24
针对平面问题，不计体力，平衡微分方程为

{ 11
A
11 21 12 22 0 0 12 21 x1 x2 x1 x2
ui 2u1 2 u2 2u1 2u2 C Ti x1 dS A [( 11 x12 12 x12 21 x1x2 22 x1x2 )]dx1dx2 1 u1 u1 1 u2 u1 1 u1 u1 [ ( )] 12 [ ( )] 21 [ ( )] x1 2 x1 x1 x1 2 x1 x2 x1 2 x2 x1 1 u2 u2 1 u1 u1 1 u2 u2 [ ( )]}dx1dx2 21 [ ( )] 22 [ ( )]}dx1dx2 x1 2 x2 x2 x1 2 x2 x1 x1 2 x2 x2
(M ) ] 2 f
19
§4.5 J积分的定义和特性
COD准则的优点： 测定方法简单 经验公式能有效地解决中、低强度强度钢焊接结构及压力 容器断裂分析问题 缺点： 不是一个直接而严密的裂纹尖端弹、塑性应变场的表征 参量. Rice于1968年提出J积分概念，J积分主要应用于发电 工业，特别是核动力装置中材料的断裂准则。
Wells e e 2 １ ( ) es es e 1 e １ ( 1) es 2 es
16
§4.4 COD准则的工程应用
实验测定结果：平板穿透裂纹 实际工程构件：压力容器、管道等,必须加以修正 1.鼓胀效应修正 压力容器表面穿透裂纹，由于内压作用，使裂纹向外
鼓胀,而在裂纹端部产生附加的弯矩。附加弯矩产生附加 应力，使有效作用应力增加，按平板公式进行计算时， 应在工作应力中引入膨胀效应系数Ｍ.
14
§4.3 全面屈服条件下的COD
高应力集中区及残余应力集中区，使裂纹处于塑性区的 包围中全面屈服. 对于全面屈服问题，载荷的微小变化都会引起应变和COD 的很大变形。在大应变情况下不宜用应力作为断裂分析的依
据。而需要寻求裂尖张开位移与应变，即裂纹的几何和材料 性能之间的关系.
用含中心穿透裂纹的宽板拉伸试验，得到无量纲的COD 2e a 与标称应变 e 的关系曲线。 e s
12
—无限大板的COD利用D－B模型计算结果
D－B模型不适用于全面屈服（ s ）。有限元计算表 明：对小范围屈服或大范围屈服。当 0.6 时，上式的 s 预测是令人满意的.
D－B模型是一个无限大板含中心穿透裂纹的平面应力 问题。它消除了裂纹尖端的奇异性，实质上是一个线弹性 化的模型.当塑性区较小时，COD参量与线弹性参量Ｋ之间 有着一致性. 将 ln sec(
c
—COD准则
裂纹失稳扩展的临界值
COD准则需解决的3个问题：
的计算公式; c 的测定; COD准则的工程应用
4
二.小范围屈服条件下的COD
平面应力下
K r 3 v I [( 2k 1)sin sin ] 4G 2 2 2
k
3 1
当＝
r ry 处时
s

经验设计曲线
15
Wells e e 2 １ ( ) es es e e １ es es
Burdekin e e 0.5 ( )2 es es e e 0.5 0.25 es es
JWES 2805 e 0.5( ) es
我国CVAD（压力容器缺陷评定规范）设计曲线规定：
K 1 K Ｒ＝ ( I )2 0.318( I )2
s
s
8
Paris位移公式
(1) ( 2)
远场均匀拉应力产生
塑性区分界上的拉应力 s 产生
卡氏定理：物体受一对力作用,力作用点间沿力方向的相对 位移等于应变能对外力Ｐ的偏导数。

U P
引入虚力Ｆ，物体的应变能 U U (a, P, F )
20
J积分的两种定义：
回路积分：即围绕裂纹尖端周围区域的应力应变和位移所 组成的围线积分。 J积分具有场强度的性质。不仅适用于线弹 性，而且适用于弹塑性。但J积分为一平面积分，只能解决二维 问题。
形变功率定义：外加载荷通过施力点位移对试样所做的 形变功率给出。 根据塑性力学的全量理论，这两种定义是等效的。
又由
2 s 2 c 2 F 1 a [ cos ] [ ] d E 0 F ( 2 a 2 )
当 a 时 K IF 0

K IF
2 s
2a

c arccos( )
2 Fc
2 2
2a
a c
c(c a )
8 s a lnsec( ) E 2 s
) 按级数展开 2 s

8 s a 1 2 1 4 ( ( ) ( ) ......) E 2 2 s 12 2 s
13
远小于 s
8 s a 1 2 2 a ( ) E 2 2 s E s
K I2 K I a , GI ' E
23

C
Ti
ui u u dS (T1 1 T2 2 )dS C x1 x1 x1 u1 u dS ( 12 n1 22 n2 ) 2 dS] x1 x1

[( 11n1 21n2 )
C
[( 11
a* 2 a
18
3.材料加工硬化的修正
考虑材料加工硬化，当 s 200 ~ 400MPa 时，低 1 碳钢取 f ( s b ) 代替 s 。其中 f 为流变应力。
b 为材料的抗拉强度。
2
综合考虑上述3部分内容

D－B模型的计算公式
8 f a* E ln sec[
第四章 弹塑性断裂力学
1
线弹性断裂力学 脆性材料或高强度钢所发生的脆性断裂 小范围屈服：塑性区的尺寸远小于裂纹尺寸 弹塑性断裂力学 大范围屈服:端部的塑性区尺寸接近或超过裂纹尺寸，
如：中低强度钢制成的构件． 全面屈服：材料处于全面屈服阶段，如：压力容器的 接管部位.
2
弹塑性断裂力学的任务：在大范围屈服下，确定能定 量描述裂纹尖端区域弹塑性应力，应变场强度的参量．以
和塑性区周围仍为广大的弹性区所包围。塑性区与弹性区 交界面上作用有均匀分布的屈服应力 s .
假想：挖去塑性区 在弹性区与塑性区的界面上加上均 匀拉应力 s 线弹性问题 裂纹尖端的应力强度因子
K Ic K I(1) K I( 2) c 2 s a c

c arccos
4 K I ry v E 2 1 KI 2 ry ( ) 2 s
4 K I2 4GI 2v E s s
—小范围屈服时的COD计算公式
5
§4.2
D－B带状塑性区模型的COD
D－B模型假设：裂纹尖端的塑性区沿裂纹尖端两端延 伸呈尖劈带状。塑性区的材料为理想塑性状态，整个裂纹
又
K I2 1 GI ' ' ( K IP K IF ) 2 E E
虚力Ｆ在裂纹尖端产生的应力强度因子
外力Ｐ在裂纹尖端产生的应力强度因子
10
U 0 1 U 2 lim lim[ ( K K ) ]da IP IF F F F E ' F 0 F 0 0 U K 2 lim( 0 ) lim ( K IP K IF ) IF da F F F 0 F 0 0 E '
与积分路径无关的常数。即具有守恒性。
22
闭合回路：ABDEC 在裂纹面上BD、AC上：Ti 0 dx2 0 设 n1 ，n2为弧元dS的外法线元的方向余弦
dx n1 cos 2 dS
dx1 n2 sin dS
微元dS上三角形体元的力的平衡条件
T1 11n1 21n2 T2 12 n1 22 n2 Ti ij ni (i, j 1,2)
Folias分析得到： M 1 a 2
Rt
17
取值如下：圆筒轴向裂纹时取1.61，圆筒环向裂纹 时取0.32，球形容器裂纹时取1.93.
2.裂纹长度修正 压力容器的表面裂纹和深埋裂纹应换算为等效的穿透裂纹. 非贯穿裂纹
K I a
K I a
无限大板中心穿透裂纹
令非贯穿裂纹 K I 与无限大板中心穿透裂纹的 K I 相等，则等效穿透裂纹的长度为


当无裂纹时,D1D2的相对位移为零
U 0 lim 0 F F 0
KIF 与F 正比 limK IF 0
F 0
2 K IF ' lim K IP da E F 0 0 F

—Paris位移公式
11
的计算
K IP K I K I s
其中K I c , K I s
便利用理论建立起这些参量与裂纹几何特性、外加载荷之
间的关系，通过试验来测定它们，并最后建立便于工程应 用的断裂准则。 主要包括COD理论和J积分理论.
3
§4.1 小范围屈服条件下的COD 一.COD
COD(Crack Opening Displacement) 裂纹张开位移。 裂纹体受载后，裂纹尖端附近的塑性区导致裂纹尖端表面 张开——裂纹张开位移：表达材料抵抗延性断裂能力
2a K I2 GI E E s s s
欧文小范围屈服时的结果 D－B模型的适用条件
4 K I2 4 GI E s s
平面应力情况下的无限大平板含中心穿透裂纹 引入弹性化假设后，分析比较简单，适用于 0.6 s 塑性区内假定材料为理想塑性（没有考虑材料强化）