行知中学2016学年第一学期高三年级期中考试
一、填空题（每小题4分）
1．已知集合{||1|2}A x x =-<，2
{|4}B x x =<，则A B = ．
2．函数12
()log (52)f x x =
-的定义域是 ．
3．若12z a i =+（i 是虚数单位），234z i =-，且
1
2
z z 为纯虚数，则实数a 的值为 ． 4．求函数11()arccos ,[,]22
f x x x π=-∈-的反函数1
()f
x -= ．
5．若1
2lim 02n
n n
n a +→∞=+，则a 的取值范围是 ． 6．如图，测量河对岸的塔高AB 时，选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ，测得120BDC ∠=︒，10BD CD ==米，并在点C 测得塔顶A 的仰角为60︒，则塔高AB = 米． 7．已知(cos ,sin )m αα=，(2,1)n =，(,)22
ππ
α∈-
，若1m n ⋅=，则 3sin(2)2
π
α+
的值是 ． 8．已知实数,x y 满足约束条件40
2020
x y x y y -+≥⎧⎪
+-≤⎨⎪-≥⎩
，则1()24x y ⋅的最大值是 ．
9．设奇函数()f x 满足(1)(1)f x f x -=+，且1()72f =，若
2sin cos 4sin cos αα
αα
-=+，则(tan )f α的值为 ．
10．等差数列{}n a 中，242,8a a ==，数列{}n b 满足()
111,1n n b b b a n *+==+∈N ， 则数列{}n b 的通项公式为n b = ．
11．高三毕业时，甲、乙、丙等五位同学站成一排合影留念，已知甲、乙相邻，则甲丙相邻的概率是 ． 12．已知函数()2log ,0
2,0x
x a x f x a x +>⎧=⎨
+≤⎩
，若函数()y f x x =+有且只有一个零点， 则实数a 的取值范围是 ．
13．已知函数2
()22(4)1,()f x mx m x g x mx =--+=，若对任一实数x ，()f x 与()g x 的值至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是 ．
14．若数列{}n a 满足2132431n n a a a a a a a a +->->->
>->，则称数列{}n a 为“差递减”数列．若数列{}
n a 是“差递减”数列，且其通项n a 与其前n 项和n S （n *∈N ）满足2321n n S a λ=+-（n *
∈N ），则实数λ的取
值范围是 ．
二、选择题（每小题5分）
15．“2a =”是“函数()|4|f x ax =-在(2,)+∞上单调递增”的（ ）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
16．设()()211111
123
S n n n n n n n
*=
+++++
∈+++N ，则（ ）． A ．()S n 共有n 项，当2n =时，()11
223
S =+
B ．()S n 共有1n +项，当2n =时，()111
2234S =++
C ．()S n 共有2n n -项，当2n =时，()111
2234S =++
D ．()S n 共有21n n -+项，当2n =时，()111
2234
S =++
17．如图所示的是函数()sin 2f x x =和函数()g x 的部分图像，则函数()g x 的解析式是（ ）． A ．()sin(2)3g x x π
=-
B ．2()sin(2)3
g x x π
=+
C ．5()cos(2)6g x x π=+
D ．()cos(2)6
g x x π
=-
18．已知函数()f x 是定义在R 上不恒为零的函数， 且对于任意实数,a b ∈R ，满足：
*
*(2)(2)()()(),(2)2,(),()2
n n n n n
f f f ab af b bf a f a n b n n =+==∈=∈N N 考察下列结论：①(0)(1)f f =；②()f x 为偶函数；③数列{}n a 为等比数列；④ 数列{}n b 为等差数列．其中正确的结论共有（ ）．
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
三、解答题
19．（本题满分12分）第1小题满分6分，第2小题满分6分
已知各项都为正数的无穷等比数列{}n a 满足12354a a a +=，且123a a a =． （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设5log n n b a =，且n S 为数列{}n a 的前n 项和，求数列1n S ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
的各项和．
20．（本题满分14分）第1小题满分7分，第2小题满分7分 已知函数()sin()(0,0,)2
f x A x B A π
ωϕωϕ=++>><
的一系列对应值如下表：
（1）根据表格提供的数据求函数()f x 的解析式和对称中心； （2）若当7[0,
]6
x π
∈时，方程()1f x m =+恰有两个不同的解，求实数m 的取值范围．
21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分
香港违法“占中”行动对香港的经济、政治、社会及民生造成重大损失，据香港科技大学经济系教授雷鼎鸣测算，仅香港的“占中”行动开始后一个多月的时间，保守估计造成经济损失3500亿港元，相等于平均每名港人承受了5万港元的损失，为了挽回经济损失，某厂家拟在新年举行大型的促销活动，经测算某产品当促销费用为x 万元时，销售量t 万件满足2
51
t x =-
+（其中2033x a a ≤≤-+，a 为正常数）．现假定生产量与销售量相等，已知生产该产品t 万件还需投入成本()102t +万元（不含促销费用），产品的销售价格定为204t ⎛⎫
+ ⎪⎝
⎭
万元/万件． （1）将该产品的利润y 万元表示为促销费用x 万元的函数；
（2）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大．
22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分 已知函数2
()1f x x =-，()1g x a x =-．
（1）若()()f x g x =有且仅有两个不同的解，求a 的值；
（2）若当x R ∈时，不等式()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围；
（3）若0a <时，求()()()G x f x g x =+在[2,2]-上的最大值．
23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分
给定一个数列{}n a ，在这个数列里，任取*
(3,)m m m N ≥∈项，并且不改变它们在数列{}n a 中的先后次序，
得到的数列称为数列
{}n a 的一个m
阶子数列．
已知数列{}n a 的通项公式为1n a n a
=+（*
,n N a ∈为常数），等差数列236,,a a a 是 数列{}n a 的一个3阶子数列． （1）求a 的值；
（2）等差数列12,,...,m b b b 是{}n a 的一个*
(3,)m m m N ≥∈阶子数列，且11b k
=
（k 为常数，*
,2)k N k ∈≥，求证：1m k ≤+；
（3）等比数列12,,...,m c c c 是{}n a 的一个*
(3,)m m m N ≥∈阶子数列，求证：121
1 (22)
m m c c c -+++≤-
．
.。