0.04
SI
2
A
v0
=/2
A 从 t = 0 作反时针旋转时
矢端的投影从x=0向X轴的负方运动
即 v0 ，与 已知 X~ t 曲线一致
相差 phase difference
(1) 对同一简谐振动，相差(不同时刻)可以给出两振动
正X向
反X向
X
水平光滑面，弹簧劲度 质量可忽略，物体质量 以物体受力为零的平衡位置为坐标原点
物体在任一位 置受的弹性力
单摆在任一角位置
所受的重力矩为
取摆幅很小
以铅垂方向 则
为摆角参考轴线
恢复力
或
恢复力矩
质点在恢复力或恢复力矩的作用下的运动即为简 谐振动——简谐振动的动力学定义
对于给定的弹簧振子 则 得
初始条件即为
时质点的运动状态
位置 速度
A A
由 和 求给定振子的振幅 AFra bibliotekA A
消去 得 A
由 和 求给定振子的初相
A A
消去 A得
但由于 在 [ 0 ~ 2 ) 范围内，同一正切值对应有两个 因此，还必须再根据 和 的正负进行判断。
值，
简谐振动的运动函数
A
振动 曲线
A
简谐振动的速度
A
A
简谐振动的加速度
机械振动
本章内容
Contents chapter 11
简谐振动的描述 description of simple harmonic motion 简谐振动的能量 energy of simple harmonic motion
简谐振动的合成 superposition of simple harmonic motion
A
A
弹簧振子 单摆
周期 ：完成一次全振动
X
所需要的时间
频率 ：
角频率 ：
相位 ：
是界定振子在时刻 的运动状态的物理量
运动状态要由位置 和速度 同时描述，而 和 的正负取决于
A 一定的相
A
一定的运动状态 [0, 2 ] 或 [ , ]
初相 ：是
时，振子的相位。
所谓
，不是指振动开始，而是指计时零点。
x
是简谐振动
x
x F
试证明，若选取受力平衡点作为位置坐标原点，垂直弹簧 振子与水平弹簧振子的动力学方程和运动函数相同。
选取受力平衡点作为位置坐标原点 小球在为置坐标 处所受弹性力
平衡点
小球 在受力平衡点 受弹性力大小
合外力
动力学方程
微分方程
的解：
运动函数 A
均与水平弹簧振子结果相同
A 振幅 A ： 的最大绝对值
radius--amplitude
angular speed--angular frequency
initial angular displacement – initial phase
ΦA
j
O
x
矢径 A —— 振幅矢量 ( 旋转矢量 )
summary
1. 若物体处于正的极大位移处，则在相量图中， 振幅矢量与x轴的夹角为零，即与x轴正向重合。
注意
只要满足方程
d2 x dt 2 Kx 0
不管 x 是什么物理量，它的变化就一定是简谐振 动的形式，其角频率就等于 x 的系数的平方根。
K
思考：地球，M、R 已知，中间开一遂道；小球 m， 从地表附近掉入隧道，问，小球是否作简谐振动？
F
G
mM x x2
Mx
M
4 R3
4 x3
3
3
F
G
mM R3
A t j
旋转矢量端点 M 的加速度
为法向加速度，其大小为
A
t j
O
振子的运动加速度（与 X 轴同向为正）
A
X
A t j
O
X
A
A
结论： 借助于匀速率圆周运动来研究简谐振动
The projection of circular motion onto a straight line
is SHM.
参考圆
例如：电路中的电流、电压或电场中的电场强度和磁场中 的磁感应强度随时间作周期性变化 —— 电磁振动或电磁 振荡等。
掌握机械振动的基本规律是研究其它形式振动的基础。
简谐振动（simple harmonic motion)亦称简谐运动
是最简单、最基本的振动理想模型。它是研究各种复杂振 动的重要基础。这里主要讨论简谐振动 SHM。
x0 Acosj
循环往复
t t AtAt t MM((T00)) 周期 T
t t tT
jj
初初相相 j
O
x0 M ( t )
X
矢量端点
振动相位
在X 轴上
( t﹢j )
的投影对
M(t )
M ( t ) 应振子的
M(t )
位置坐标
X
A
A
旋转矢量端点 M 作匀速圆周运动
其 速率
A
振子的运动速度（与 X 轴同向为正）
2. 若物体处于负的极大位移处，则在相量图中，
振幅矢量与x轴的夹角为 ，即与x轴负向重合。
3. 若物体处于平衡位置，则在相量图中，振幅矢
量与x轴垂直。
vm
2
3 or
2
2
v0 v0
O
x
vm
4. 一般情况下，物体处于任一位置处，在相量图中， 振幅矢量均对应两个位置。
ox x
v 0 振幅矢量位于x轴上方； v 0 振幅矢量位于x轴下方。
A
A
v
is
a最h大ead
of
x
/2
a最n大d
a
is
ahead
of x
最大
.
A
A
Uniform Circular Motion ( Rotating Vector ) method
简谐振动函数
x = A cos ( t﹢j )
旋转矢量 A
以匀角速
逆时针转动 M ( t )
t 时刻的
M ( t ) M ( t )M ( t )
X
为常量，其比值亦为常量。令 即
简谐振动动力学方程
单摆：
对于给定的弹簧振子
X
为常量，其比值亦为常量。令
简谐振动动力学方程
该微分方程的解 通常表成余弦函数
A
简谐振动函数
A 为微分方程求解时的积分常量，由系统的初始条件决定。
简谐振动的速度 简谐振动的加速度
A A
应用转动定律，同理也可求得单摆的振动函数
*阻尼振动 受迫振动和共振 *damped vibration forced vibration and resonance
11 .1
simple harmonic motion
机械振动 vibration or oscillation 位置附近所作的往复运动。
物体在它的平衡
广义振动：任一物理量(如位移、电流等)在某 一数值附近随时间作周期性变化。
如何根据振动曲线判断振动的初相？
x A
o -A
j 3 or
2
2
t
T
难点
x A o -A
x A A/2 o -A
j 0
t T
j
3 t T
o A/2 x
A
简谐振动的
曲线
0.04
完成下述简谐运动函数
0.04
1
2
t=0
A = 0.04 (m) T = 2 (s)
= 2 / T = (rad /s )