专题提升5与垂径定理有关的辅助线i如图所示为一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，若水面水管底部到水面的距离为 2 cm则该输水管的半径为（C）【解】连结OA过点O作OC L AB交AB于点D设该输水管的半径为r(cm).■/ AB宽为 8 cm ,••• AD= 4 cm.•/ DC= 2 cm,「. OD= (r — 2) cm , r2= (r — 2)2+ 42,• r = 5(cm).T CD= 8, OC= 5,「. 0D= 3.2 2 2由已知，得CDL AB贝U AD= 5 — 3 , 解得AD= 4. • AB= 8.3.已知O O的直径CD= 10 cm , AB是O O的弦，ABL CD垂足为M且AB= 8 cm，贝U AC的长为(C)A. 2 i15 cm B . 4 .'5 cmC. 2 '5 cm 或 4 ''5 cm D . 2 ：3 cm 或 4 '3 cm【解】连结AO当点C的位置如解图①所示时，易得AC= 'AM+ ClM= ,'42 + 82 = 4 ■'5(cm); 当点C的位置如解图②所示时，易得AC= ,；22+ 42= 2 ： 5(cm).（第3题解）4.如图，O O的直径为10 cm ,弦AB为8 cm, P是弦AB上一点.若OP的长是整数，则满足条件的点P 有（D）A. 3 cmB. 4 cm（第1题）C. 5 cmD. 6 cmAB宽为8 cm,输2.如图，石拱桥的桥顶到水面的距离A. 4 mB. 5 m【解】连结0AC. 6 mD. 8 mOC为5 m,则水面宽AB为（D）【解】 连结OC OA1 ••• AB= 2CD OP= 2CDr 2 = OP + CP = 2OP,• R = .'5OP r = ：'2OP • R =-50.6.如图，O O 的半径OP= 10 cm,弦AB 过OP 的中点 Q 且/ OQ B= 45°,则弦 AB 的弦心距 为©fcm,弦AB 的长为5 14cm.（第6题）【解】 过点O 作OCL AB 于点C,连结OA•••O O 的半径OP= 10 cm ,弦AB 过OP 的中点 Q• OQ= 5 cm.•••/ OCQ ： 90°, / OQ & 45° ,A. 2 个B. 3 个C. 【解】 过点O 作OCL AB 于点C,连结 1•/ OA= 5, AC= 2AB= 4,「. OC= 3.• 3w OPc 5,「. OP 的长为 3 或 4 或 5.当O 片3时，点P 只能与点C 重合；当O 圧4时, 2个点P;当OP= 5时，点P 与点A 或点B 重合. 综上所述，满足条件的点 P 有5个.5.如图，在以点 O 为圆心的同心圆中，大圆的弦 弦心距OP = 2CD 4个OAD. 5个点P 可以在 AC 上，也可以在 BC 上，•••有 AB 交小圆于点 C, D, AB= 2CD 弦AB 的 OPL AB•••OP = CP =2AF ? •/ R 2=O P + A P = 50P ,（第4题）•••△ OCC为等腰直角三角形，••• 0C= cm.在Rt △ AOC 中，根据勾股定理，得 AO ,：0A — 00 弓4cm , •- AB= 2AG= 5 14 cm.7.已知O 0的半径为2,弦BC = 2 :'3 , A 是O O 上一点，且AB= AC 直线A0与 BC 交于点D, 则AD 的长为1或3.【解】 VO 0的半径为2，弦BC = 2 （3, A 是O 0上一点，且AB= AC • ADL BC1• BD= 2BC = ;3分两种情况讨论：①如解图①所示，连结 0B在 Rt △ OBD 中, B D + O D= O B, 即（⑶2+ 0D = 22,解得 0D= 1.• AD= 0A- 0D= 2 — 1= 1.②如解图②所示，连结 0B 同理于①，得AD= OAF 0D= 2+ 1 = 3.&如图，在 Rt △ AOB^,Z 0= 90°, 0A= 6,0B= 8.以点0为圆心，0A 长为半径作圆交 AB 于点C,求BC 的长.【解】 过点0作AB 的垂线，垂足为AB = \；oA+ O B = 6 + 8 = 10,• AE = AC )- OE = ：62— 4.8 2= 3.6 ,• AC= 2AE= 7.2 ,• BC= AB- AC = 10 — 7.2 = 2.8.9 .如图，AB 为O O 的直径，弦 CD/ AB 弦DEL AB 求证：AC= BE【解】 过圆心0作OGL CD 交O O 于点G,交CD 于点H0E= 0A- 0B_ 6 x 8AB = 7Q ~ =4.8（第7题解）E ,连结OC（第8题）（第9题）•/ OGL CD 二C G= D G又••• CD/ AB ••• OGLABAG= BG • AC= BD•••DE!AB且AB是O O的直径，• B D= B E • AC= B Ek10.如图，半径为 5的O P与y轴交于点M O, — 4), NO, — 10),函数y=x(x<0)的图象X过点P,求k的值.【解】过点P作PAL MN于点A,连结PM, PN•点M(0 , — 4) , N(0, — 10) , • MN= 6.•/ PA L MN1•MA= 2MN= 3.•- OA= | — 4| + 3= 7.在 Rt△ MPA中 ,PA= PM— MA= & — 32 = 4 ,•••点 R — 4, — 7).一k将点F( — 4, — 7)的坐标代入y= X,得k= 28.z\.11.已知△ ABC内接于O O且AB= AC O O的半径等于 6 cm ,点O到BC的距离为2 cm, 求AB的长. 【解】①当△ ABC是锐角三角形时，如解图①所示，连结OB OA延长AO交BC于点D, 易知AD L BC 在 Rt △ OBE中,•OB= 6 cm , OD= 2 cm ,•BD^ *J O B— OD= — 2 = 4 #2(cm).在 Rt △ ABD中 , •/ AD- OAF OD- 6 + 2 = 8(cm) , BD- 4 ,2 cm , • AB= ,AD+ BD = .82+( 4 ,'2) 2 = 4 . 6(cm).(第11题解)②当△ ABC是钝角三角形时，如解图②所示，连结OB OA OA与BC交于点D,易知OAL BC 在 Rt △ OBD 中,■/OB= 6 cm, O* 2 cm,••• BD= 'OB— OD= 62— 22= 4、■‘2(cm).在 Rt △ ABD中,■/ AD^ OA- O* 6 — 2= 4(cm) , BD^ 4 '2 cm ,• AB= ：'BD+ AD = ； (4 2 ) 2 + 42 = 4 ,'3(cm).综上所述，AB的长为4 :‘6 cm或4 ：3 cm.12•如图所示为一座桥，桥拱是弧形’(水面上的部分)，测量时，只测得桥拱下水面宽AB为16 m，桥拱最高处C离水面4 m.(1) 求桥拱所在圆的半径.(2) 若大雨过后，桥下水面宽为12 m,问：水面上涨了多少？(第12题)【解】(1)如解图①，设点O为AB勺圆心，连结OA OC OC交AB于点D根据题意，可得C是AB勺中点，OC L AB1 1• AD= 2AB= 2X16 = 8(m).设O O的半径为x(m)，则在Rt△ OAD中,OA= A D+ OD,即卩x2= 82 + (x — 4)2,解得x= 10.•桥拱所在圆的半径为 10 m.(第12题解)(2)设河水上涨到EF的位置，如解图②，这时EF= 12 m, EF// AB则OC L ER垂足为M ,1•EM= 2EF= 6 m.连结OE则有OE= 10 m.•OM= ,OE—E M = 102— 62= 8(m).•/ OD= OC- CD= 10 — 4= 6（m）,••• DM= 01— OD= 8 — 6= 2（m）,即水面上涨了 2 m.13.工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计了一个尺寸（单位：cm）如图①所示的工件槽，其中工件槽的两个底角均为90° .将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有如图①所示的A, B, E三个接触点，则该球的大小就符合要求•如图②是过球心0 及A B, E三点的截面示意图，已知O 0的直径就是铁球的直径，AB是O O的弦，CD与O 0 交于点E, ACL CD BDL CD请你结合图①中的数据，计算这种符合要求的铁球的直径.（第13题）（第13题解）【解】由题图①②可知E为O 0上AB勺中点，连结0E交AB于点F,如解图，贝y OEL AB 且AF= BF= 8.易知EF= AC= 4 ,• 0F= 0E- EF= 0E- 4.连结0A 贝y 0A= A F + 0F,即0A= 82+ (0A- 4)2,解得0A= 10.故铁球的直径为 10X 2= 20(cm).。