定积分的计算与应用(1)哈尔滨师范大学学年论文题目定积分的计算与应用学生刘影指导教师皮晓明年级 2010级6班专业数学与应用数学系别数学系学院数学科学学院哈尔滨师范大学2012年12月电话：180045056定积分的计算与应用刘影摘 要：定积分计算的方法和技巧是非常丰富的，除用定积分性质、基本公式，换元法与分部积分法外，简单的还有定积分的几何意义，函数奇偶性及查积分表等。

本文主要列举了一些定积分计算的方法与技巧以及定积分的一些基本应用。

关键词：牛顿莱布尼兹公式 积分 定积分恩格斯增经指出微积分是变量数学的重要组成部分,微积分是数学一个分支,学技术以及自然科学的各个分支中被广泛应用的最重要的数学工具，定积分在几何学、物理学、经济学、社会学等应用领域中具有广泛的应用。

如复杂图形的研究，化学反应过程的分析，求数列极限等等。

一、定积分的计算方法1、按照定义计算定积分定积分的定义其实已经给出了计算定积分的方法，即求面积和的极限： ∑⎰=→∆=nk k k T l bax f dx x f 10)()()(lim ξ例1 求由抛物线2x y =，]1,0[∈x ，及0=y 所围平面图形的面积。

解 根据定积分的几何意义，就是要计算定积分⎰102dx x .显然，这个定积分是存在的。

取分割T 为n 等份，并取k ξnk 1-=，n k ,,2,1 =，则所求面积为： 122011lim ()nn k S x dx S n n→∞-==⋅∑⎰2311lim (1)nn k k n →∞==-∑3(1)(21)1lim63n n n n n →∞--==2、用牛顿--莱布尼兹公式计算定积分若函数)(x f 在],[b a 上连续，且存在原函数)(x F ，即)()(x f x F ='，x ∈[a,b],则)(x f 在],[b a 上可积，且 ⎰-=ba a Fb F dx x f )()()( ， 这称为牛顿—莱布尼兹公式，它也常写成⎰=baba x F dx x f )()(有了牛顿—莱布尼兹公式后，计算定积分关键就是找)(x f 的一个原函数)(x F 。

这就转化为不定积分的问题了。

例2 求⎰+1021x dx解 已知C x xdx+=+⎰arctan 12∴40arctan 1arctan arctan 110102π=-==+⎰x x dx3、利用分部积分法计算定积分设函数)(x u 、()v x 在区间[a ，b ]上连续可微，则有定积分分部积分公式：()()()()()()()()()()()()bab abba a bba au x v x dxu x dv x u x v x v x du x u x v x u x v x dx'==-'=-⎰⎰⎰⎰例3 求⎰21arcsin xdx解12112200arcsin arcsin 12112xdxx x ππ=-==⎰⎰4、利用换元积分法计算定积分若函数)(x f 在],[b a 上连续，)(x ϕ在],[βα上连续可微，且满足a =)(αϕ，b =)(βϕ，b t a ≤≤)(ϕ，],[βα∈t则有定积分的换元积分公式⎰⎰⎰='=βεβαϕϕϕϕ)())(()())(()(t d t f dt t t f dx x f ba 。

应用定积分的换元积分公式计算定积分时，要注意积分上、下限的变化。

例4 计算⎰10dx e x解 先用变量代换方法：令t x =，则2t x =，tdt dx 2=，于是⎰⎰=1102dt te dx e t x。

再用分部积分法计算上式右端的积分。

设t u =，dt e dv t =，则dt du =，t e v =。

于是⎰⎰-=11010][dt e te dt te tt t 1)1(=--=e e从而原式＝210=⎰dx e x 。

二、定积分的简单应用1、求平面曲线的弧长1.1、在平面直角坐标系下，求曲线()y f x=上[],x a b∈一段的弧长AB （如图1）.图1在区间[],a b上的任意点x对应的M点处，作曲线()y f x=的切线T，取其对应自变量增量为dx的一段ds作为曲线弧MN的近似值（“直代曲”），即MN ds≈。

ds称为弧长微元，()()()2221ds dx dy y dx'=+=+，对其积分，则得所求弧长()21as y dx'=+⎰。

例 5 求曲线3223y x=上[]0,3x∈一段的弧长。

解3223y x x'⎛⎫'==⎪⎝⎭()21ds y dx'=+1xdx=+()()()13322003211113s xdx x d x x=+=++=+=⎰⎰143.1.2、用参数方程表示的函数的弧长计算，如曲线()()x ty tϕψ=⎧⎪⎨=⎪⎩上[],tαβ∈一段的弧，这时()()2222dx dyds dx dy dtdt dt⎛⎫⎛⎫=+=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即()()22ds t t dt ϕψ''=+，则曲线的弧长()()22s t t dt βαϕψ''=+⎰.2、 计算平面图形的面积例 6 计算一块材料（如右图）的面积。

图2分析：如图2中阴影部分面积即为材料面积，它是由抛物线方程为12+=x y 、坐标轴和直线方程3=+y x 围成的区域。

解 由于曲线12+=x y 与直线3=+y x 在点(1,2)相交,所以⎰=30)(dx x f S ,其中⎩⎨⎧≤≤-≤≤+=313101)(2x x x x x f从而 ⎰⎰-++=3112)3()1(dx x dx x S =0133x x ++13232x x -=310)213()299(131=---++3、求立体图形的体积一个木块的体积，我们们可以将此木块作分割T:c x x x b n =<⋅⋅⋅<<=10划分成许多基本的小块,每一块的厚度为)(x σ,假设每一个基本的小块横切面积为)(x A ,)(x A 为[]c b ,上连续函数，则此小的体积大约是)()(x x A σ,将所有的小块加起来,令T →0,可以得到∑=→=cbx T x x A V )()(lim 0σ 。

下面来看以下例题:例 7 一块由直线a y =和直线a x 3=及弧ax y =2,)0,3(>≤≤a a x a 所共围成的区域，以x 轴为轴旋转一周所形成的体积是多少？分析：如图3，阴影区域即为题意所指的区域, 其旋转体积求法， 可将区域APQB 的旋转体积减去区域APCB 的旋转体积，即为所求。

解 首先来求区域APQB 的旋转体积：2222304)229(32a a a a a a x a axdx ππππ=-==⎰ 而区域APCB 的旋转体积为一个圆柱体的体积其 半径为a ，高为2a ，故其体积为3222a a a ππ=。

所以区域PCQ 的旋转体积为333224a a a πππ=-。

4、定积分在力学中的应用 图3举一个最简单的例子:有一个方向恒定的变力F 对一个物体做功,若这个变力对物体的作用距离为S ， F 为S 的函数)(s f F =,则有变力F 所做的功为⎰bads s f )( (其中a,b 为变力F 的起始与末尾值)；下面列举实际应用中例子 。

例8 重量为p 的摆锤系于绳的下端,绳长为l ,上端固定如右图4所示,一水平变力F 从零逐渐增大缓慢的作用在摆锤上,使摆锤虽然移动,但在所有时间内均匀无限接近力平衡,一直到绳子与竖直直线成0θ角的位置，试计算变力F 所做的功。

图4解 按题意，在任意位置上（由角位置θ表示），摆锤无限的接近于力平衡，所以可由摆锤所受合力极接近于零来计算。

在水平方向与竖直方向分别有：0sin =-θT F ， 0cos =-p T θ，式中T 是摆锤所受绳的拉力，于是有 θtan p F = ；当摆锤在θ位置上沿圆弧作微小位移ds 时，F 力所做的微功为ds F fds dw θcos ==将θθld ds p F ==tan 代入得：θθθθθd pl d pl dw sin cos tan ==，所以在摆锤从初始位置)0(=θ到位置)(0θθ=的过程中，F 力对摆锤所作的总功为：⎰⎰==0sin θtdt pl dw W )cos 1(0θ-=pl此外,应用定积分对物体的运动过程进行分析也是十分方便的,例如匀加速运动: 设质点沿X 轴作匀加速直线运动,已知加速度为a (为一个恒定量)和初始运动状态(即t=0时刻质点的坐标位置0x 和初速度0v )要确定质点某一时刻的运动状态,也就是要求其坐标x 和速度v 随时间t 的函数表示式)(t x 和)(t v 。

先将瞬时加速度的数学式a dtdv=改写成adt dv =，已知a 为恒定量,对上式两边去积分,并应用质点在0=t 时刻0v v =的初始条件得 ⎰⎰=tvv adt dv 0，即⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=at v v 0 （1）式（1）就是确定质点在匀加速直线运动中速度v 的时间函数式。

根据瞬时速度的数学式dt dx v =，把式（1）改写成at v dtdx +=0或dt at v dx )(0+=，然后对两边取积分得：⎰⎰+=tt x x dt at vdx 0)(0即 20021at t v x x +=- 或⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅++=20021at t v x x （2）式（2）就是在匀加速直线运动中确定质点位置的时间函数式，也就是质点的运动方程。

此外，如果把瞬时加速度改写成：dxdvv dt dx dx dv dt dv a ===即 adx vdv = ；对两边取积分⎰⎰=x x v v adx vdv 00得)()(210202x x a v v -=-即：)(20202x x a v v -+= (3)式（3）就是质点坐匀加速运动是质点坐标x 和速度v 之间的关系式 。

5、 定积分在电学中的应用例 9 设真空中有一均匀带电直线，长为l 总电量为Q ，线外有一点p 离直线的垂线距离为a ，p 点和直线两端点的连线之间的夹角分别为1θ和2θ，如图5所示，求p 点的场强。

解 这里产生电场的电荷是连续分布的，所以首先要把整个电荷分布划分为许多电荷元dq ，求出每一电荷元dq 的给定点的场强dE ，然后根据场强叠加原理，按⎰=dE E 的关系求总场强，由于场强dE 本身是矢量，所以必须注意选取方位适当的坐标系，以便求出分量x dE ，y dE ，z dE ，再经积分计算求得x E ，y E ，z E我们以p 点到直线的垂足o 为原点，取坐标轴ox ，oy 如图，在带电直线上离原点为l 处取长度元dl ,dl 上的电量为dq ，设直线上每单位长度所带电量λ，（λ称为电荷线密度），lQ =λ，所以dl dq λ= ；设dl l 到p 点的距离为r 可知dq 在p 点处产生的场强dE 的大小为204r dl dE πελ= ，方向如图5，θcos dE dE x =，θsin dE dE y =，图中z 轴未画出，显然θsin dE dE y =。