三次函数切线专题过点P 一定有直线与)(x f y =图象相切。

（1）若,30a bx -=则过点P 恰有一条切线； （2） 若,30a b x -≠且)3()(0a bg x g -0>，则过点P 恰有一条切线；（3） 若,30ab x -≠且)3()(0abg x g -=0，则过点P 有两条不同的切线； （4）若,30ab x -≠且)3()(0abg x g -0<，则过点P 有三条不同的切线。

其中).)(()()(0/0x x x f x f yx g -+-=证明 设过点P 作直线与)(x f y =图象相切于点),,(11y x Q 则切线方程为),)(23(11211x x c bx ax y y -++=-把点),(0y x P 代入得：2)3(2001021031=--+--+cx d y x bx x ax b ax ， 设.2)3(2)(000203cx d y x bx x ax b ax x g --+--+=,2)3(26)(002/bx x ax b ax x g --+=,)3(448)3(420020b ax abx ax b +=+-=∆令,0)(/=x g 则.3,0abx x x -==因为0)(=x g 恰有一个实根的充要条件是曲线)(x g y =与X 轴只相交一次，即)(x g y =在R 上为单调函数或两极值同号，所以,30ab x -=或,30ab x -≠且)3()(0abg x g -0>时，过点P 恰有一条切线。

)(=x g 有两个不同实根的充要条件是曲线)(x g y =与X 轴有两个公共点且其中之一为切点，所以,30ab x -≠且)3()(0ab g x g -=0时，过点P 有两条不同的切线。

)(=x g 有三个不同实根的充要条件是曲线)(x g y =与X 轴有三个公共点，即)(x g y =有一个极大值，一个极小值，且两极值异号。

所以,30ab x -≠且)3()(0abg x g -0<时，过点P 有三条不同的切线。

例题讲解：例1、已知函数3y x x =-，求过点()1,0A 的切线方程。

例2、（2010湖北文数）设函数321ax x bx c32f -++（x ）=，其中a＞0，曲线x y f =（）在点P （0，0f （））处的切线方程为y=1（Ⅰ）确定b 、c 的值。

（Ⅱ）设曲线x y f =（）在点（11x x f ，（））及（22x x f ，（））处的切线都过点（0,2）证明：当12x x ≠时，12'()'()f x f x ≠（Ⅲ）若过点（0,2）可作曲线x y f =（）的三条不同切线，求a 的取值范围。

例3、已知函数321()3f x x ax bx=++,且'(1)0f -=(1) 试用含a 的代数式表示b,并求()f x 的单调区间； （2）令1a =-,设函数()f x 在1212,()x x x x <处取得极值，记点M(1x ,1()f x )，N(2x ,2()f x )，P(,()m f m ),12x m x <<,请仔细观察曲线()f x 在点P 处的切线与线段MP 的位置变化趋势，并解释以下问题：（I ）若对任意的m ∈(1x , x 2)，线段MP 与曲线f(x)均有异于M,P 的公共点，试确定t 的最小值，并证明你的结论；（II ）若存在点Q(n ,f(n)), x ≤n< m,使得线段PQ 与曲线f(x)有异于P 、Q 的公共点，请直接写出m 的取值范围（不必给出求解过程）三次函数切线作业1、曲线33y x x=+在点(2,14)P --处的切线方程是 。

2、已知曲线C ：3()2f x x x =-+，则经过点(1,2)P 的曲线C 的切线方程是 。

3、已知曲线C ：32()32f x x x x a=-++的一条切线方程为2y x =，则实数a 的值等于 。

4、已知函数()323f x ax bx x=+-在1x =±处取得极值。

（Ⅰ）求函数f(x)的解析式；（Ⅱ）求证：对于区间[－1，1]上任意两个自变量的值12,x x ，都有()()124f x f x -≤；（Ⅲ）若过点A （1，m ）（m ≠－2）可作曲线y=f(x)的三条切线，求实数m 的取值范围. 5、已知函数．3()2f x xax=+与2()g x bxcx=+的图象都过点P(2，0)，且在点P 处有公共切线．(1)求f(x)和g(x)的表达式及在点P 处的公切线方程； (2)设()()ln(1)8mg x F x x x=+-，其中0m <，求F(x)的单调区间．三次函数切线问题参考答案例1、解：()231f x x '=-，若A 是切点，则切线方程为()02122y x y x -=-⇒=- 若A 不是切点，设切点为()3,t tt -，则切线方程为()()()3231y t t t x t --=--，将()1,0A 代入得()()23232223102211210t t t t t t t -+=⇒--+=-⋅+=，所以切点为13,28⎛⎫- ⎪⎝⎭，则切线方程为410x y +-=。

小结：求切线方程步骤，先判断点是否在曲线上，如不在曲线上，则参照第二小步设切点坐标，若在曲线上，讨论已知点是否为切点，若为切点，由导数可直接求得斜率。

例2、例3、解法一: (Ⅰ)依题意,得2'()2f x x ax b=++由'(1)12021f a b b a -=-+==-得.从而321()(21),'()(1)(21).3f x x ax a x f x x x a =++-=++-故令'()0,112.f x x x a ==-=-得或 ①当a>1时, 121a -<-当x 变化时，'()f x 与()f x 的变化情况如下表：由此得，函数()f x 的单调增区间为(,12)a -∞-和(1,)-+∞，单调减区间为(12,1)a --。

②当1a =时，121a -=-此时有'()0f x >恒成立，且仅在1x =-处'()0f x =，故函数()f x 的单调增区间为R③当1a <时，121a ->-同理可得，函数()f x 的单调增区间为(,1)-∞-和(12,)a -+∞，单调减区间为(1,12)a --综上：当1a >时，函数()f x 的单调增区间为(,12)a -∞-和(1,)-+∞，单调减区间为(12,1)a --；当1a =时，函数()f x 的单调增区间为R ；当1a <时，函数()f x 的单调增区间为(,1)-∞-和(12,)a -+∞，单调减区间为(1,12)a --.(Ⅱ)由1a =-得321()33f x x x x=--令2()230f x xx =--=得121,3xx =-=由（1）得()f x 增区间为(,1)-∞-和(3,)+∞，单调减区间为(1,3)-，所以函数()f x 在处121,3x x =-=取得极值，故M （51,3-）N （3,9-）。

观察()f x 的图象，有如下现象：①当m 从-1（不含-1）变化到3时，线段MP 的斜率与曲线()f x 在点P 处切线的斜率()f x 之差Kmp-'()f m 的值由正连续变为负。

②线段MP 与曲线是否有异于H ，P 的公共点与Kmp －'()f m 的m 正负有着密切的关联；③Kmp －'()f m =0对应的位置可能是临界点，故推测：满足Kmp －'()f m 的m 就是所求的t 最小值，下面给出证明并确定的t 最小值.曲线()f x 在点(,())P m f m 处的切线斜率2'()23f m m m =--；线段MP 的斜率Kmp2453m m --=当Kmp －'()f m =0时，解得12m m =-=或 直线MP 的方程为22454()33m m m m y x ---=+令22454()()()33m m m mg x f x x ---=-+当2m =时，2'()2g x x x=-在(1,2)-上只有一个零点0x =，可判断()f x 函数在(1,0)-上单调递增，在(0,2)上单调递减，又(1)(2)0g g -==，所以()g x 在(1,2)-上没有零点，即线段MP 与曲线()f x 没有异于M ，P 的公共点。

当(]2,3m ∈时，24(0)03m mg -=->.2(2)(2)0g m =--<所以存在(]0,2m ∈使得()0g δ=即当(]2,3,m ∈时MP 与曲线()f x 有异于M,P 的公共点 综上，t 的最小值为2.（2）类似（1）于中的观察，可得m 的取值范围为(]1,3 解法二： （1）同解法一. （2）由1a =-得321()33f x x x x=---，令2'()230f x xx =--=，得121,3xx =-=由（1）得的()f x 单调增区间为(,1)-∞-和(3,)+∞，单调减区间为(1,3)-，所以函数在处取得极值。

故M(51,3-).N(3,9-)(Ⅰ) 直线MP 的方程为22454.33m m m m y x ---=+由223245433133m m m m y x y x x x ⎧---=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩得32223(44)40xx m m x m m ---+-+=线段MP 与曲线()f x 有异于M,P 的公共点等价于上述方程在(－1,m)上有根,即函数3222()3(44)4g x x x m m x m m =---+-+在(-1,m)上有零点.因为函数()g x 为三次函数,所以()g x 至多有三个零点,两个极值点.又(1)()0g g m -==.因此,()g x 在(1,)m -上有零点等价于()g x 在(1,)m -内恰有一个极大值点和一个极小值点,即22'()36(44)0(1,)g x x x m m m =---+=在内有两不相等的实数根.等价于2222236124403(1)6(44)036(44)01m m m m m m m m m ⎧∆+-+⎪-+--+>⎪⎨---+>⎪⎪>⎩＝（）＞ 即1521,251m m m m m -<<⎧⎪><-<<⎨⎪>⎩或解得又因为13m -<≤,所以m 的取值范围为(2,3) 从而满足题设条件的r 的最小值为2. 作业： 1、解：由'2()33f x x=+，得'(2)15f -=，所以所求的切线方程为1415(2)y x +=+，即1516y x =+。