高中数学复习函数专题练习题附答案(2012年栟茶高级中学高三阶段考试)若函数()f x 为定义域D 上单调函数，且存在区间[] a b D ⊆，（其中a b <），使得当[] x a b ∈，时，()f x 的值域恰为[] a b ，，则称函数()f x 是D 上的正函数，区间[] a b ，叫做等域区间．如果函数2()g x x m =+是() 0-∞，上的正函数，则实数m 的取值范围答案：3(1,)4--（2012年兴化）已知实数b a ,分别满足15323=+-a a a ，55323=+-b b b ， 则b a +的值为 ▲ . 答案：2说明：由于已知的两个等式结构相似，因此可考虑构造函数。

将已知等式变形为2)1(2)1(,2)1(2)1(33=-+--=-+-b b a a ，构造函数x x x f 2)(3+=，这是一个单调递增的奇函数，因为2)1(,2)1(=--=-b f a f所以)1()1()1(b f b f a f -=--=-，从而有b a -=-11，2=+b a 。

（2012年泰兴）方程在[0，1]上有实数根，则m 的最大值是 0 ；析：可考虑,y m =与33y x x =-在[0，1]上有公共点，数形结合。

3(1,)4--033=--m x x（南师附中最后一卷）已知函数f(x)＝log a (x 3－ax)(a ＞0且a ≠1)，如果函数f(x)在区间⎝⎛⎭⎫－12，0内单调递增，那么a 的取值范围是____________．答案：⎣⎡⎭⎫34，1（泰州期末）13．设实数1≥a ，使得不等式a a x x ≥+-23，对任意的实数[]2,1∈x 恒成立，则满足条件的实数a 的范围是 . 解析：本题考查不等式的解法，数形结合。

当32a ≤时，不等式a a x x ≥+-23，对任意的实数[]2,1∈x当32a >时，将不等式化为32||a x a x--≥，作出函数2||,(12)a y x a y x x -=-=≤≤的图像，如图， 不等式a a x x ≥+-23，对任意的实数[]2,1∈x 恒成立的条件是，函数||,y x a =-的图像全部落在函数32(12)a y x x -=≤≤的图像的上方，由3222312a a a a ⎧-⎪-≥⎪⎨⎪-≥-⎪⎩解得52a ≥，综上所述，实数a 的范围是35[1,][,)22+∞。

（注：本题关键在于对不等式的合理变形，和由图考出题设成立的条件）（泰州期末）14. 集合{)(x f M =存在实数t 使得函数)(x f 满足})1()()1(f t f t f +=+，下列函数k c b a ,,,(都是常数）（1）)0,0(≠≠+=b k b kx y ；（2）)0(2≠++=a c bx ax y ；（3）)10(<<=a a y x；（4）)0(≠=k xky ；（5）x y sin =；属于M 的函数有 . (只须填序号)解析：本题考查基本初等函数，解方程。

解法一：对函数（1），若(1)()()k t b kt b k b ++=+++，则0b =，与条件矛盾；对函数（2），若22(1)(1)()()a t b t c at bt c a b c ++++=+++++，解得2ct a=； 对函数（3），若1t t a a a +=+，由于函数(01)x y a a =<<为减函数，故不成立；对函数（4），若1k kk t t=++，整理得210t t ++=，此方程无实数解； 对函数（5），显然(01)(0)(1)f f f +=+。

综上所述，属于M 的函数有（2）（5）。

解法二：(1)()(1)f t f t f +=+可化为(1)()(1)0(1)10f t f t f t t +--=+--，此式表示点(1,(1)),(,()),(1,(1)),(0,0)A t f t B t f t C f D ++满足AB CD k k =，依次作出五个函数的图像，画出线段CD ，作CD 的平行线，判断能否作出弦长为1的平行线即可。

（注：解法二不是人人都能学会的，没这个智力的人需对自己合理定位）（南京三模）.若函数222,0(),0x x x f x x ax x ⎧-≥⎪=⎨-+<⎪⎩是奇函数，则满足()f x a >的x 的取值范围是 ▲ ．答案:(13,)--+∞（南通三模）若函数()|21|f x x =-，则函数()(())ln g x f f x x =+在(0,1)上不同的零点个数为 ▲ . 解析：考查数形结合法的应用、函数图象的作法。

考虑函数1122))((--==x x f f y 与x y ln -=的图象交 点的个数。

而函数⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧<+-≤≤-≤<+->-=--=41,142141,144321,3443,341122x x x x x x x x x y ，由图象易见结果为3．另外，也可按如下步骤做出1122))((--==x x f f y 的图象： 先作1122--=x y 的图象，再作1122--=x y 的图象。

答案：3（盐城二模）若()y f x =是定义在R 上周期为2的周期函数, 且()f x 是偶函数, 当[0,1]x ∈时,()21x f x =-, 则函数5()()log ||g x f x x =-的零点个数为 ▲ .答案：4解析：数形结合，作出y=f(x)与5log ||y x =在x 轴右边图像，有2个交点，又2个函数为偶函数，根据对称性有4个交点（2012年常州）对于函数，给出下列命题：（1）在同一直角坐标系中，函数与的图象关于直线对称； （2）若，则函数的图象关于直线对称； （3）若，则函数是周期函数；（4）若，则函数的图象关于点（0,0）对称。

其中所有正确命题的序号是 。

答案：（3） （4）（常州期末）11、设函数在R 内有定义，对于给定的正数，定义函数，若函数，则当时，函数的单调减区间为 。

答案：(,-∞（南通一模）如图，矩形ABCD 的三个顶点A 、B 、C 分别在函数，，的图象上，且矩形的边分别平行于两坐标轴. 若点A 的纵坐标为2，则 点D 的坐标为 ▲ . 答案：第9题 A A D y x x ⇒=；A B B C C D y y x x y y =⇒=⇒=.（天一）5.已知定义域为R 的函数121()2x x f x a+-+=+是奇函数，则a = ▲ .答案；2（天一）13.将一个长宽分别是,(0)a b b a <<的铁皮的四角切去相同的正方形，然后折成一个无盖的长方体的盒子，若这个长方体的外接球的体积存在最小值，则ab的取值范围是 ▲ . 答案：)45,1(()()y f x x R =∈(1)y f x =-(1)y f x =-0x =(1)(1)f x f x -=-()y f x =1x =(1)(1)f x f x +=-()y f x =(1)(1)f x f x -=--()y f x =()y f x =k (),(),(),().k f x f x k f x k f x k >⎧=⎨≤⎩3()log ||f x x =13k =()k fx y x =12y x=xy =()1124，（第9题）（天一）（天一）8.若方程()lg 2lg 1kx x =+仅有一个实根，那么k 的取值范围是 ▲ .答案：0k <或4k =（南师大信息卷）函数在定义域R 内可导，若，且当时，，设，则的大小关系为c <a<b.提示：依题意得，当时，有，为增函数；又，且，因此有， 即有,.（苏锡常一模）写出一个满足（，）的函数 . 答案：log 1a x +（苏锡常一模）已知，为正实数，函数在上的最大值为，则在上的最小值为 .答案：32-（南师大信息卷）定义在D 上的函数 ，如果满足：对任意 ，存在常数 ，都有 成立，则称是D 上的有界函数，其中M 称为函数 的上界.已知函数.(1) 当时，求函数在上的值域，判断函数在上是否为有界函数，并说明理由；(2) 若函数在上是以3为上界的有界函数，求实数a 的取值范围.解：(1)时，上单调递增，故函数在上的值域为 ()f x ()(2)f x f x =-(,1)x ∈-∞(1)'()0x f x -<1(0),(),(3)2a f b f c f ===,,a b c 1x <'()0f x >()f x (3)(1)f f =-11012-<<<1(1)(0)()2f f f -<<1(3)(0)()2f f f <<c a b <<1)()()(-+=y f x f xy f x 0>y =)(x f a b xbx ax x f 2)(3++=[]1,04)(x f []0,1-)(x f D x ∈0>M M x f ≤)()(x f )(x f 21)(ax x x f ++=1-=a )(x f ()0-，∞)(x f ()0-，∞)(x f []4,1∈x 1-=a ,45)21(1)(22+--=-+=x x x x f )0,()(-∞∈∴x x f 在,145)210()(2=+--<∴x f )(x f ()0-，∞).1,(-∞又,不存在常数，使都成立.故函数在上不是有界函数. (2) 若函数在上是以3为上界的有界函数, 则在上恒成立. 即即在上恒成立.令， .令，则.令，则.∴实数的取值范围为（盐城二模）因客流量临时增大, 某鞋店拟用一个高为50㎝（即EF =50㎝）的平面镜自制一个竖直摆放的简易鞋镜. 根据经验,一般顾客AB 的眼睛B 到地面的距离(cm)x 在区间[140,180]内. 设支架FG 高为(090)h h <<㎝, 100AG =㎝, 顾客可视的镜像范围为CD (如图所示), 记CD 的长度为y （y GD GC =-）.(1) 当40h =㎝时, 试求y 关于x 的函数关系式和y 的最大值；(2) 当顾客的鞋A 在镜中的像1A 满足不等关系1GC GA GD <≤（不计鞋长）时, 称顾客可在镜中看到自己的鞋. 若使一般顾客都能在镜中看到自己的鞋, 试求h 的取值范围.),0[)(,1)(+∞∈∴<x f x f ∴0>M M x f ≤)()(x f ()0-，∞)(x f []4,13)(≤x f []4,1,313,3)(32≤++≤-∴≤≤-ax x x f .2422x xa x x -≤≤--x x a x x 121422-≤≤--[]4,1∈x .)12()14(min 2max 2x xa x x -≤≤--∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈=1,41,1t t x 则⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈-≤≤--∴1,41,)2()4(min 2max 2t t t a t t t t t g --=24)(⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∈++-=21,5161)81(4)(2t t g t t t h -=22)(⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈--=1,8181)41(2)(2t t h a .81,21⎥⎦⎤⎢⎣⎡--解: (1) 因为40FG =,100AG =,所以由GC GC AGFG AB+=,即10040GC GC x +=,解得400040GC x =-, 同理,由GD GD AG EG AB +=,即10090GD GD x +=, 解得900090GC x =-…………………………………2分 所以2941000()5000,[140,180]90401303600xy GD GC x x x x x =-=⨯-=⨯∈---+……… 5分因为222360050000(1303600)x y x x -'=⨯<-+, 所以y 在[140,180]上单调递减, 故当140x =㎝时, y 取得最大值为140㎝………………………………………………………………8分另法: 可得5000,[140,180]3600130y x x x=∈+-, 因为3600130x x +-在[140,180]上单调递增, 所以y 在[140,180]上单调递减, 故当140x =㎝时,y 取得最大值为140㎝…………………………8分 (2)由100GC GC h x +=,得100h GC x h =-,由10050GD GD h x +=+,得100(50)50h GD x h +=--,所以由题意知1GC AG AG GD <=≤,即100100(50)10050h h x h x h +<≤---对[140,180]x ∈恒成立……………………12分 从而2502x h x h ⎧<⎪⎪⎨⎪≥-⎪⎩对[140,180]x ∈恒成立,解得14070218050402h h ⎧<=⎪⎪⎨⎪≥-=⎪⎩,故h 的取值范围是[)40,70…14分(注: 讲评时可说明, 第(2)题中h 的范围与AG 的长度无关, 即去掉题中AG=100㎝的条件也可求解)（盐城二模） 已知函数|21|||112(),(),x a x a f x ef x e x R -+-+==∈. (1) 若2=a , 求)(x f =)(1x f +)(2x f 在∈x [2，3]上的最小值； (2) 若[,)x a ∈+∞时, 21()()f x f x ≥, 求a 的取值范围；(3) 求函数1212()()|()()|()22f x f x f x f xg x +-=-在∈x [1，6]上的最小值. 第17题ABCDE FG A 1 ·20．解:(1)因为2=a ,且∈x [2，3],所以3|3||2|131()2x x x xx x e e f x eeeee e e --+--=+=+=+≥=, 当且仅当x =2时取等号,所以()f x 在∈x [2，3]上的最小值为3e …………………………………4分 (2)由题意知,当[,)x a ∈+∞时,|21|||1x a x a ee -+-+≤,即|21|||1x a x a -+≤-+恒成立……………… 6分所以|21|1x a x a -+≤-+,即2232ax a a ≥-对[,)x a ∈+∞恒成立,则由2220232a a a a≥⎧⎨≥-⎩,得所求a 的取值范围是02a ≤≤……………………………………………9分 (3) 记12()|(21)|,()||1h x x a h x x a =--=-+,则12(),()h x h x 的图象分别是以(2a -1,0)和(a ,1)为顶点开口向上的V 型线,且射线的斜率均为1±. ①当1216a ≤-≤,即712a ≤≤时,易知()g x 在∈x [1，6]上的最小值为01(21)1f a e -==……10分 ②当a <1时,可知2a －1<a ,所以(ⅰ)当12(1)(1)h h ≤,得|1|1a -≤,即01a ≤<时,()g x 在∈x [1，6]上的最小值为221(1)af e -=…11分 (ⅱ)当12(1)(1)h h >,得|1|1a ->,即0a <时,()g x 在∈x [1，6]上的最小值为22(1)a f e -=………12分③当72a >时,因为2a －1>a ,可知216a ->, (ⅰ)当1(6)1h ≤,得|27|1a -≤,即742a <≤时,()g x 在∈x [1，6]上的最小值为271(6)a f e -=…13分(ⅱ)当1(6)1h >且6a ≤时,即46a <≤,()g x 在∈x [1，6]上的最小值为12()f a e e == ………14分(ⅲ)当6a >时,因为12(6)275(6)h a a h =->-=,所以()g x 在∈x [1，6]上的最小值为52(6)a f e -=………………………………………………………………………………………… 15分综上所述, 函数()g x 在∈x [1，6]上的最小值为2222750017112742466a a a a e a e a a e a e a a e----⎧<⎪≤<⎪⎪≤≤⎪⎪⎨⎪<≤⎪⎪<≤⎪⎪>⎩………………………………16分（天一）省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合放射性污染指数()f x 与时刻x （时）的关系为()[]222,0,2413x f x a a x x =-++∈+，其中a 是与气象有关的参数，且1[0,]2a ∈，若用每天()f x 的最大值为当天的综合放射性污染指数，并记作()M a ．（1）令21xt x =+，[]0,24x ∈，求t 的取值范围；（2）省政府规定，每天的综合放射性污染指数不得超过2，试问目前市中心的综合放射性污染指数是否超标？17. 解：（1）当0x =时，t ＝0；当024x <≤时，12x x+≥（当1x =时取等号）， ∴2110,112x t x x x ⎛⎤==∈ ⎥+⎝⎦+， 即t 的取值范围是10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦． ……………………4分（2）当10,2a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，记()223g t t a a =-++则()23,0321,32t a t a g t t a a t ⎧-++≤≤⎪⎪=⎨⎪++<≤⎪⎩……………………6分 ∵()g t 在[]0,a 上单调递减，在1,2a ⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增，且()()2171103,,0232624g a g a g g a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．故()()1171,0,024********,0,34242g a a a M a a a g a ⎧⎛⎫⎧≤≤+≤≤ ⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭==⎨⎨⎪⎪+<≤<≤⎪⎪⎩⎩. ……………………12分∴当且仅当49a ≤时，()2M a ≤.故当409a ≤≤时不超标，当4192a <≤时超标． ……………………14分（南京三模）17．（本小题满分14分）在某次水下考古活动中,需要潜水员潜入水深为30米的水底进行作业.其用氧量包含3个方面:①下潜时,平均速度为v (米/单位时间),单位时间内用氧量为2cv (c 为正常数);②在水底作业需5个单位时间,每个单位时间用氧量为0.4;③返回水面时,平均速度为2v(米/单位时间), 单位时间用氧量为0.2.记该潜水员在此次考古活动中,总用氧量为y . (1)将y 表示为v 的函数;(2)设0<v ≤5,试确定下潜速度v ,使总的用氧量最少.（南通三模）如图，矩形ABCD 中，AB=3，AD=2，一质点从AB 边上的点0P 出发，沿与AB 的夹角为θ的方向射到边BC 上点1P 后，依次反射（入射角与反射角相等）到边CD 、DA 和AB 上的2P 、3P 、4P 处。