立体几何练习题1.设a 、3、丫为两两不重合的平面，I 、m 、n 为两两不重合的直线,给出下列四个命题: 若 a 丄 Y 3-L Y,贝V a // ②若 m? a , n? a, m // n // 3 ,贝a// B; ③若 a// 3, I? a,贝U I // 3；④若 aAB , =3 门丫 =n YHa , =h// 丫，则 其中真命题的个数是() A . 1B. 2 2.正方体 ABCD- A 1B 1C 1D 1 中, 返 B .逅 3 3C. 3D. 4 BDi 与平面ABCD 所成角的余弦值为（） A. D. 3.三棱柱 ABC- A 1B 1C 1 中，AA i =2 且 AA i 丄平面 ABC, △ ABC 是 边长为二的正三角形，该三棱柱的六个顶点都在一个球面上, // n . 则这个球 A. 8 n B. 8兀3 C. D.引 2 n 4.三个平面两两垂直, 它们的三条交线交于点 O , 空间一点 P 到三个平面的距离分别为 3、4、5 ,贝U OP长为（）A. 5^3B. 2后C. 3后 D 5岳 的体积为（） SD 丄底面ABCD,则下列结论中不正确的是（） 5.如图，四棱锥S- ABCD 的底面为正方形,A. ACL SB B . AB//平面 SCD C. SA 与平面SBD 所成的角等于 SC 与平面SBD 所成的角 D. AB 与SC 所成的角等于DC 与 SA 所成的角 6.如图，四棱锥 P- ABCD 的底面为正方形，PD 丄底面ABCD, PD=AD=1,设点CG 到平面PAB 的距离为 d i ,点B 到平面PAC 的距离为d 2,则有（ A. 1 < d 1 < d 2 B . d 1 v d 2< 1C. d i < 1 < d 2D. d 2< d i < 1 7.在锐角的二面角 EF EF , AG , GAE 45 , 若AG 与所成角为 30，则二面角 EF 为 8•给出下列四个命题: (1) 若平面 上有不共线的三点到平面 的距离相等，贝U // ; 两条异面直线在同一平面内的射影可能是两条平行直线; 两条异面直线中的一条平行于平面 ，则另一条必定不平行于平面 a,b 为异面直线，则过 a 且与b 平行的平面有且仅有一个.第2页，总16页其中正确命题的序号是9.已知正方体 ABCD A i B 1C 1 D i 中，点E 是棱 AB 的中点，则直线 AE 与平而 BDD 1B 1所成角的正弦值是 __________ .10•已知直三棱柱 ABC ABQ i 中， ABC 900，AC AA 2：2，AB 2，M 为 BB i 的中点,则B i 与平面ACM 的距离为 ________________ 11•边长分别为a 、b 的矩形，按图中所示虚线剪裁后，可将两个小矩形拼接成一个正四棱锥的底面，其 余恰好拼接成该正四棱锥的4个侧面，则-的取值范围是a12•已知矩形 ABCD 的长AB 4，宽AD 3，②四面体A BCD 外接球的表面积恒为定值; 其沿对角线BD 折起，得到四面体A BCD ， 图所示， 给出下列结论:①四面体A BCD 体积的最大值为72 ;5③若E 、F 分别为棱 AC 、BD 的中点，则恒有 EF AC 且 EF BD ; ④当二面角A BDC 为直二面角时，直线 AB 、CD 所成角的余弦值为16 25⑤当二面角A BD C 的大小为60时，棱AC 的长为14 .5其中正确的结论有(请写出所有正确结论的序号13.如图，在直三棱柱 ABC- AB 1C 1中，/ BAC=90°, ABC 成 30° 角.(I )求证：平面BACL 平面ABBA ;(II )求直线AC 与平面B 1AC 所成角的正弦值.AB=BB,直线BQ 与平面 州t一JIa.. 匸小K14. 如图，在三棱锥P -ABC 中，D, E, F 分别为棱 PC, AC, AB 的中点.已知 PAL AC PA=AB=6 BC=8 DF=5. (1 )若PE L BC 证明平面 BDEL 平面 ABC如)•(2)求直线BD与平面ABC所成角的正切值.15. 如图，长方体ABCD- A i BCiD中，AB=AD=1 AA=2,点P为DD的中点.(1)求证：直线BD//平面PAC(2)求证：平面PACL平面BDDB i;(3)求CP与平面BDDB i所成的角大小.16. 如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PD丄底面ABCD点E在棱PB上(1)求证：ACL平面PDB(2)当PD= AB且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小.17. 在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，/ ADC=45°,AD=AC=1 O为AC中点，PC丄平面ABCD PO=2, M为PD中点.(I)求证：PB//平面ACM(H)求证：ADL平面PAC(川)求二面角M- AC- D的正切值.18. 如图所示，在四棱锥P- ABCD中，底面ABCD为矩形，PA丄平面ABCD点E在线段PC上，PC丄平面BDE(1)证明：BD丄平面PAC(2)若PA=1，AD=2求二面角B- PC- A的正切值.19. 如图，直三棱柱ABC- A1B1C1中，CA丄CB, AA i=AC=CB=2 D是AB的中点.(1) 求证：BC//平面ACD(2) 求证：AC丄AB;(3) 若点E在线段BB上，且二面角三棱锥C- ADE的体积.E- CD- B的正切值是二，求此时试卷答案1.B ： 解：若a 丄Y B 丄Y ,则a 与B 可能平行也可能相交，故 ① 错误;由于m n 不一定相交，故 a//B 不一定成立，故②错误;由面面平行的性质定理，易得③正确； 由线面平行的性质定理，我们易得④正确; 故选B2.D考点： 棱柱的结构特征. 专题： 空间角.T DD 丄平面 ABCD ： BD 是BD 在平面 ABCD 的射影,•••/ DBD 是BD 与平面ABCD 所成的角；设 AB=1,则 BD= :■：, BD=二• cos Z DBD_ BD =2=氏;BD® 3故选：D.点评：本题以正方体为载体考查了直线与平面所成的角，是基础题.3. C考点： 球的体积和表面积.专题： 计算题；空间位置关系与距离.分析：根据题意，正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球的球心，求出球的半径即可求出球的体积. 解答：解：由题意可知：正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球的球心，因为△ ABC 是边长为「的正三角形，所以底面中心到顶点的距离为： 因为AA=2且AA 丄平面ABC 所以外接球的半径为：r=万.所以外接球的体积为： V 当nr 3/ nx （氏）兀.3 3 3故选：C.点评： 本题给出正三棱柱有一个外接球，在已知底面边长的情况下求球的体积.着重考查了正三棱柱分析: 找出BD 与平面ABCD 所成的角，计算余弦值.解答: 解：连接的性质、正三角形的计算和球的体积公式等知识，属于中档题.4. D考点：平面与平面垂直的性质.专题：计算题；空间位置关系与距离.分析：构造棱长分别为a, b, c的长方体，P到三个平面的距离即为长方体的共顶点的三条棱的长,0P为长方体的对角线，求出0P即可.解答：构造棱长分别为a, b, c的长方体，P到三个平面的距离即为长方体的共顶点的三条棱的长,则a2+b2+c2=32+42+52=50因为0P为长方体的对角线.所以0P=5 '：.故选：D.点评：本题考查点、线、面间的距离计算，考查计算能力，是基础题.5. D考点：直线与平面垂直的性质.专题：综合题；探究型.分析：根据SD1底面ABCD底面ABCE为正方形，以及三垂线定理，易证ACL SB根据线面平行的判定定理易证AB//平面SCD根据直线与平面所成角的定义，可以找出/ ASO 是SA与平面SBD所成的角, / CSC是SC与平面SBD所成的角，根据三角形全等，证得这两个角相等；异面直线所成的角，利用线线平行即可求得结果.解答：解：T SC L底面ABCD底面ABCE为正方形，•••连接BD,则BD L AC,根据三垂线定理，可得AC L SB故A正确；•/ AB// CD AB?平面SCD CD?平面SCD• AB//平面SCD故B正确；•/ SC L底面ABCD/ ASO是SA与平面SBD所成的角，/ DSO是SC与平面SBD所成的，而厶SAO^A CSC•••/ ASO M CSQ即SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角，故C正确；••• AB// CD •- AB与SC所成的角是/ SCD DC与SA所成的角是/ SAB而这两个角显然不相等，故D不正确；故选D.点评：此题是个中档题.考查线面垂直的性质定理和线面平行的判定定理，以及直线与平面所成的角，异面直线所成的角等问题，综合性强.6. D考点：点、线、面间的距离计算.专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角.分析：过C做平面PAB的垂线，垂足为E,连接BE,则三角形CEB为直角三角形，根据斜边大于直角边, 再根据面PAC和面PAB与底面所成的二面角，能够推导出d2 v d i v 1.解答：解：过C做平面PAB的垂线，垂足为E,连接BE,则三角形CEB为直角三角形，其中/ CEB=90 ,根据斜边大于直角边，得CE v CB即d2V 1.同理，d i v 1.再根据面PAC和面PAB与底面所成的二面角可知，前者大于后者，所以d2< d i.所以d2< d i v 1.故选D.点评：本题考查空间距离的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意空间角的灵活运用.8.(2)(4)10.112.②③④13.考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角.专题：证明题.分析： (I)欲证平面BACL平面ABBA i，关键是寻找线面垂直，而AC!平面ABBA i，又AC?平面B AC, 满足面面垂直的判定定理；(II )过A i做A i M LB i A i，垂足为连接CM /AQ MI为直线AC与平面B i AC所成的角，然后在三角形ACM 中求出此角的正弦值即可.解答：解：(I )证明：由直三棱柱性质，B i B丄平面ABC•••Bi B L AC 又BA L AC B i B H BA=B••• AC L平面ABBA ,又AC?平面B i AC,•平面BAC L平面ABBA i.(II )解：过A做A i M LB i A i ,垂足为M连接CM•••平面BAC L平面ABBA ,且平面B AS平面ABBA=BA,•••Ai M L 平面B i AC.•••/A i CM为直线A i C与平面B AC所成的角，•••直线B C与平面ABC成30° 角，「./B i CB=30 .设AB=BB=a ,可得B i C=2a , BC=-‘--一—i ,从而扎&后、又人训二净，s让二罟.•••直线A i C与平面B i AC所成角的正弦值为二］点评：本题主要考查了平面与平面垂直的判定，以及直线与平面所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力.14.考点：直线与平面所成的角；平面与平面垂直的判定.专题：空间位置关系与距离；空间角.分析： (1)由已知得DEL AC DE2+EF2=DF2,从而DE!平面ABC由此能证明平面BDEL平面ABC(2)由DE L平面ABC得/ DBE是直线BD与平面ABC所成的角，由此能求出直线BD与平面ABC所成角的正切值. 解答：(1)证明：•••在三棱锥P- ABC中，D, E, F分别为棱PC, AC, AB的中点.PAL AC PA=AB=6 BC=8 DF=5,•DEL AC DE=3 EF=4, DF=5,•DE2+EF2=DF2, • DEL EF,又EF A AC=F •- DEL平面ABC又DE?平面BDE •平面BDEL平面ABC(2 )T DEL平面ABC •- PAL平面ABC •- PAL AB•/ PB丄BC • AB丄BC•- AC T%+64=IO，•斑冷AC=5,由DEL平面ABC得/ DBE是直线BD与平面ABC所成的角，tan / DB E/亠.BE 5•直线BD与平面ABC所成角的正切值为上.国点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查直线与平面所成角的正切值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养.15.考点：直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角.专题：证明题.分析：(1)设AC和BD交于点0,由三角形的中位线的性质可得P0// BD ,从而证明直线BD//平面PAC(2)证明ACL BD DD丄AC可证AC丄面BDDB i，进而证得平面PACL平面BDDB .(3)CP在平面BDDB内的射影为OR故/ CPO是CP与平面BDDB i所成的角，在Rt△ CPO中，利用边角关系求得/ CPO的大小.解答： (1)证明：设AC和BD交于点0,连PO,由P , O分别是DD, BD的中点，故PO// BD,•/ PO?平面PAC BD?平面PAC 所以，直线BD//平面PAC(2)长方体ABCD- AiBG D 中，AB=AD= 1 底面ABCD是正方形，贝U AC L BD 又DD L 面ABCD 贝U DD L AC •/ BD?平面BDDB, D D?平面BDDBi , BD AD D=D 二AC L面BDDB. v AC?平面PAQ 二平面PAC L 平面BDDBi .(3)由(2)已证：AC L面BDDB，二CP在平面BDDB内的射影为OP /.Z CPO是CP与平面BDDB i所成的角.依题意得CP=Q CD'+DP二V7，co=^嵐二弓，在Rt△ CPO中,CO^CP，/Z CPO=30••• CP与平面BDDB i所成的角为30°.点评：本题考查证明线面平行、面面垂直的方法，求直线和平面所称的角的大小，找出直线和平面所成的角是解题的难点，属于中档题.16.考点：直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定.专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角.分析：(1)根据题意证明AC L BD PD L AC可得AC L平面PDB(2)设AS BD=O连接OE根据线面所成角的定义可知Z AEO为AE与平面PDB所的角，在Rt△ AOE中求出此角即可.解答：(1)证明：v•四边形ABCD是正方形，•/ AC L BD■/ PD L底面ABCD• PD L AC又BD A PD=D. AC L平面PDB ( 3 分)(2 )设A8 BD=O 连接OE 由(1 )知AC L平面PDB于O,• Z AEO为AE与平面PDB所的角，(5分)又O, E分别为DB PB的中点,• OE/ PD OE丄PD,2在Rt△ AOE 中，OE+PD=J A B=AO2 2•••/ AEO=45 , （ 7 分）即AE 与平面PDB 所成的角的大小为 45°. （8 分）A B点评：本题主要考查了直线与平面垂直的判定，以及直线与平面所成的角，考查空间想象能力、能力和推理论证能力，属于中档题.17.考点： 与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定.专题：计算题.分析： （I ）连接 OM BD,由M O 分别为PD 和AC 中点，知OM PB 由此能够证明（H ）由 POL 平面 ABCD 知 POL AD 由/ADC=45 , AD=AC=1 知 ACL AD 由此能够证明（川）取 DO 中点N,连接 MN 由MIN/ PO 知 MN L 平面 ABCD 过点 N 作NEL AC 于E ,由 连接ME 由三垂线定理知/ MEN 即为所求，由此能求出二面角 M- AC- D 的正切值.解答： （I ）证明：连接 OM BD•/ M O 分别为PD 和AC 中点，• OM/ PB•/ OR?平面 ACM PB?ACM 平面，• PB//平面 ACIM-. （4 分）（H ）证明：由已知得 PC L 平面ABCD• POLAD•••/ ADC=45 , AD=AC=1• AC L AD•/ AS PO=O AC PC?平面 PAC• ADL 平面PAC …..（8分）（川）解：取 DO 中点N,连接MN 贝U MIN/ PO• MN L 平面 ABCD过点N 作NEL AC 于E ,贝U E 为AO 中点，运算 PB//平面 ACM ADL 平面PAC E 为AO 中点，连接ME由三垂线定理可知/ MEN即为二面角M- AC- D的平面角, •/ MN=1 NE=L2••• tan / MEN=-2-.. ( 13 分)点评：本题考查直线与平面平行、直线现平面垂直的证明，考查二面角的正切值的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意三垂直线定理的合理运用.18.考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定.专题：空间位置关系与距离；空间角；立体几何.分析：(1)由题设条件及图知，可先由线面垂直的性质证出PALBD与PCLBD再由线面垂直的判定定理证明线面垂直即可；(2)由图可令AC与BD的交点为0,连接0E证明出/ BEO为二面角B- PC- A的平面角，然后在其所在的三角形中解三角形即可求出二面角的正切值.解答：(1)T PAL平面ABCD•PAL BD•/ PC L平面BDE•PC L BD 又PAH PC=P•BD L平面PAC(2)设AC与BD交点为0,连OE•/ PC L平面BDE•PC L平面BOE•PC L BE• Z BEO为二面角B- PC- A的平面角•/ BD L平面PAC• BD L AC•四边形ABCE为正方形，又PA=1, AD=2可得BD=AC=2 ■:, PC=3• 0C=二』又BDL OEBO • —「匚二存二:;在厶PAC^^ OEC中,点评： 本题考查二面角的平面角的求法及线面垂直的判定定理与性质定理，属于立体几何中的基本题型，二面角的平面角的求法过程，作，证，求三步是求二面角的通用步骤，要熟练掌握19.考点： 棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定.专题： 综合题；空间位置关系与距离；空间角.分析： (1)连接AG 交AQ 于点F ,由三角形中位线定理得 BG // DF,由此能证明 BG //平面(2) 利用线面垂直的判定定理证明 AC 丄平面AB G ，即可证明 AC 丄AB ；(3) 证明/ BDE 为二面角E -CD- B 的平面角，点 E 为BB 的中点，确定 DE 丄A i D,再求三棱锥 的体积.解答： (1)证明：连结 AG ,交A i C 于点F ,则F 为AG 中点，又D 是AB 中点，连结 DF,贝U BG // DF,因为DF?平面A i GD BG?平面 A i GD所以BG //平面A i CD •••( 3分)(2) 证明：直三棱柱 ABC- ABC 中，因为AA=AC,所以AG 丄AQ ・・(4分)因为 GAL GB B C / BC所以B C i 丄平面 AGCA ,所以B C i LAQ ・・(6分)因为B G A AC =G ,所以 A i C 丄平面 AB G所以 A G ±AB i •••( 8 分)(3) 在直三棱柱 ABC- A i B i G 中，AA 丄CD因为AG=GB D 为AB 的中点，所以 GDI AB CDL 平面 ABBA .所以 CDL DE CDL DB所以/ BDE 为二面角E - CD- B 的平面角.A CD G - A i DE在Rt△ DEB 中, 由AA=AC=CB=2 CAL CB所以 :.所以些卫1,得BE=1.所以点E为BB的中点.…（11分）DB- 2又因为I 「，，］_「，J；, A i E=3,故A1L2+-DE2^A1E2,故有DEI A i D所以比一屮E冷心△屮E"嗨冥护祈X亦X占二「•（14分）. A G点评：本题主要考查直线与平面平行、垂直等位置关系，考查线面平行、二面角的概念、求法、三棱锥C- ADE的体积等知识，考查空间想象能力和逻辑推理能力，是中档题.20.考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；与二面角有关的立体几何综合题.专题：计算题；证明题；压轴题.分析：（1）连BD设AC交于BD于0,由题意知SC L平面ABCD以0为坐标原点，丽，应.&分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立坐标系0- xyz，设底面边长为a，求出高SQ从而得到点S与点C 和D的坐标，求出向量66与M5,计算它们的数量积，从而证明出QCLSD贝U ACLSD（2）根据题意先求出平面PAC的一个法向量『匸和平面DA0的—个法向量：，设所求二面角为B,则，从而求出二面角的大小；I os | I DS |2（3）在棱SC上存在一点E使BE//平面PAC根据（n）知DE是平面PAC的一个法向量，设CE=tCS, 求出西，根据頑二0可求出t的值，从而即当SE: EC=2 1时，BE丄DS,而BE不在平面PAC内,故BE//平面PAC解答： 证明：(1 )连BD 设AC 交于BD 于0,由题意知 SC L 平面ABCD 以0为坐标原点，二.工-分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立坐标系 0- xyz 如图.故 OCL SD从而AC L SD所求二面角的大小为 30°. (3)在棱SC 上存在一点 E 使BE//平面PAC由(n)知是平面PAC 的一个法向量,设；「-「，则匚I I :.、」1 扎 j 1而二11即当 SE ： EC =2 i 时，BE I DS而BE 不在平面 PAC 内，故BE//平面 PACC （0, 设底面边长为a ,则高 a 于是■: I .. -, SD=（- ,0, SD=0(2 )由题设知，平面PAC 的一个法向量 DS = 平面DAC 的一个法向量 （o f o f 学） 设所求二面角为B,则二_| 「，门 ；I os I I DS I点评：本题主要考查了直线与平面平行的判定，以及空间两直线的位置关系的判定和二面角的求法, 涉及到的知识点比较多，知识性技巧性都很强.。