第一章
六方最紧密堆积结构的空间利用率
在六面体的上表面，短对角线与相邻两边构成了 一个等边三角形，边长为 a 。这个等边三角形与 体内球相切，4个球的中心连成了一个边长为a的 正四面体，这个正四面体的高为： (2/3) 1/2 a 。平 行六面体的高度即为2(2/3)1/2a。
如果球的半径为 r，则 a = 2r。平行六面体的体积为
因正负电荷数要中和，所以负离子电价要等于 它周围每个正离子分给它的电价之和。
例：MgO晶体，NaCl型结构， 1 Z O ，即 ＝ 6＝ 2 2+ Mg2+，CN=6，S=2/6=1/3 Mg 给每个 3 周围O2-1/3价，因为O2-与6个Mg2+形成静电 价，所以
2
习题
• 以萤石 (CaF2) 晶胞为例，说明面心 立方紧密堆积中的八面体和四面体 空隙的位置和数量。 • 计算萤石 (CaF2) 晶体的理论密度。
特鲁德模型的基本假设 IV
• 电子和周围环境达到热平衡仅仅是通过碰
撞实现的，碰撞前后电子的速度毫无关联，
方向是随机的，其速率是和碰撞发生处的
温度相适应的。
纯铜的电阻率随温度的变 化关系曲线
m v 2 ne l
在低温时，电阻率通常很小
温度升高后，电阻率随温度的变化基本上呈线性： 温度越高，电阻率越大
2．金属能导电的原因是（ ） B A.金属晶体中金属阳离子与自由电子间的 相互 作用较弱 B．金属晶体中的自由电子在外加电场作用下可发 生定向移动 C．金属晶体中的金属阳离子在外加电场作用下可 发生定向移动 D．金属晶体在外加电场作用下可失去电子
思考
Fe和CsCl晶体的结构类型和空间点阵型式 一致么？为什么？
体心立方堆积，空间利用率为 68%。 简单立方堆积，空间利用率为 52%。
小结一下
• 六方最紧密堆积的晶体结构图形与空间点阵图 形是不一样的，而三种立方堆积的晶体结构图 形与空间点阵图形则是一样的
• 六方最紧密堆积结构的基元由两个圆球构成， 是导致晶体结构与空间点阵图形不一样的原因 • 三种立方堆积中的基元均由一个圆球构成，因 此晶体结构图形与空间点阵图形是一样的
90
120
(4)
单斜晶系：a b c; = = 90； 六方晶系：a = b c; = = 90; =
(5) 三斜晶系：a b c; 90
(6)
(7) 三方晶系：a = b = c; = = 90
高级晶族
格子和底心立方格子。说明你的分析 并不违背划分布拉维格子的四条基本 原则。
习题
• 7 大晶系都有各自的基本对称要素 对称
轴。试给出各晶系所含有的最高次对称轴所 在晶向的米勒指数。
• 画出一个面心立方布拉维格子，标出其中的 [111]、[121] 及 [1 1 0] 晶向。
习题
• 等大球体六方最紧密堆积结构中，密堆方向是
7 大晶系
根据相应的平行六面体的几个特征，14 种布拉
维格子可以分为 7 类，称为 7 大晶系。这 7 大
晶系按对称程度增加的次序分别为： 三斜晶系、单斜晶系、正交晶系、 三方晶系、四方晶系、六方晶系、 立方晶系。
7 大晶系的几何特征
(1) 立方晶系：a = b = c; = = = 90 (2) 四方晶系：a = b c; = = = 90 (3) 正交晶系：a b c; = = = 90
特鲁德模型的基本假设 II
• 碰撞是电子突然改变速度的瞬时事件，正
如硬橡皮球从固定的物体上反弹回来一样， 它是由于运动中的电子碰到不可穿透的离 子实而反弹所造成的。
运动电子的轨迹
特鲁德模型的基本假设 III
• 单位时间内电子发生碰撞的几率是 1/。这
里的时间 称为驰豫时间 (或平均自由时 间)，它意味着一个电子在前后两次碰撞之 间平均而言将有 时间的行程。驰豫时间 与电子的位置和速度无关。
3 3 2 2 V a a c (2r ) (2r ) (2r ) 8 2r 3 2 2 3
两个圆球的体积为
4 3 8 3 V B 2 r r 3 3
故空间利用率为VB/V = 74%。这是 理论上圆球紧密堆积所能达到的最 大堆积密度。
可以证明：立方最紧密堆积 结构的空间利用率也是 74%。 (证明过程留作课外作业自己完成) 在各类晶体结构中，六方最 紧密堆积和立方最紧密堆积是空 间利用率最高的两种结构。
萤石 (CaF2) 结构
根据Pauling第一规则
r+/r- = 0.744 > 0.732 CN+ = 8
所以Ca2+配位多面体形状是立方体，F-位 于顶角，Ca2+位于体心
萤石 (CaF2) 结构
根据Pauling第二规则 Ca2+ : S = 2/8 = 1/4 故每个F-必须与4个Ca2+形成静电键 即F-应该位于Ca2+的四面体中
½的立方体空隙
简单立方 （Ca2+呈面心立方 晶格） 八面体空隙（ Ti4+ 呈体心四方晶格）
简单六方
因正负电荷数要中和，所以负离子电价要 等于它周围每个正离子分给它的电价之和。
例：MgO晶体，NaCl型结构， 1 Z O ＝ 6＝2 2+ 2+ Mg ，CN=6，S=2/6=1/3，即 Mg 给 3 每个周围O2-1/3价，因为O2-与6个Mg2+ 形成静电价，所以
首先可以算出在一个体心立方晶胞中钨原子的质量W。1 个晶胞中含有 2 个钨原子，因此有
W
2 183.9 6.02 1023
6.11 1022 g
然后根据晶体的密度计算出晶胞体积 V：
6.11 1022 V 3.166 1023 cm 3 0.03166nm3 19.30 W
当然，对这一现象的解释不是特鲁德模型能够完 成的。
电子运动的薛定锷方程为
h2 8 2 m
(r) 为电子的波函数 E 为电子的动能
2 ( r ) E ( r )
我们直接给出这个方程的解
(r ) Ae
ikr
考虑到势箱的深度应该大大超过电子的动能，因此 电子在边界以外出现的几率为零。这一边界条件可 以写成
2. 相应声子的能
3.在T=300K下，三种声子数目各为多少？
第五章
特鲁德模型
当金属原子凝聚在一起形成金属时，
原来孤立原子封闭壳层内的电子 (芯电子)
仍然能够紧紧地被原子核束缚着，它们和
原子核一起在金属中构成不可移动的离子
实；而原来孤立原子封闭壳层外的电子
(价电子) 则可以在金属中自由地移动。
设bcc 结构的点阵常数为ab，fcc 结构的点阵常数为af，由bcc 结构转变为fcc 结构 时体积减少1.06%，因bcc 晶胞含2 个原子，fcc 晶胞4 个原子，所以2 个bcc 晶胞 转变为一个fcc 晶胞。故
bcc 原子半径rb =√3ab / 4 ，fcc 原子半径rf = √2a f /4 ，把上面计算的af 和ab 的关系代 入，并以rf 表示rb：
CsCl
立方体空隙 简单立方 （也是简单立方晶格） 八面体空隙 面心立方 （也是面心立方晶格） 1/2的四面体空隙 面心立方 （也是面心立方晶格）
NaCl 立方ZnS （闪锌矿）
Na+
6 Cl- 6 Zn2+ 4 S2- 4
5种最常见类型离子晶体的空间结构特征
类型 CaF2 萤石 TiO2 金红石 阴离子晶格 阳离子占据空隙 CN Ca2+ 8 F4 Ti4+ 6 O2- 3 每个晶胞含有 Ca2+: F=4:8 Ti4+: O2=2:4
金属晶体的有效原子半径一般可以借助于 X 射线 衍射分析确定晶体的结构并测定晶体的晶格常数 而加以确定。
• 例如，金属铝的晶格常数为 a = b = c = 0.40496 nm，具有A1结构 (面心立方)。 面心立方结构
a b c 2 2R
可以得到铝的原子半径为
R 0.40496/(2 2 ) 0.143 nm
特鲁德模型的基本假设 I
• 在没有发生碰撞时，电子与电子、电子与
离子之间的相互作用可以忽略。在无外场 作用时，电子作匀速直线运动；在外场作 用下，电子的运动服从牛顿定律。
– 忽略了电子与电子之间相互作用的近似称为
独立电子近似 – 忽略了电子与离子之间相互作用的近似称为 自由电子近似 – 所以这样假设称为独立自由电子近似
立方晶系
有 4 条 3 次旋转轴或 3 次 倒转轴 唯一的 6 次旋转轴或 6 次 倒转轴
六方晶系
唯一的 4 次旋转轴或 4 次 倒转轴
中级晶族
四方晶系
唯一的 3 次旋转轴或 3 次 倒转轴
有 3 个 2 次旋转轴或 2 次 倒转轴
三方晶系
正交晶系 唯一的 2 次旋转轴或 2 次 倒转轴 低级晶族 单斜晶系 只有 1 次旋转轴或1 次倒 转轴
哪个晶向？密堆面是哪个面？试作图表示之。
• 等大球体立方最紧密堆积结构中，密堆方向是
哪个晶向？密堆面是哪个面？试作图表示之。
• 找出面心立方格子中的一些对称面，写出其晶
面米勒指数。
第二章
习题
1、金属晶体的形成是因为晶体中存在 （ ）
C
A.金属离子间的相互作用 B．金属原子间的相互作用 C.金属离子与自由电子间的相互作用 D.金属原子与自由电子间的相互作用
进而得到晶胞常数
a 3 V 0.316 nm
最后得到原子半径
a 4( 3 / 3)R
R = 0.137 nm
习题
• 纯铁在912C 由bcc 结构转变为fcc结构，体积 减少1.06%，根据fcc 形态的原子半径计算bcc 形态的原子半径。它们的相对变化为多少?如 果假定转变前后原子半径不变，计算转变后的 体积变化。这些结果说明了什么?