2009年天津市春季高考真题详解(数学)一、单项选择题（共15小题，每小题5分，共75分）（1）设全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={2，4，6}，则CuA=（A）{2，4，6}（B）{1，3，5}（C）{1，2，3，4，5，6}（D）Φ【答案】B【考点】补集的概念【分析】补集的定义：如果集合A是全集的一个子集，那么全集U中不属于A的所有元素组成的集合，叫做A在U中的补集。
即CuA={x|x∈U且x不属于A}。
因此，根据补集的定义，计算CuA就是在全集U={1，2，3，4，5，6}中去除集合A中的所有元素，剩余元素组成的集合{1，3，5}即为CuA。
（2）已知1≤a≤5，则=（A）6 - 2a（B）2a-6（C）-4（D）4【答案】：D【考点】绝对值的性质【分析】因为=| a - 1 | + | a - 5 |，根据1≤a≤5，因此有：= a - 1 + 5 - a = 4（3）函数的定义域为（A）(2，+∞)（B）[2，+∞]（C）(2，3)∪(3，+∞)（D）[2，3)∪(3，+∞)【答案】：D【考点】定义域【分析】求定义域需要遵循三个原则：①分母不能为零；②偶次根式被开方数大于等于零；③对数的真数大于零，底数大于零且不等于1。
根据上面的原则，所以函数的定义域为：解得，因此选择D。
（4）若10x = lg10m + lg(1/m) ，则x=（A）0（B）2（C）1（D）-1【考点】指数、对数的性质【分析】根据对数运算性质有：10x = lg10m +lg(1/m) = lg10 + lgm + lg1 – lgm =lg10 = 1，所以x=0（5）已知向量a=(3，-2)，b=(4，3)，则(3a - 2b)·a=（A）-21（B）3（C）27（D）51【答案】：C【考点】向量性质和内积运算【分析】3a - 2b=3(3，-2)-2(4，3)=(9，-6)-(8，6)=(1，-12)，由向量的内积运算法则，所以：(3a - 2b)·a=(1，-12)·(3，-2)=1×3+(-12)×(-2)=27（6）已知函数f(x)=(k-1)x2 + 2kx +3为偶函数，则其单调递减区间为：（A）（-∞，0）（B）（0，+∞）（C）（-∞，1）（D）（-∞，+∞）【考点】奇偶函数、单调区间、二次函数的性质【分析】因为(k-1)x2 + 2kx +3为偶函数，因此，一次项系数应为零，所以k=0因此f(x)= -x2 + 3，此函数是对称轴为x=0、开口向下的抛物线，因此，对称轴右侧为单调下降部分，选择B。
（7）在数列{an}中，an+1 = an +3，a2 = 2，则a7 =（A）11（B）14（C）17（D）20【答案】：C【考点】等差数列【分析】因为an+1 = an +3，即相邻两项之差恒为3，所以数列{an}为等差数列，且公差d=3，所以a1 = a2 –d = 2-3 = -1，因此a7 = a1 + 6d = 17。
或者直接根据a2和d计算a7 = a2 + 5d = 17。
（8）从4名男生中选1人，3名女生中选2人，将选出的3人排成一排，不同排法共有：（A）24种（B）35种（C）72种（D）210种【答案】：C【考点】排列、组合【分析】从4名男生中选1人有种方法，从3名女生中选2人有种，再将选出的3人排成一排，则共有= 4×3×6 = 72种。
（9）待中装有3个黑球和2个白球，一次取出两个球，恰好是黑、白球各一个的概率为：（A）1/5（B）3/10（C）2/5（D）3/5【答案】：D【考点】组合、概率【分析】先求取出2球的所有取法，共有种。
从3个黑球中取一个球的取法为，从2个白球中取一个球的取法有种。
因此，根据概率的求法，所求的概率为：（10）函数y = 1 + sin(x/3)的最小正周期是：（A）π/6（B）π/3（C）3π【答案】：D【考点】周期【分析】sinax和cosax的周期为T=2π/|a| ，本题中a=1/3，所以T=6π。
（11）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a2 + b2 – c2 = ab，则C=（A）π/6（B）π/3（C）5π/6（D）2π/3【答案】：B【考点】余弦定理【分析】根据条件a2 + b2 – c2 = ab，很容易想到采用余弦定理进行处理。
因为：c2 = a2 + b2 –2abcosC所以cosC=(a2 + b2 – c2)/2ab =ab/2ab=1/2，因此C=π/3。
（12）用一个平面截正方体，所得的截面图形不可能是：（A）等腰三角形（B）直角三角形（D）矩形【答案】：B【考点】立体几何【分析】本题可通过排除法找出答案。
平行于正方体某个面去截，截面是正方形；将正方体某个角截下来，则截面可以是普通的锐角三角形、等腰三角形或正三角形；若平行于某个棱去截正方体，则可以得到矩形，在这种截法中，若平面不与正方体的棱平行，而是偏离一些，则可以得到一般梯形或等腰梯形。
因此，A、C、D 均可得到，只有B无法得到。
（13）设a>0，若直线经过点(a，0)、(0，2a)、(1，2)，则其方程是：（A）2x + y – 4 = 0（B）x + 2y – 5 = 0（C）2x - y = 0（D）2x + y = 0【答案】：A【考点】直线【分析】本题可以采用多种方法进行计算。
方法1：因为直线经过(1，2)，所以代入验算排除B、C。
假设答案是D，即2x + y =0，因为过(a，0)点，代入得a = 0，与条件a>0矛盾，所以选择A。
方法2：(a，0)、(0，2a)分别是直线与x轴和y轴的交点，所以直线截距分别为x=a>0，y=2a>0。
而C、D的截距均为零，排除。
再将(1，2)代入A或B中可知A正确。
（14）已知抛物线y2 = mx的准线方程为x = -2，则常数m=（A）4（B）-4（C）8（D）-8【答案】：C【考点】抛物线、抛物线的准线【分析】因为抛物线y2 = mx的开口方向与准线相反，而准线方程为x =-2，所以抛物线的开口向右，因此m>0，排除B、D。
另外，在抛物线y2 = mx中，p=m/2，准线方程为：x = -p/2 = -m/4 = -2，所以m=8。
（15）已知直线l1：2x + y + m = 0，直线l2：x + 2y + n = 0，则：（A）l1与l2相交但不垂直（B）l1与l2相交且垂直（C）l1与l2行（D）l1与l2的位置关系取决于m、n的值【答案】：A【考点】直线的斜率、直线的位置关系【分析】根据条件，k1 = -2，k2 =-1/2，因为k1≠k2，所以两直线不平行，因此肯定相交，排除C、D。
又因为k1×k2 = 1≠-1，因此，两直线不垂直，因此选A。
二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分）（16）不等式(x + 3)2 <1的解集是__________。
【答案】-4 < x < -2【考点】求解不等式【分析】方法1：(x + 3)2 <1可化为(x + 3)2 – 1 <0，即(x +2)(x+4)<0，解得-4 < x< -2。
方法2：(x + 3)2 <1可化为| x +3 | <1，所以-1 < x + 3 < 1，解得-4 < x < -2。
（17）已知ma = 4，mb = 8，mc = 16(m>0)，则ma+b-c=_______。
【答案】2【考点】指数运算【分析】ma+b-c = ma+bm-c= ma+b/mc = mamb/mc = 4×8/16 = 2（18）若复数(1+2i)(k+i)的实部和虚部相等，则实数k=________。
【答案】-3【考点】复数的性质和运算【分析】(1+2i)(k+i)= k – 2 + (1+2k)i，根据条件实部和虚部相等，因此k-2=1+2k，解得k =- 3。
（19）半径为10的圆中，135°圆心角所对圆弧的长为________。
【答案】7.5π【考点】弧度制、弧长计算【分析】135°= 3π/4，弧长为l = |α|·r = (3π/4)×10 = 7.5π。
（20）已知ta nα= 2，则tan(π/4+α)________。
【答案】-3【考点】三角函数的两角和或差【分析】根据tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ) ，所以：（21）在等比数列{an}中，公比q=3，前n项和为Sn，则S4/S2= ________。
【答案】10【考点】等比数列【分析】设首项为a1，因为公比q=3，则a2 = 3a1，a3 = 9a1，a4 = 27a1，所以S2 = a1 + a2=4a1，S4 = a1 + a2 + a3 + a4 =40a1，所以S4/S2 = 40a1/4a1 =10。
三、解答题（共4小题，共51分）（22）（12分）已知二次函数f(x) = ax2 + bx 满足：①f(2)=0；②方程f(x)=x有两个相等的实数根，求：（Ⅰ）函数f(x)的解析式（Ⅱ）函数f(x)在区间[0，3]上的最大值和最小值【考点】二次函数，最值求解【答案】（Ⅰ）由f(2)=0得：4a + 2b = 0由f(x)=x，即ax2 +(b–1)x = 0有两个相等的实数根，所以：△= b2–4ac =0即：(b–1)2–4×a×0 = 0，解得b = 1，所以a = -1/2，所以f(x)= - x2/2 + x（Ⅱ）f(x)= - x2/2 + x = - (x–1)2/2 + 1/2，所以函数的开口向下，对称轴为x =1，因为1∈[1，3]，所以当x = 1时，f(x)有最大值为1/2；因为函数开口向下，所以最小值在区间[1，3]的端点处达到，因为：f(0)= 0，f(3)= -2/3，所以当x =3时函数f(x)有最小值为-2/3 。
（23）（12分）已知函数f(x)= 2sinxcosx + cos2x；（Ⅰ）求f(3π/4)的值（Ⅱ）若f(α/4)=/2，且π<α<3π/2，求cosα的值【考点】三角函数求值，三角函数运算【答案】（Ⅰ）f(3π/4)= 2sin(3π/4)cos(3π/4)+ cos(3π/2)=2×(/2)×(-/2)+0= -1（Ⅱ）由f(α/4)= /2得：，即：两边平方得：，即sinα= -1/2因为π<α<3π/2，所以cosα= -= -/2（24）（12分）如图所示，正三棱柱的底面边长为4，过BC的一个平面交棱AA1于点D，且AD=2，求：（Ⅰ）二面角A-BC-D的度数（Ⅱ）三角形BCD的面积【考点】三垂线定理，二面角，面积计算【答案】（Ⅰ）过A做AE⊥BC于E，连接DE，因为DA⊥底面ABC，AE是DE在底面ABC内的投影，根据三垂线定理得DE⊥BC，所以∠DEA就是二面角A-BC-D的平面角在直角三角形AEC中，AC=4，EC=2，所以AE == 2在直角三角形AED中，tan∠DEA=AD/AE=/3 ，所以∠DEA=30°因此二面角A-BC-D的度数是30°（Ⅱ）在直角三角形AED中，因为∠DEA=30°，所以DE=2AD=4所以三角形BCD的面积为：S = BC×DE/2 = 4×4/2 = 8（25）（15分）已知椭圆的标准方程为，双曲线的标准方程为，求：（Ⅰ）椭圆的焦点坐标（Ⅱ）双曲线的渐近线方程（Ⅲ）以椭圆的右焦点为圆心，且与双曲线的渐近线相切的圆的标准方程【考点】椭圆，渐近线，圆，点到直线距离【答案】（Ⅰ）由，所以a2 = 169，b2 = 144，所以c2 = a2 - b2 = 25，所以c =5，因此椭圆的焦点坐标为(-5，0)、(5，0)（Ⅱ）在双曲线中，a = 3，b = 4，所以渐近线方程为y = ±4x/3（Ⅲ）根据（Ⅱ），渐近线方程为4x - 3y = 0或4x + 3y = 0根据条件，圆与渐近线相切，因此，圆心(5，0)到渐近线的距离就是圆的半径。