路上的合力.解：(1)上下导线所受安培力大小相等，方向相反。