①若C＝0，则数列{an}是等差数列； ②若C≠0，则数列{an}从第2项起是等差数列。
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结论：
等差数列前n项和的最值问题有两种方法：
(1) 由
Sn
d 2
n2
(a1
d )n 2
利用二次函
数配方法求得最值时n的值.
(2) 当a1＞0，d＜0，前n项和有最大值. 可由an≥0，且an＋1 ＜ 0，求得n的值； 当a1＜0，d＞0，前n项和有最小值. 可由an≤0，且an＋1 ＞ 0，求得n的值. 5
3.等差数列前n项和的性质（2）
已知等差数列的前n项和Sn，如何求an ? 利用Sn与an的关系:
an
=
SS1n,
n
1 Sn1
,
n
2
6
二.巩固练习
1.已知数列{an}的前项和Sn =2n2 -23n, （1）求其通项公式an； （2）求Sn的最值。
2.在等差数列{an }中，a1 =25,S17 =S9 , 求Sn的最值。
等差数列前n项和性质
1
一.知识点回顾
1.等差数列的前n项和公式：
Sn
n(a1 2
an )
n(n 1)d Sn na1 2
2
2.等差数列前n项和的性质（1）
由Sn
na1
n(n
1)d 2
可化成
Sn
d 2
n2
(a1
d )n 2
当d≠0时，是一个常数项为零的二次式.
3
思考3：一般地，若数列{an}的前n和Sn＝An2＋Bn，那 么数列{an}是等差数列吗？若Sn＝An2＋Bn＋C 呢？ （1）数列{an}是等差数列 Sn＝An2＋Bn （2）数列{an} 的前n项和是Sn＝An2＋Bn＋C ，则：
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5.等差数列前n项和的性质（4） 关于奇数项与偶数项和的关系的几个结论：
S奇 S偶 S所有 1.当项数为2n（偶数）时：
（1）S偶
S奇
n • d (2)
S偶 S奇
an1 an
2.当项数为2n-1（奇数）时：
（1）S奇
S偶
an (an是中间项)(2)
S奇 S偶
n n 1
12
例2：已知等差数列{an}中，共有10项,S偶=15,S奇 =12.5, 求a1与d。 例3：已知等差数列{an}中，共有2n-1项,S奇 =290, S偶=261, 求项数与中间项。
1) (2) 2
n2
26n
(n 13)2
169
由二次函数的性质知,当n 13, (Sn )max 169
(法二)先求出d=-2(同法一)
Q
a1
25
0,由
an 25 (n 1) (2) an1 25 n (2) 0
0得
n n
13.5 12.5
当n 13, (Sn )max 169
13
例2：已知等差数列{an }中，共有10项,S偶 =15,S奇 =12.5, 求a1与d。
解 :Q 该等差数列的项数为10项,
S偶
S奇 =n
• d即15-12.5=5 • d,解得d
1 2
10 9 1
又Q S偶 S奇 S10即15 12.5 10a1
2 2
解得a1
1 2
a1
1 2
,d
1 2
14
例3：已知等差数列{an}中，共有2n-1项,S奇=290, S偶=261. 求项数与中间项。
解 :Q 该等差数列的项数为2n 1项, S奇 S偶 a中即 290 261 a中,a中 29 又Q S奇 n 即 290 n ,解得n 10
S偶 n 1 261 n 1 项数为210 1 19
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4.等差数列前n项和的性质（3） 等差数列连续的k项之和也成等差数列。即 Sk,S2k -Sk,S3k -S2k,......也成等差数列。 (公差为k2 • d)
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例1：在等差数列{an}中，S10 =10,S20 =40,求S30 课堂练习2：等差数列{an}中，若S2=2，S6 =24,求S4
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课堂练习：已知等差数列{an}中，共有2n+1项,S奇 =51, S偶 =42.5， a1 1,求项数及通项公式。
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7
1.已知数列{an}的前项和Sn =2n2 -23n, （1）求其通项公式an；
（2）求Sn的最值。
1.解：(1)由题意可知：
当n 2时，an Sn Sn1 2n2 23n [2(n 1)2 23(n 1)] 2n2 2(n 1)2 23n 23(n 1) 4n 25
当n 1时，a1 21 S1
an 4n 25(n N )
(2)Q
Sn
2n2
23n
2(n2
23 2
n)
2(n
23)2 4
529 8
由二次函数的性质可知当n=6时,(Sn )min 66

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2.解
:
(法一)由S17
=S9
,
得25
17
17
(17 2
1)
d
25 9 9 (9 1) d解得d 2 2
Sn
25n
n (n