有理数综合训练（讲义）➢ 课前预习1. 思考下列问题：（1）什么是数轴，数轴的作用有哪些？（2）什么是相反数，怎么找一个数或一个式子的相反数？（3）什么是绝对值，绝对值法则是什么？2. 学习定义概念一般按照“关键词拆解；典型例子；反例或特例；正反面对比”的顺序进行．以相反数为例，请回答下列问题： （1）相反数的定义是什么？ （2）-a 表示什么？-(-a )表示什么？ （3）在数轴上两个相反数有什么特征？ （4）互为相反数的两个数和是多少？（5）“一个数的相反数一定是负数”对吗？请举例说明． （6）“符号不同的两个数互为相反数”对吗？请举例说明．3. 下列说法中正确的是___________．①一个数的绝对值一定是正数； ②只有负数的绝对值是它本身； ③互为相反数的两个数的绝对值相等； ④若|x |=|y |，则x =-y ； ⑤若x =-y ，则|x |=|y |； ⑥若a ＜b ，则|a |＜|b |．4. 下列各式一定成立吗？①22()a a =-； ②33()a a =-； ③22a a -=-； ④33a a =．➢ 知识点睛1. 学习定义概念分以下几个层次：①定义概念中要点拆解（关键词拆解）； ②举例子（什么是，什么不是），举特例； ③概念辨析（正反对比，等价表述，数学表示）； ④固定情景下应用，知识间组合应用； ⑤迁移类比．➢ 精讲精练1. 对于任何有理数a ，下列各式中一定为负数的是（ ）A ．-a 2-b 2B ．-aC ．-|a +1|D ．-|a |-12. 如果m n =，那么m ，n 的关系是（ ）A ．互为相反数B ．相等C ．m n =±且0n ≥D ．m 是n 的绝对值3. 已知a ，b 为有理数，下列说法：①若a ，b 互为相反数，则1ab=-；②a 2=(-a )2，a 3=|a 3|；③若a +b ＜0，ab ＞0，则|3a +4b |=-3a -4b ； ④若|a |＞b ，则a 2＞b 2； ⑤若a +b =0，则a 3+b 3=0； ⑥若|a -b |+a -b =0，则b ＞a ； ⑦|a |-a 的结果必为负数． 其中正确的有（ ）个． A ．1B ．2C ．3D ．44. 已知有理数a ，b 满足20ab <，0a b +>，且2a =，3b =，则21(1)3a b -+-的值为__________．5. 如果0＜a ＜1，那么a 2，a ，1a之间的大小关系是（ ）A ．21a a a <<B ．21a a a<<C ．21a a a <<D ．21a a a<<6. 已知a ＜0，-1＜b ＜0，则a ，ab ，ab 2之间的大小关系是（ ）A ．2a ab ab <<B ．2a ab ab <<C ．2ab ab a <<D ．2ab a ab <<7. 若ab ＜0，且a ＞b ，则a ，|a -b |，b 的大小关系是（ ）A ．a ＞|a -b |＞bB ．a ＞b ＞|a -b |C ．|a -b |＞a ＞bD ．|a -b |＞b ＞a8. 如图为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时刻，单位时间进出路口A ，B ，C 的机动车辆数如图所示．图中x 1，x 2，x 3分别表示该时段单位时间通过路段AB ，BC ，CA 的机动车辆数（假设单位时间内在上述路段中同一路段上驶入与驶出的车辆数相等），则有（ ） A ．x 1＞x 2＞x 3 B ．x 1＞x 3＞x 2 C ．x 2＞x 3＞x 1D ．x 3＞x 2＞x19. 甲、乙两支同样的温度计如图所示放置，如果向左移动甲温度计，使其度数12和乙温度计的度数-6对齐，那么此时乙温度计与甲温度计的度数-4正对着的度数是__________．甲乙10. 如图，在数轴上有六个点，且AB =BC =CD =DE =EF ，则与点C 所表示的数最接近的整数是（ ） A ．-1B ．0C ．1D ．211. 已知M ，N ，P ，R 是数轴上从左往右依次排列的四个整数所对应的点，其中有一点是原点，并且MN =NP =PR =1，若数a 对应的点在M 与N 之间，数b 对应的点在P 与R 之间，且3a b +=，则原点可能是（ ） A ．M 或NB ．P 或RC ．M 或RD ．N 或P12. 若m ，n 互为倒数，则mn 2-(n -1)的值为__________．13. 若a ，b 互为相反数，c ，d 互为倒数，m 到-2的距离是3，则323a cd b m -+--的值为__________．14. 若{a }表示不大于a 的整数，例如：{-2}=-2，{-2.5}=-3，{5.6}=5，则计算{-3.8}×{3.14}-{-4}2÷{-4-3.5}的结果为__________．15. 在有理数的原有运算法则中我们补充定义新运算“⊕”如下：当a ≥b 时，2a b b ⊕=，当a <b 时，a b a ⊕=，则当x =2时，(1)(3)x x ⊕-⊕的值为__________．16. 某路公交车从起点开始经过A ，B ，C ，D 四站到达终点，各站上下车人数如下（上车为正，下车为负），例如(7，-4)表示该站上车7人，下车4人．现在起点站有15人，A (4，-8)，B (6，-5)，C (7，-3)，D (1，-4)，则车上乘客最多时有________名．17. 有一种“24点”游戏，其游戏规则是：任取1至13之间的自然数四个，将这四个数（每一个数字用且只能使用一次）进行加减乘除四则运算，使其结果等于24，例如：对1，2，3，4，可作运算：(1+2+3)×4=24．（注意上述运算与4×(1+2+3)=24应视作相同方法的运算）．现有四个数3，6，7，13，可通过算式：_____________，使其结果等于24．18. 请你仔细阅读下列材料，计算：121123031065⎛⎫⎛⎫-÷-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．解法1：按常规方法计算．1203512=3030303030110 =30301 =3301=10⎛⎫⎛⎫-÷-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫-÷⎪⎝⎭⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭-原式解法2：简便运算，先求其倒数．原式的倒数为：2112131065302112=(30)31065=303512=10⎛⎫⎛⎫-+-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫-+-⨯- ⎪⎝⎭-+-+- 故121121=303106510⎛⎫⎛⎫-÷-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭再根据你对所提供材料的理解，模仿以上两种方法分别进行计算：133125681427⎛⎫⎛⎫-÷-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．19.符号f，p分别表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：f (0) =-1，f (-5) =-6，f (3) =2，f (-3) =-4，…p (12) =-2，p (13-) =3，p (34) =43-，p (23-) =32，…根据以上运算规律，完成下列问题：（1）计算：①f (-4) ×p (53)-1；②p (65-)×f (-35) -42÷p (58-)．（2）已知x为有理数，且f (x)- p (35-)=3×f (-3)，求x的值．20.如图，数轴的单位长度为1．（1）如果点A，D表示的数互为相反数，那么点B表示的数是多少？（2）如果点B，D表示的数互为相反数，那么图中表示的四个点中，哪一点表示的数的绝对值最大？这个点表示的数是多少？（3）当点B为原点时，若存在一点M到A的距离是点M到D的距离的2倍，则点M所表示的数是__________．（直接写出答案）DCBA21.阅读下列材料并解决有关问题：我们知道，00m mm mm m-<⎧⎪==⎨⎪>⎩（）（）（）．现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式|m+1|+|m-2|时，可令m+1=0和m-2=0，分别求得m=-1，m=2（称-1，2分别为|m+1|与|m-2|的零点值）．零点值m=-1和m=2可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：m＜-1，-1≤m＜2和m≥2．从而化简代数式|m+1|+|m-2|可分以下3种情况：①当m＜-1时，原式=-(m+1)- (m-2)=-2m+1；②当-1≤m＜2时，原式=(m+1)-(m-2)=3；③当m≥2时，原式=m+1+m-2=2m-1．综上讨论，原式=211312 212m mmm m-+<-⎧⎪-<⎨⎪-⎩≤≥（）（）（）．通过以上阅读，请你解决以下问题：（1）分别求出|x-5|和|x-4|的零点值；（2）化简代数式|x-5|+|x-4|；（3）代数式|x-5|+|x-4|的最小值为________．【参考答案】➢课前预习1．（1）规定了原点、正方向、单位长度的一条直线叫做数轴．数轴可以表示数、比较大小、表示距离．（2）只有符号不同的两个数，互为相反数，互为相反数的两个数的和为0．找一个数或一个式子的相反数，只需在这个数或这个式子前面加上负号即可．例如：2的相反数是-2；-3的相反数是-(-3)，即为3；a+b-c的相反数是-(a+b-c)=-a-b+c．（3）在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值．绝对值法则：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．2．（1）只有符号不同的两个数互为相反数；（2）-a表示a的相反数，- (-a)表示-a的相反数；（3）在数轴上互为相反数的两个数位于原点的两侧，并且到原点的距离相等；（4）互为相反数的两个数和为0；（5）不一定，负数的相反数是正数，0的相反数是0；（6）不对，比如2和-3．3．③⑤4．①➢精讲精练1．D2．C3．B4．19 35．B 6．B 7．C 8．C 9．10 10．C 11．C 12．1 13．7-或3-14．10-15．3- 16．1617．36713⨯-+ 18．121-，计算过程略 19．（1）①2，②40-；（2）283-20．（1）点B 表示的数是1-，（2）点A ，4-，（3）2或10 21．（1）5和4（2）|x -5|+|x -4|=29(4)1(45)29(5)x x x x x -+<⎧⎪<⎨⎪-⎩≤≥ （3）1．。