ｖｘ ＝（ａ＋１）ｅｔ－１＝ｘ＋ｔ
ｖｙ ＝（ｂ＋１）ｅｔ－１＝ｙ＋ｔ
可进一步求得欧拉变数下的加速度为：
ａｘ ＝ｖｔｘ ＋ｖｘｖｘｘ ＋ｖｙｖｙｘ ＋ｖｚｖｚｘ ＝ｘ＋ｔ＋１
ａｙ ＝ｖｔｙ ＋ｖｘｖｘｙ ＋ｖｙｖｙｙ ＋ｖｚｖｚｙ ＝ｙ＋ｔ＋１
（４）有效断面、流量和平局流速等
流管
流管———在流场中作一条不与流线重合的任意封闭曲线，则通过此曲线上任一点的所有流线将 — 5—
如上图，一条迹线表示一个流体质点在一段时间内描述的路径。 特点：迹线上各点的切线方向表示的是同一流体质点在不同时刻的速度方向。 （２）流线 流线：流线是用来描述流场中各点流动方向的曲线，即矢量场的矢量线。在某一时刻该曲线上任 意处质点的速度矢量与此曲线相切。 注：矢量线———线上任一点的切线方向与该点的矢量方向重合，称为矢量线。
— 3—
２）二元流动：流体的运动参数只有两个坐标的函数。平面流动是二元流动。实际流体由于具有 黏性，故其流动至少是二元的，例如实际流体在圆管内的流动。由于水的黏性影响，靠近管壁的流速 低于中部的流速，即管道中的流速随管道的半径和流动方向的位移而变化，所以是二元流动。
３）三元流动：流体在空间流动一般说都是三元流动，运动参数是空间三坐标的函数。 考点四 流体运动学的基本概念和相关计算 （１）迹线 迹线：流体质点在不同时刻的运动轨迹。
构成一个管状曲面，这个管状曲面称为流管。
流束———充满在流管内部的流体。微小流束：断面无穷小的流束。 总流———管道内流动的流体的集合。 流管特点： ①流管表面不可能有流体穿过；②稳定流动时流管的形状和位置都不随时间变化，就像固体管道 的管壁；非稳定流动时，流管的形状及位置有可能随时间变化；③流管不可能在流场内部中断。 有效断面 有效断面———流束或总流上垂直于流线的断面。（有效断面可能是平面，也可能是曲面）
（４）空间运动的连续性方程（推导）
流体最普遍的运动形式是空间运动，即在空间 ｘ，ｙ，ｚ三个坐标方向都有流体运动的分速度。
（ρｖｘ）＋（ρｖｙ）＋（ρｖｚ）＋ρ＝０
ｘ
ｙ
ｚ ｔ
或
ρｔ＋ｄｉｖ（ρｖ） ＝０
①对于稳定流动：
流体的密度不随时间变化，则 （ρｖｘ）＋（ρｖｙ）＋（ρｖｚ） ＝０
流量———单位时间内流经有效断面的流体量。
体积流量：单位时间内通过有效截面的流体体积，称为体积流量，符号为 ｑｖ。Ｑ＝Ａｖ。 质量流量：单位时间内通过有效截面的流体质量，称为质量流量，符号为 ｑｍ 。 质量流量与体积流量的关系为：Ｑｍ ＝ρＱ ［经典例题］ 用直径 ２００ｍｍ的管输送相对密度为 ０．７的汽油，使其流速不超过 １．２ｍ／ｓ。试求
眼于流场中的空间点，即设法描述出空间点处质点的运动参数，如速度和加速度随时间的变化规律，
以及相邻空间点之间这些参数的变化规律。
若不同时刻每一空间点处流体质点的运动状况都已知道，则整个流场的运动状况也就清楚了。
物理量在空间中的分布即为各种物理参数的长，如速度场、压力场：ｕ＝ｕ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ），ｐ ＝ ｐ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）。
ａ、ｂ为 ｔ＝０时流体质点所在位置的坐标。试求：
１）ｔ＝２时刻流体质点的分布规律；
２）ａ＝１，ｂ＝２时这个质点的运动规律；
３）流体质点的Leabharlann 速度；４）欧拉变数下的速度与加速度。
解 １）ｄｄｘｔ＝ｖｘ ＝（ａ＋１）ｅｔ－１；ｄｄｙｔ＝ｖｙ ＝（ｂ＋１）ｅｔ－１ 则有 ｘ＝（ａ＋１）ｅｔ－ｔ＋Ｃ１；ｙ＝（ｂ＋１）ｅｔ－ｔ＋Ｃ２ 注意到在 ｔ＝０时，ｘ＝ａ、ｙ＝ｂ，即有
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蔡增基《流体力学》考点精讲及复习思路
那时刻过该点的流线的微元段相重合而已。
例题 已知流场的速度分布为
ｕ＝ｘ２ｙｉ－３ｙｊ＋２ｚ２ｋ
１）属于几元流动？
２）求（ｘ，ｙ，ｚ）＝（３，１，２）点的加速度？
［经典例题］ 已知拉格朗日变数下的速度表达式为：
Ｖｘ＝（ａ＋１）ｅｔ－１
Ｖｙ＝（ｂ＋１）ｅｔ －１
蔡增基《流体力学》考点精讲及复习思路
第三章 一元流体动力学基础
１．本章考情分析
本章主要介绍了流场中各个运动参数的变化规律，以及这些运动参数之间的关系等问题。本章 以数学的思想、方法来对流场进行描述，试题中本章节有关概念以名词解释考察，主要以计算题进行 考察，光有思路计算不出结果显然是不行的，所以这一章节显得尤为关键。理想流体连续性方程，动 量方程，能量方程，这三大方程解决流体动力学是研究运动流体之间以及流体与固体边界之间的作用 力，即研究速度、加速度与质量力、压力、粘性力之间的关系。
例题 已知以拉格朗日描述为 ｘ＝ａｅｔ，ｙ＝ｂｅ－ｔ 求：速度与加速度的欧拉描述。
考点三 流动的分类
Ａ．按流体的性质分类： １）理想流体流动； ２）黏性流体流动 ３）不可压缩流体流动：密度 ρ＝常数 ４）可压缩流体流动：密度 ρ＝（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ） Ｂ．按运动形式分类： １）层流 ／紊流流动； ２）有旋 ／无旋流动； ３）亚音素 ／超音素流动。 Ｃ．按与时间关系分类： １）定常流动， ２）非定常流动 （１）稳定流动与不稳定流动 稳定流动：如果流场中每一空间点上的部分或所有运动参数均不随时间变化，则称其为稳定流 动，也称作恒定流动或定常流动。 不稳定流动：如果流场中每一空间点上的部分或所有运动参数随时间变化，则称其为不稳定流 动，也称作非恒定流动或非定常流动。 注：运动参数———流体质点的速度、加速度；流体密度、压强、切应力等物理量的总称。 均匀流与非均匀流———流场中，若流线是相互平行的直线，称为均匀流；反之，则叫做非均匀流。 非均匀流包括渐变流和急变流。 渐变流：流线为近似平行的直线，或曲半径很大的 流体流动。 急变 流：流 线 为 不 相 互 平 行 的 直 线，且 夹 角 很 大， 或曲率半径很小的流体流动。 注：恒定与非恒定———相对时间而言， 均匀与非均匀———相对空间而言。 （２）一元、二元和三元流动 几元就是需要几个空间坐标来描述流动。 １）一元流动：流体的运动参数只是一个坐标的函数。如：理想流体在圆管内流动，因它不具有黏 性，沿管半径流速变化比较缓慢。或者实际流体的黏性很小可以忽略，以管横截面上的平均流速来描 写管内流动，即将二元流动化为一元流动求解。
考点五 连续性方程
（１）系统
系统———就是确定物质的集合。
特点：①系统始终包含着相同的流体质点；
②系统的形状和位置可以随时间变化；
③边界上可以有力的作用和能量的交换，但不能有质量的交换
（２）控制体
控制体———指根据需要所选择的具有确定位置和体积形状的流场空间。控制体的表面称为控
制面。
控制体具有以下特点：
①控制体内的流体质点是不固定的；
②控制体的位置和形状不会随时间变化；
③控制面上不仅可以有力的作用和能量交换，而且还可以有质量的交换。
（３）一元稳定流动的连续性方程 Ｑｍ ＝ρＡｖ＝常数 既适用于不可压缩流体，也适用于可压缩流体。
物理意义：沿一元稳定流动的流程质量流量不变。
对于不可压缩流体，密度为常数，则有 Ｑ ＝Ａｖ＝常数
欧拉法表示的加速度在直角坐标系中为：
ａｘ
＝ｄｖｘ ｄｔ
＝ｖｔｘ ＋ｖｘｖｘｘ ＋ｖｙｖｙｘ ＋ｖｚｖｚｘ
ａｙ
＝ｄｖｙ ｄｔ
＝ｖｔｙ ＋ｖｘｖｘｙ ＋ｖｙｖｙｙ ＋ｖｚｖｚｙ
ａｚ ＝ｄｄｖｔｚ ＝ｖｔｚ ＋ｖｘｖｘｚ ＋ｖｙｖｙｚ ＋ｖｚｖｚｚ
其中各项的含义：
１）ｖｚ：表示在同一空间点上由于流动的不稳定性引起的加速度，称为当地加速度或时变加速度 ｔ
— 1—
的位置（ｘ，ｙ，ｚ）应该是（ａ，ｂ，ｃ）和时间 ｔ的函数，即
拉格朗日变量：ｘ＝ｘ（ａ，ｂ，ｃ，ｔ）
ｙ＝ｙ（ａ，ｂ，ｃ，ｔ）
ｚ＝ｚ（ａ，ｂ，ｃ，ｔ）
其速度和加速度为：（ｘ方向）
ｕｘ ＝ｘ（ａ，ｂｔ，ｃ，ｔ）
ａｘ
＝ｕｘ（ａ，ｂ，ｃ，ｔ） ｔ
＝２ｘ（ａ，ｔｂ２，ｃ，ｔ）
（２）欧拉法（空间点法）
欧拉法是从分析流体所占据的空间中各固定点出的质点运动着手，研究整个流体的流动。它着
每秒最多输送多少 ｋｇ？
解 由质量流量公式
Ｑｍ ＝υＡρ＝υ×π４ｄ２ ×ρ
得
Ｑｍ
＝１．２×３．１４×０．２２ ×０．７×１０３ ４
＝２６．２７６（ｋｇ／ｓ）
平均流速
平均流速———有效断面上速度的平均值。
平均流速的物理意义？
实际流体流动的有效断面上个点处的速度大小都不一样，工程
上位了将问题简化，引入有效断面上速度的平均值。平均流速的物理意义就是假想有效断面上个点
３）质点的加速度为：
ａｘ
＝ｄｖｘ ｄｔ
＝（ａ＋１）ｅｔ，ａｙ
＝ｄｖｙ ＝（ｂ＋１）ｅｔ ｄｔ
４）由质点一般运动规律 ｘ＝（ａ＋１）ｅｔ－ｔ－１，ｙ＝（ｂ＋１）ｅｔ－ｔ－１
则拉格朗日变数 ａ与 ｂ的表达式
ａ＝（ｘ＋ｔ＋１）ｅ－ｔ－１
ｂ＝（ｙ＋ｔ＋１）ｅ－ｔ－１
代入所给的拉格朗日变数下的速度表达式，可求得在欧拉变数下的速度表达式为
流线的微分方程： ｄｘ ＝ ｄｙ ＝ ｄｚ ｖｘ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ） ｖｙ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ） ｖｚ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）
注：由于流线是对某一时刻而言的，所以在上述方程积分时，变量 ｔ被单作常数处理。 流线特征： ①流线充满整个流场，构成某一时刻流场内的流谱，表示瞬时流动方向。②定常运动，流线的形 状不随时间变化，流体质点沿流线前进，流线与轨迹线重合。③流线不能交叉，亦不可能是折线，流线 只能是光滑曲线。④对于不可压缩流体，流场中流线的疏密程度反映此时刻流场中各点处压强、流速 的变化。流线疏的地方，流速小压强大。 （３）迹线与流线的比较 一是，迹线是表示一段时间同一个流体质点的动态；流线是表示某一瞬间多个流体质点的运动 趋势。 二是，在同一时刻，质点的微元位移总是和它的速度同方向。故在定常流场中，不同时刻的流线 是重合的，流点微元位移与流线重合，流点沿着流线运动。 三是，不同的时刻，非定常流场中的流线是变化的，迹线只能是在某一时刻正通过某点，它只是与