格致中学高三周练（2）
2018.09
一. 填空题
1. 已知3
cos 5θ=-，则sin()2πθ+=
2. 已知||||2a b ==，a 与b 的夹角为3
π，则a b +在a 上的投影为 3. 若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6点的正方体玩具）， 先后抛掷2次，则出现向上的点数之和为4的概率是
4. ，侧棱长为1，则此三棱锥的体积为
5. 方程cos2sin 1x x +=在(0,)π上的解集是
6. 数列{}n a 的前n 项和为n S ，若点(,)n n S （*n ∈N ）在函数2log (1)x +的反函数的图像上， 则n a =
7. 若关于x 、y 的二元一次方程组1112m x m m y m +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=
⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭至多有一组解，则实数m 的取值 范围是
8. 在△ABC 中，若sin A 、sin B 、sin C 成等比数列，则角B 的最大值为
9. 已知函数()cos (sin )2
f x x x x =+-
，x ∈R ，设0a >，若函数()()g x f x a =+ 为奇函数，则a 的值为
10. 设点P 到平面α点Q 在平面α上，使得直线PQ 与α所成角不小于30° 且不大于60°，则这样的点Q 所构成的区域的面积为 11. 已知点C 、D 是椭圆2
214
x y +=上的两个动点，且点(0,2)M ，若MD MC λ=，则实 数λ的取值范围是
12. 已知直角三角形的三边长都是整数且面积与周长在数值上相等，那么这样的直角三角形 的斜边长为
二. 选择题
13. 给出下列函数：① 2log y x =；② 2y x =；③ ||2x y =；④ arcsin y x =. 其中关于y 轴对称的函数的序号是（ ）
A. ①②
B. ②③
C. ①③
D. ②④
14. 0t ≥是函数2()f x x tx t =+-在(,)-∞+∞内存在零点的（ ）条件
A. 充分非必要
B. 必要非充分
C. 充要
D. 既非充分也非必要
15. 已知数列cos 2
n n a n π=，则122019a a a ++⋅⋅⋅+=（ ） A. 2018 B. 2016 C. 1006 D. 1010-
16. 设A 、B 、C 、D 是半径为1的球面上的四个不同点，满足0AB AC ⋅=，0AC AD ⋅=，0AD AB ⋅=，用1S 、2S 、3S 分别表示△ABC 、△ACD 、△ABD 的面积，则123S S S ++的最大值是（ ） A.
12 B. 2 C. 4 D. 8
三. 解答题
17. 已知函数1()ln 1x f x x
+=-的定义域为A ，集合(,1)B a a =+，且B A ⊆. （1）求实数a 的取值范围；（2）求证：函数()f x 是奇函数但不是偶函数.
18. 线段AB 的长度为2，点A 、B 分别在x 非负半轴和y 非负半轴上滑动，以线段AB 为一边在第一象限内作矩形ABCD （顺时针排序），1BC =，设O 为坐标原点，OAB α∠=.
（1）α表示点D 的坐标；（2）OC OD ⋅的取值范围.
19. 设直线l 与抛物线2:4y x Ω=相交于不同两点A 、B ，O 为坐标原点.
（1）若直线l 又与圆22:(5)16C x y -+=相切于点M ，且M 为线段AB 的中点，求直线l 的方程；
（2）若0OA OB ⋅=，点Q 在线段AB 上，满足OQ AB ⊥，求Q 点的轨迹方程.
20. 已知集合2{|20,}A x x x x =--≤∈Z ，集合2{|lg(8)1}B x x x =++=，集合{|,,}C x x ab a A b B ==∈∈.
（1）用列举法表示集合C ；
（2）设集合C 的含n 个元素所有子集为n C ，记有限集合M 的所有元素和为()S M ，求 12()()()n S C S C S C ++⋅⋅⋅+的值；
（3）已知集合P 、Q 是集合C 的两个不同子集，若P 不是Q 的子集，且Q 不是P 的子集，求所有不同的有序集合对(,)P Q 的个数(,)n P Q .
21. 若无穷数列{}n a 满足：只要p q a a =（*,p q ∈N ），必有11p q a a ++=，则称{}n a 具有性质P .
（1）若数列{}n a 具有性质P ，且11a =，22a =，43a =，52a =，67821a a a ++=，求3a ；
（2）若无穷数列{}n b 是等差数列，无穷数列{}n c 是公比为正数的等比数列，151b c ==，5181b c ==，n n n a b c =+，判断{}n a 是否具有性质P ，并说明理由；
（3）设{}n b 是无穷数列，已知1sin n n n a b a +=+（*n ∈N ），求证：“对任意1a ，{}n a 都具有性质P ”的充要条件为“{}n b 是常数列”.
参考答案
一. 填空题 1. 35- 2. 3 3.
112 4. 16 5. 5{,}66
ππ 6. 12n - 7. (,1)(1,)-∞+∞ 8. 3π 9. 26k π
π-，*k ∈N 10. 8π 11. 1
[,3]3
12. 10或13
二. 选择题
13. B 14. A 15. D 16. B
三. 解答题
17.（1）10a -≤≤；（2）证明略.
18.（1）(2cos sin ,cos )D ααα+；（2）[1,3]OC OD ⋅∈.
19.（1）1x =或9x =；（2）2240x y x +-=（0x ≠）.
20.（1）{4,2,1,0,1,2}C =---；（2）123()()()128S C S C S C ++⋅⋅⋅+=-；
（3）(,)2702n P Q =.
21.（1）316a =；（2）不具有；（3）证明略.。