示范教案整体设计教学分析本小节教材引用了6个例题来说明古典概型的应用．分别是“掷一颗及两颗骰子”“不放回和放回检验产品”“出拳游戏”以及“遗传基因问题”．这些都是在日常生活生产和学习中常见的实际问题，贴近学生的实际，容易引起学生的兴趣，也符合古典概型的条件，学生在理解题意的基础上不难解决．古典概型的教学应让学生通过实例理解古典概型的特征：试验结果的有限性和每一个试验结果出现的等可能性．这一部分可以多介绍一些符合古典概型的实际问题，让学生初步学会把一些实际问题转化为古典概型，加以解决．值得注意的是：由于学生没有学习排列组合的有关知识，教学中不要把重点放在“如何计数”上．三维目标1．理解古典概型及其概率的计算公式．2．通过实例理解古典概型的特征，让学生学会把一些实际问题转化为古典概型．3．在解决过程中初步形成实事求是的科学态度和锲而不舍的求学精神．重点难点教学重点：掌握古典概型的概念以及利用古典概型求解随机事件的概率．教学难点：如何判断一个试验是否是古典概型，分清在一个古典概型中某随机事件包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(1)掷一枚质地均匀的硬币，结果只有2个，即“正面朝上”或“反面朝上”，它们都是随机事件．(2)一个盒子中有10个完全相同的球，分别标以号码1,2,3，...，10，从中任取一球，只有10种不同的结果，即标号为1,2,3， (10)根据上述情况，你能发现它们有什么共同特点？为此我们学习古典概型，教师板书课题．思路2.将扑克牌(52张，去掉大小王)反扣在桌上，先从中任意抽取一张，那么抽到的牌为红心的概率有多大？是否一定要进行大量的重复试验，用“出现红心”这一事件的频率估计概率？这样工作量较大且不够准确．有更好的解决方法吗？把“抽到红心”记为事件B ，那么事件B 相当于“抽到红心1”，“抽到红心2”，…，“抽到红心K ”这13种情况，而同样抽到其他牌的共有39种情况；由于是任意抽取的，可以认为这52种情况的可能性是相等的．所以，当出现红心是“抽到红心1”，“抽到红心2”，…，“抽到红心K ”这13种情形之一时，事件B 就发生，于是P(B)＝1352＝14.为此我们学习古典概型． 推进新课新知探究提出问题看下面3个例子．1．掷一枚均匀的硬币，观察硬币落地后哪一面朝上．这个试验的基本事件空间Ω＝{正，反}．它只有两个基本事件．由于硬币的质地是均匀的，因而直观上可以认为出现“正面向上”与“反面向上”的机会是均等的，所以掷得“正面向上”和“反面向上”的可能性都是12. 2．掷一颗骰子，观察出现的点数．这个试验的基本事件空间Ω＝{1,2,3,4,5,6}．它有6个基本事件．由于骰子的构造是均匀的，因而出现这6种结果的机会是均等的，于是我们可以断言：掷一颗骰子，每种结果出现的可能性都是16. 3．一先一后掷两枚硬币，观察正反面出现的情况，这个试验的基本事件空间Ω＝{(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)}．它有4个基本事件．因为每一枚硬币“出现正面”与“出现反面”机会是均等的，所以可以认为这4个基本事件的出现是等可能的．因而我们说每一个基本事件发生的可能性都是14. 以上3个试验有什么共同的特征？讨论结果：有两个共同特征：(1)有限性 在一次试验中，可能出现的结果只有有有限个，即只有有限个不同的基本事件；(2)等可能性 每个基本事件发生的可能性是均等的．我们称这样的试验为古典概型．上述3个例子均为古典概型．并不是所有的试验都是古典概型．例如，在适宜的条件下“种下一粒种子观察它是否发芽”，这个试验的基本事件空间为{发芽，不发芽}，而“发芽”或“不发芽”这两种结果出现的机会一般是不均等的．又如，从规格直径为300±0.6 mm 的一批合格产品中任意抽一根，测量其直径d ，测量值可能是从299.4～300.6 mm 之间的任何一个值，所有可能的结果有无限多个．这两个试验都不属于古典概型．提出问题阅读教材，讨论什么是概率的古典定义？讨论结果：一般地，对于古典概型，如果试验的n 个基本事件为A 1，A 2，…，A n ，由于基本事件是两两互斥的，则由互斥事件的概率加法公式得P(A 1)＋P(A 2)＋…＋P(A n )＝P(A 1∪A 2∪…∪A n )＝P(Ω)＝1.又因为每个基本事件发生的可能性相等，即P(A 1)＝P(A 2)＝…＝P(A n )，代入上式得n·P(A 1)＝1，即P(A 1)＝1n. 所以在基本事件总数为n 的古典概型中，每个基本事件发生的概率为1n. 如果随机事件A 包含的基本事件数为m ，同样地，由互斥事件的概率加法公式可得P(A)＝m n.所以在古典概型中， P(A)＝事件A 包含的基本事件数试验的基本事件总数.这一定义称为概率的古典定义．应用示例例1从含有两件正品a 1，a 2和一件次品b 1的3件产品中每次任取1件，每次取出后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率．分析：用列举法写出基本事件空间．解：每次取一个，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的基本事件空间为Ω＝{(a 1，a 2)，(a 1，b 1)，(a 2，a 1)，(a 2，b 1)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)}，其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品．Ω由6个基本事件组成，而且可以认为这些基本事件的出现是等可能的．用A 表示“取出的两件中，恰好有一件次品”这一事件，则A ＝{(a 1，b 1)，(a 2，b 1)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)}．事件A 由4个基本事件组成．因而P(A)＝46＝23. 点评：解决古典概型问题的步骤：①审清题意，确定为古典概型；②用列举法写出基本事件空间；③求出所有基本事件的个数n 和所求事件A 包含基本事件的个数m ；④代入公式P(A)＝m n.1)例2甲、乙两人做出拳游戏(锤子、剪刀、布)．求：(1)平局的概率；(2)甲赢的概率；(3)乙赢的概率．解：甲有3种不同的出拳方法，每一种出法是等可能的，乙同样有等可能的3种不同出法．一次出拳游戏共有3×3＝9种不同的结果，可以认为这9种结果是等可能的．所以一次游戏(试验)是古典概型．它的基本事件总数为9.如下图所示．平局的含义是两人出法相同，例如都出了锤．甲赢的含义是甲出锤且乙出剪，甲出剪且乙出布，甲出布且乙出锤这3种情况．乙赢的含义是乙出锤且甲出剪，乙出剪且甲出布，乙出布且甲出锤这3种情况．设平局为事件A ，甲赢为事件B ，乙赢为事件C.由图容易得到：(1)平局含3个基本事件(图中的△)；(2)甲赢含3个基本事件(图中的⊙)；(3)乙赢含3个基本事件(图中的※)．由古典概率的计算公式，可得：P(A)＝39＝13； P(B)＝39＝13； P(C)＝39＝13. 点评：在求古典概型时，若事件可以表示成有序数对的形式，可以把全体基本事件用直角坐标系中的点表示，以便我们准确地找出事件所含的基本事件的个数.．在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相则取出的小球上标注的数字之和为本题属于古典概型．设事件A：取出的小球上标注的数字之和为，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)(2,3)，(2,5)，(3,4)，有4个基本事件，所以例3现有8名奥运会志愿者，其中志愿者A1、A2、A3通晓日语，B1、B2、B3通晓俄语，C1、C2通晓韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组．(1)求A1被选中的概率；(2)求B1和C1不全被选中的概率．分析：(1)写出所有基本事件，利用古典概型求解；(2)转化为求对立事件：B1和C1全被选中的概率．解：(1)从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，其一切可能的结果组成的基本事件空间是Ω＝{(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，(A2，B3，C1)，(A2，B3，C2)，(A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2)，(A3，B3，C1)，(A3，B3，C2)}，由18个基本事件组成．由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的．用M表示“A1恰被选中”这一事件，则M＝{(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)}，事件M由6个基本事件组成，所以P(M)＝618＝13.(2)用N表示“B1、C1不全被选中”这一事件，则其对立事件N表示“B1、C1全被选中”这一事件，由于N＝{(A1，B1，C1)，(A2，B1，C1)，(A3，B1，C1)}，即事件N由3个基本事件组成，所以P(N)＝318＝1 6.由对立事件的概率公式得P(N)＝1－P(N )＝1－16＝56. 知能训练1．同时掷两个骰子，计算：(1)一共有多少种不同的结果？(2)其中向上的点数之和是5的结果有多少种？(3)向上的点数之和是5的概率是多少？解：(1)掷一个骰子的结果有6种．我们把两个骰子标上记号1,2以便区分，由于1号骰子的每一个结果都可与2号骰子的任意一个结果配对，组成同时掷两个骰子的一个结果，因此同时掷两个骰子的结果共有36种．(2)在上面的所有结果中，向上的点数之和为5的结果有(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，其中第一个数表示1号骰子的结果，第二个数表示2号骰子的结果．(3)由于所有36种结果是等可能的，其中向上点数之和为5的结果(记为事件A)有4种，因此，由古典概型的概率计算公式可得P(A)＝436＝19. 2．假设储蓄卡的密码由4个数字组成，每个数字可以是0,1，2，…，9十个数字中的任意一个．假设一个人完全忘记了自己的储蓄卡密码，问他到自动取款机上随机试一次密码就能取到钱的概率是多少？解：一个密码相当于一个基本事件，总共有10 000个基本事件，它们分别是0000,0001,0002，…，9998,9999.随机地试密码，相当于试到任何一个密码的可能性都是相等的，所以这是一个古典概型．事件“试一次密码就能取到钱”由1个基本事件构成，即由正确的密码构成．所以P(“试一次密码就能取到钱”)＝110 000. 发生概率为110 000的事件是小概率事件，通常我们认为这样的事件在一次试验中是几乎不可能发生的，也就是通过随机试验的方法取到储蓄卡中的钱的概率是很小的．但我们知道，如果试验很多次，比如100 000次，那么这个小概率事件是可能发生的．所以，为了安全，自动取款机一般允许取款人最多试3次密码，如果第4次键入的号码仍是错误的，那么取款机将“没收”储蓄卡．另外，为了使通过随机试验的方法取到储蓄卡中的钱的概率更小，现在储蓄卡可以使用6位数字作密码．人们为了方便记忆，通常用自己的生日作为储蓄卡的密码．当钱包里既有身份证又有储蓄卡时，密码泄密的概率很大．因此用身份证上的号码作密码是不安全的．3．单选题是标准化考试中常用的题型，一般是从A ，B ，C ，D 四个选项中选择一个正确答案．如果考生掌握了考查的内容，他可以选择唯一正确的答案．假设考生不会做，他随机地选择一个答案，问他答对的概率是多少？解：这是一个古典概型，因为试验的可能结果只有4个：选择A 、选择B 、选择C 、选择D ，即基本事件共有4个，考生随机地选择一个答案是A ，B ，C ，D 的可能性是相等的．从而由古典概型的概率计算公式，得P(“答对”)＝“答对”所包含的基本事件的个数基本事件的总数＝14＝0.25.4．一个口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次摸出两个球，(1)共有多少个基本事件？(2)摸出的两个都是白球的概率是多少？分析：可用列举法找出所有的等可能基本事件．解：(1)分别记白球为1,2,3号，黑球为4,5号，从中摸出2只球，有如下基本事件〔摸到1,2号球用(1,2)表示〕：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)．因此，共有10个基本事件．(2)上述10个基本事件发生的可能性是相同的，且只有3个基本事件是摸到两个白球(记为事件A)，即(1,2)，(1,3)，(2,3)，故P(A)＝310. 所以共有10个基本事件，摸到两个白球的概率为310. 拓展提升某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验．(Ⅰ)求选取的2组数据恰好是相邻两个月的概率；(Ⅱ)若选取的是1月与6月的两组数据，请根据2至5月份的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^；(Ⅲ)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想？(b ^＝∑i ＝1n x i y i －n x y∑i ＝1n x 2i －n x 2，a ^＝y －b ^ x ) 解：(Ⅰ)设抽到相邻两个月的数据为事件A.因为从6组数据中选取2组数据共有15种情况，每种情况都是等可能出现的，其中，抽到相邻两个月的数据的情况有5种，所以P(A)＝515＝13. (Ⅱ)由数据求得x ＝11，y ＝24，由公式求得b ^＝187， 又因为a ^＝y －b ^ x ＝－307， 所以，y 关于x 的线性回归方程为y ^＝187x －307.(Ⅲ)当x ＝10时，y ^＝1507，|1507－22|<2， 同样，当x ＝6时，y ^＝787，|787－12|<2， 所以，该小组所得线性回归方程是理想的．课堂小结本节课学习了古典概型及其概率计算公式．作业习题3—2A 1、2.设计感想本节课的教学通过提出问题，引导学生发现问题，经历思考交流、概括归纳后得出古典概型的概念，由两个问题的提出进一步加深对古典概型的两个特点的理解；再通过学生观察类比推导出古典概型的概率计算公式．这一过程能够培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力．在解决概率的计算上，让学生感受求基本事件个数的一般方法，从而化解由于没有学习排列组合而学习概率这一教学困惑．由此，整个教学设计可以在教师的期盼中实施．备课资料备选习题1．在40根纤维中，有12根的长度超过30 mm ，从中任取一根，取到长度超过30 mm 的纤维的概率是( )A.3040B.1240C.1230D ．以上都不对 解析：在40根纤维中，有12根的长度超过30 mm ，即基本事件总数为40，且它们是等可能发生的，所求事件包含12个基本事件，故所求事件的概率为1240. 答案：B2．盒中有10个铁钉，其中8个是合格的，2个是不合格的，从中任取一个恰为合格铁钉的概率是( )A.15B.14C.45D.110解析：(方法一)从盒中任取一个铁钉包含基本事件总数为10，其中抽到合格铁钉(记为事件A)包含8个基本事件，所以，所求概率为P(A)＝810＝45.(方法二)本题还可以用对立事件的概率公式求解，因为从盒中任取一个铁钉，取到合格品(记为事件A)与取到不合格品(记为事件B)恰为对立事件，因此，P(A)＝1－P(B)＝1－210＝45. 答案：C3．在大小相同的5个球中，2个是红球，3个是白球，若从中任取2个，则所取的2个球中至少有一个红球的概率是________．解析：记大小相同的5个球分别为红1，红2，白1，白2，白3，则基本事件为：(红1，红2)，(红1，白1)，(红1，白2)，(红1，白3)，(红2，白1)，(红2，白2)，(红2，白3)，(白1，白2)，(白1，白3)，(白2，白3)共10个，其中至少有一个红球的事件包括7个基本事件，所以，所求事件的概率为710.本题还可以利用“对立事件的概率和为1”来求解，对于求“至多”“至少”等事件的概率问题，常采用间接法，即求其对立事件的概率P(A)，然后利用P(A)＝1－P(A )求解．答案：7104．抛掷2颗质地均匀的骰子，求点数和为8的概率．解：在抛掷2颗骰子的试验中，每颗骰子均可出现1点，2点，…，6点6种不同的结果，我们把两颗骰子标上记号1,2以便区分，由于1,2号骰子分别有6种不同的结果，因此同时掷两颗骰子的结果共有6×6＝36种，在所有结果中，向上的点数之和为8的结果有(2,6)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)5种，所以，所求事件的概率为536. 5．将一颗骰子先后抛掷两次，观察向上的点数，问：(1)共有多少种不同的结果？(2)两数的和是3的倍数的结果有多少种？(3)两数的和是3的倍数的概率是多少？解：(1)将骰子抛掷1次，它出现的点数有1,2,3,4,5,6这6种结果．先后抛掷两次骰子，第一次骰子向上的点数有6种结果，第2次又有6种可能的结果，于是一共有6×6＝36种不同的结果；(2)第1次抛掷，向上的点数为1,2,3,4,5,6这6个数中的某一个，第2次抛掷时都可以有两种结果，使向上的点数和为3的倍数(例如：第一次向上的点数为4，则当第2次向上的点数为2或5时，两次的点数的和都为3的倍数)，于是共有6×2＝12种不同的结果；(3)记“向上点数和为3的倍数”为事件A ，则事件A 的结果有12种，因为抛两次得到的36种结果是等可能出现的，所以所求的概率为P(A)＝1236＝13.。