. 第1讲 空间几何体 高考《考试大纲》的要求： ① 认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构. ② 能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图. ③ 会用平行投影与中心投影两种方法，画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式. ④ 会画某些建筑物的视图与直观图（在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求）. ⑤ 了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）. （一）例题选讲：

例1.四面体ABCD的外接球球心在CD上，且CD＝2，AB＝3，在外接球面上两点A、B间的球面距离是（ ）

A．6 B．3 C．32 D．65 例2.如果圆台的母线与底面成60°角,那么这个圆台的侧面积与轴截面面积的比为( ) A．2 B．23 C．332 D．21 例3.在正三棱柱ABC—A1B1C1中，侧棱长为2，底面三角形的边长为1，则BC1与侧面ACC1A1所成的角是 .

例4.如图所示，等腰△ABC的底边AB=66,高CD=3，点B是线段BD上异于点B、D的动点.点F在BC边上，且EF⊥AB.现沿EF将△BEF折起到△PEF的位置，使PE⊥AE.记BE＝x，V(x)表示四棱锥P-ACFE的体积. （1）求V(x)的表达式； （2）当x为何值时，V(x)取得最大值？ （3）当V(x)取得最大值时，求异面直线AC与PF所成角的余弦值。

（二）基础训练： 1．下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（ ）

A．①② B．①③ C．①④ D．②④ 2．设地球半径为R，若甲地位于北纬045东经0120，乙地位于南纬度075东经0120，则甲、乙两地球面距离为（ ）

（A）3R (B) 6R (C) 56R (D) 23R

①正方形 ②圆锥 ③三棱台 ④正四棱锥 .

ABCDP3．若一个底面边长为62，棱长为6的正六棱柱的所有顶点都在一个球的面上，则此球的体积为 ． 4. 已知,,ABC三点在球心为O，半径为R的球面上，ACBC，且ABR，那么,AB两点的球面距离为___________，球心到平面ABC的距离为________ 5．如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD 为矩形，AB=8，AD=43， 侧面PAD为等边三角形，并且与底面所成二面角为60°. （Ⅰ）求四棱锥P—ABCD的体积； （Ⅱ）证明PA⊥BD.

（三）巩固练习： 1．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的全面积是（ ） （A）3 （B）33 （C）6 （D）9 2、已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ ） A．16 B．20 C．24 D．32 3.一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等，那么，这个圆锥轴截面顶角的余弦值是( )

A.34 B.45 C.35 D.－35

4．已知球O的半径为1，A、B、C三点都在球面上，且每两点间的球面距离为2，则球心O到平面ABC的距离为（ ） （A）31 （B）33 （C）32 （D）36 5.表面积为23 的正八面体的各个顶点都在同一个球面上,则此球的体积为（ ） A．23 B．13 C．23 D．223 6.已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为26，则侧面与底面所成的二面角等于________ 7．请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如图所示）。试问当帐篷的顶点O到底面中心1o的距离为多少时，帐篷的体积最大？

O .

8． 如图，已知平行六面体ABCD-1111DCBA的底面ABCD是菱形，且 CBC1=BCDCDC1。

（I）证明：CC1⊥BD；

（II）当1CCCD的值为多少时，能使CA1平面BDC1？请给出证明。

第2讲 空间直线和平面 高考《考试大纲》的要求： ①理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理. ◆公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点在此平面内. ◆公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面. ◆公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线. ◆公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行. ◆定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补. ②以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定. 理解以下判定定理： ◆如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行. ◆如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行. ◆如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直. ◆如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直. 理解以下性质定理，并能够证明： ◆如果一条直线与一个平面平行,经过该直线的任一个平面与此平面相交,那么这条直线就和交线平行. ◆如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行. ◆垂直于同一个平面的两条直线平行. ◆如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直. ③ 能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题. （一）例题选讲： 例1．如图，在正四棱柱 1111ABCDABCD中，E、F分别是11ABC、B的中点，则以下结论中不成立的是( ) A．1EFBB与垂直 B. EFBD与垂直 C. EF与CD异面 D. EF11与AC异面

例2.如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α、β所成的角分别为π4和π6，过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为A′、B′， 则AB∶A′B′＝（ ） （A）2∶1 （B）3∶1 （C）3∶2 （D）4∶3

例3.在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC的两边AB、AC互相垂直，则AB2+AC2=BC2，拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥A—BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两相互垂直，则

α β A

B A′

B′ .

例4.在三棱锥S—ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=22， M、N分别为AB、SB的中点。 （Ⅰ）证明：AC⊥SB； （Ⅱ）求二面角N—CM—B的大小； （Ⅲ）求点B到平面CMN的距离.

（二）基础训练： 1．已知两条直线,mn，两个平面,，给出下面四个命题： ①//,mnmn ②//,,//mnmn ③//,////mnmn ④//,//,mnmn 其中正确命题的序号是（ ） A．①③ B．②④ C．①④ D．②③ 2.已知P为平面a外一点，直线la,点Q∈l,记点P到平面a的距离为a,点P到直线l的距离为b，点P、Q之间的距离为c，则（ ） (A) cba (B)cba (C) bca (D)acb 3、给出以下四个命题： ①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行， ②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面 ③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行， ④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直. 其中真命题的个数是（ ） A.4 B. 3 C. 2 D. 1 4、下列命题中，正确的是 （ ） A．经过不同的三点有且只有一个平面 B．分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线 C．垂直于同一个平面的两条直线是平行直线 D．垂直于同一个平面的两个平面平行 5.已知点O在二面角α－AB－β的棱上，点P在α内，且∠POB＝45°．若对于β内异于0的任意一点Q，都有∠POQ≥45°，则二面角α－AB－β的大小是__________．

6．已知平面,和直线，给出条件：①//m；②m；③m；④；⑤//. （i）当满足条件 时，有//m； （ii）当满足条件 时，有m.（填所选条件的序号） 7．三棱锥P—ABC中，侧面PAC与底面ABC垂直，PA=PB=PC=3. (1) 求证AB⊥BC；

(2) 如果AB=BC=32，求侧面PBC与侧面PAC所成二面角的大小.

（三）巩固练习： 1．若mn，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题中的真命题．．．是（ ）

P C A B .

A．若m，，则m B．若m，m∥，则 C．若，⊥，则 D．若m，n，mn∥，则∥ 2.设ab，为两条直线,，为两个平面,下列四个命题中，正确的命题是( ) A．若ab，与所成的角相等，则ab∥ B．若a∥，b∥，∥，则ab∥ C．若a，b，ab∥，则∥ D．若a，b，，则ab 3.若三个平面两两相交,且三条交线互相平行,则这三个平面把空间分成（ ） A．5部分 B.6部分 C.7部分 D.8部分 4．给出下列四个命题: ①垂直于同一直线的两条直线互相平行. ②垂直于同一平面的两个平面互相平行. ③若直线12,ll与同一平面所成的角相等,则12,ll互相平行. ④若直线12,ll是异面直线,则与12,ll都相交的两条直线是异面直线. 其中假．命题的个数是（ ） (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 5.设m、n是两条不同的直线，、是两个不同的平面.考查下列命题，其中正确的命题是（ ） A．nmnm,, B．nmnm//,,// C．nmnm//,, D．nmnm,, 6.在正四面体P－ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中不成立．．．的是（ ） （A）BC//平面PDF （B）DF⊥平面PA E （C）平面PDF⊥平面ABC （D）平面PAE⊥平面 ABC 7．设、、为平面，lnm、、为直线，则m的一个充分条件是( ) (A) lml,, (B) ,,m (C) m,, (D) mnn,, 8．对于不重合的两个平面与，给定下列条件： ①存在平面，使得α、β都垂直于； ②存在平面，使得α、β都平等于； ③存在直线l，直线m，使得ml//； ④存在异面直线l、m，使得.//,//,//,//mmll 其中，可以判定α与β平行的条件有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．设P是60的二面角l内一点，,PAPB平面平面,A,B为垂足，4,2,PAPB则AB的长为：（ ） A 23 B 25 C 27 D 42 10. 已知直线、m，平面、，且，给出下列四个命题。 (1)若; (2); (3)若，则; (4)若 其中正确命题的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 11．已知m、n是不同的直线，,是不重合的平面，给出下列命题： ①若//,,,mn则//mn ②若,,//,//,mnmn则// ③若,,//mnmn,则// ④m、n是两条异面直线，若//,//,//,//,mmnn则// 上面命题中，真命题的序号是____________(写出所有真命的序号） 12．在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AB=BC=2，BB1=2，90ABC，E、F分别为AA1、C1B1的中点，沿棱柱的表面从E到F两点的最短路径的长度为 .