动点问题例题：梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=16cm，AB=6cm，BC=24cm，动点P从点A开始，沿AD边，以1厘米/秒的速度向点D运动；动点Q从点C开始，沿CB边，以4厘米/秒的速度向B点运动。

已知P、Q两点分别从A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动。

假设运动时间为t秒，问：（1）t 为何值时，四边形PQCD是平行四边形？（2）在某个时刻，四边形PQCD可能是菱形吗？为什么？（3）t 为何值时，四边形PQCD是直角梯形？（4）在某个时刻，四边形PQCD可能是等腰梯形吗？为什么？我们来通过这道例题，严格按照上面所讲的步骤尝试一次看看。

1，看要素。

其中点P和Q为动点，其余点问固定点。

点P运动的起点为点A，终点为点D，方向为AD方向，速度为1厘米/秒。

点Q运动的起点为点C，终点为点B，方向为CB方向，速度为4厘米/秒。

我们可以看到两点是相向运动，点Q速度要快。

另外大家这里要特别注意点的运动范围：点P从A到点D需16s，点Q从点C到点B只需6s，而题目中说“当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动”，所以这道题整个的运动时间最多是6s，也就是说大家解出的答案不能大于6了，这点往往易被大家忽略，也是经常出错的地方。

2，表线段。

运动时间为t，则AP=t，CQ=4t，PD=16-t，BQ=24-4t，还可以得到AB=6，CD=10 3，列等式。

这里要借助几何图形本身的性质，找出其中的等量关系来列等式。

平行四边形：对边相等。

PD=CQ，16-t=4t，t=3.2菱形：四边都相等。

PD=CD=CQ=PQ，即t=3.2且PD=12.8，但PD=CD=10，矛盾，不可能形成菱形。

直角梯形：借助四边形APQB是矩形，矩形对边也相等。

AP=BQ，t=24-4t，t=4.8等腰梯形：作等腰梯形的两高，底角的两个三角形全等。

过点P，D分别向BC作垂线，垂足为E，F，则QE=CF，t-(24-4t)=24-16，t=6.44，查结果。

我们发现第四问的结果超过6了，要舍去，所以题目不可能形成等腰梯形。

动点问题常见题型：一、建立函数解析式函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,和动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,1、应用勾股定理建立函数解析式例1：如图1,在半径为6,圆心角为90°的扇形OAB的弧AB上,有一个动点P,PH ⊥OA,垂足为H,△OPH的重心为G.(1)当点P在弧AB上运动时,线段GO、GP、GH中,有无长度保持不变的线段?如果有,请指出这样的线段,并求出相应的长度.(2) 设PH=x，GP=y，求y关于x的函数解析式，并写自变量x的取值范围（即自变量x的取值范围).(3)如果△PGH是等腰三角形,试求出线段PH的长.解:(1)当点P在弧AB上运动时,OP保持不变,于是线段GO、GP、GH中,有长度保持不变的线段，这条线段是GH= NH= OP=2.图1(3)△2、应用比例式建立函数解析式例2：如图2,在△ABC 中,AB=AC=1,点D,E 在直线BC 上运动.设BD=x ,CE= y. (1)如果∠BAC=30°,∠DAE=105°,试确定 y 与x 之间的函数解析式；(2)如果∠BAC 的度数为α ,∠DAE 的度数为β ,当α,β 满足怎样的关系式时,(1)中y 与x 之间的函数解析式还成立?试说明理由.解:(1)在△ABC 中,∵AB=AC,∠BAC=30°, ∴∠ABC=∠ACB=75°, ∴∠ABD=∠ACE=105°. ∵∠BAC=30°,∠DAE=105°, ∴∠DAB+∠CAE=75°, 又∠DAB+∠ADB=∠ABC=75°, ∴∠CAE=∠ADB,∴△ADB ∽△EAC, ∴ ACBD CE AB =,∴11x y =, ∴xy 1=.(2)由于∠DAB+∠CAE=αβ- ,又∠DAB+∠ADB=∠ABC=290α-︒ ,且函数关系式成立,∴290α-︒=αβ- =, 整理得 =-2αβ︒90.当=-2αβ︒90 时,函数解析式xy 1= 成立.例3:如图3(1),在△ABC 中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3. 点O 是边AC 上的一个动点,以点O 为圆心作半圆,与边AB 相切于点D,交线段OC 于点E.作EP ⊥ED,交射线AB 于点P,交射线CB 于点F.(1)求证: △ADE ∽△AEP.(2)设OA=x ,AP=y ,求y 关于x 的函数解析式,并写出它的定义域.图3(1) (3)当BF=1时,求线段AP 的长.解:(1)连结OD.根据题意,得OD ⊥AB,∴∠ODA=90°,∠ODA=∠DEP.又由OD=OE,得∠ODE=∠OED.∴∠ADE=∠AEP, ∴△ADE ∽△AEP. (2)∵∠ABC=90°,AB=4,BC=3, ∴AC=5. ∵∠ABC=∠ADO=90°, ∴OD ∥BC, ∴ 53x OD =,54xAD =,, , ∴OD=x 53,AD= x 54. ∴AE=x x 53+=x 58. ∵△ADE ∽△AEP, ∴AE AD AP AE = , ∴ x x yx 585458=. ∴ x y 516= (8250≤<x ) (3)当BF=1时，①若EP 交线段CB 的延长线于点F,如图3，则CF=4.∵∠ADE=∠AEP, ∴∠PDE=∠PEC. ∵∠FBP=∠DEP=90°, ∠FPB=∠DPE, ∴∠F=∠PDE, ∴∠F=∠FEC, ∴CF=CE. ∴5-x 58 =4,得85=x .可求y=2 ,即AP=2. ②若EP 交线段CB 于点F,如图3(2), 则CF=2. 类似①,可得CF=CE. ∴5-x 58=2,得 815=x . 可求得y=6 ,即AP=6.综上所述, 当BF=1时,线段AP 的长为2或6.●P DA CB 3(2)F3、应用求图形面积的方法建立函数关系式例4：如图4,在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC=,⊙A 的半径为1.若点O 在BC 边上运动(与点B 、C 不重合),设BO= x,△AOC 的面积为 y.(1)求y 关于 x 的函数解析式,并写出函数的定义域. (2)以点O 为圆心,BO 长为半径作圆O,求当⊙O 与⊙A 相切时,△AOC 的面积.解:(1)过点A 作AH ⊥BC,垂足为H. ∵∠BAC=90°,AB=AC= , ∴BC=4,AH= BC=2.∴ OC=4- x.图4 ∵AH OC S AOC ⋅=∆21, ∴4+-=x y (40<<x ). (2)①当⊙O 与⊙A 外切时,在Rt △AOH 中,OA=1+x ,OH=x -2, ∴222)2(2)1(x x -+=+. 解得67=x . 此时,△AOC 的面积y =617674=-. ②当⊙O 与⊙A 内切时,在Rt △AOH 中,OA=1-x ,OH=2-x , ∴222)2(2)1(-+=-x x . 解得27=x . 此时,△AOC 的面积y =21274=-. 综上所述,当⊙O 与⊙A 相切时,△AOC 的面积为617或21.二：动态几何题动态几何特点----问题背景是特殊图形，（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。

）等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。

点动问题．如图5，△ABC 中，AB=AC=10，BC=12，点D 在边BC 上，且BD=4，以点D 为顶点作∠EDF=∠B ，分别交边AB 于点E ，交AC 或延长线于点F ．（1）当AE=6时，求AF 的长；（2）当以点C 为圆心CF 长为半径的⊙C 和以点A 为圆心AE 长为半径的⊙A 相切时，求BE 的长；（3）当以边AC 为直径的⊙O 与线段DE 相切时，求BE 的长．[题型背景和区分度测量点] 图5解：（1） 证明CDF ∆∽EBD ∆∴BECDBD CF =，代入数据得8=CF ，∴AF=2 （2） 设BE=x ,则,10==AC d ,10x AE -=利用（1）的方法xCF 32=，相切时分外切和内切两种情况考虑： 外切，xx 321010+-=，24=x ；内切，xx 321010--=，17210±=x ．100<<x ∴当⊙C 和⊙A 相切时，BE 的长为24或17210-． （3）当以边AC 为直径的⊙O 与线段DE 相切时，320=BE ． 习题：1. 如图，已知点F 的坐标为（3，0），点A 、B 分别是某函数图像与x 轴、y 轴的交点，点P 是此图像上的一动点，设点P 的横坐标为x ，PF 的长为d ，且d 与x 之间满足关系：d=5－35x(0≤x ≤5)，则结论：① AF= 2 ② BF=4③ OA=5 ④ OB=3，正确结论的序号是 A ．①②③ B ①③ C ．①②④ D ．③④所用到的相关知识点：勾股定理解题思路：获得该曲线的解析式即可得到所有的答案。

所谓的解析式就是曲线上的某一点的y 值与x 值之间的关系。

解析式：1)当P 点的x 值小于OF 时，则P 点解析式：y 2=d 2-(3-x)2y 2=(8-x )(2-x) B 点坐标是（0，4） OB=4, BF=5(勾股数3,4,5)因此A 、C 排除。

2)当P 点的x 值大于OF 时，则P 点解析式：y 2=d 2-(x-3)2y 2 =(2+x )(8-x) A 点坐标是（5,0） OA=5，AF=5-3=2因此D 排除 因此答案是B.2585 85 25 y xO PF BADNML2. 一电工沿着如图所示的梯子NL 往上爬，当他爬到中点M 处时，由于地面太滑，梯子沿墙面与地面滑下，设点M 的坐标为（x ，y ）（x>0）,则y 与x 之间的函数关系用图象表示大致是A ．B ．C ．D ．所用到的相关知识点：勾股定理、相似三角形。

想办法找到y 和x 之间的关系式解题思路：获得该曲线的解析式，根据解析式判断图形的样子。

设：梯子的长度是L.从M 点做轴的垂线。

因为M 点是中点，所以ON=2x; 解析式：y 2=(错误!未找到引用源。

)2 -x 2从解析式看，只有图形A 是正确的。

3．如图，矩形ABCD 中，1AB =，2AD =，M是CD 的中点，点P 在矩形的边上沿A B C M →→→运动，则APM △的面积y 与点P 经过的路程x 之间的函数关系用图象表示大致是下图中的C ．D ．A．B ． D CBA P所用到的相关知识点：勾股定理，三角形面积公式。