专题2.1 椭圆单元测试(B 卷提升篇）（浙江专用）参考答案与试题解析第Ⅰ卷（选择题）一．选择题（共10小题，满分50分，每小题5分）1．（2019·山东省淄博实验中学高二月考）“57m <<”是“方程22175x y m m +=--表示椭圆”的（ ）A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】由题意，方程22175x ym m +=--表示一个椭圆，则705075m m m m ->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩，解得57m <<且6m ≠， 所以“57m <<”是“方程22175x y m m +=--”的必要不充分条件，故选C.2．（2019·黑龙江高三月考（理））若方程 221351x y a a +=--表示焦点在y 轴上的椭圆，则a 的取值范围是（ ） A ．5(,2)3B ．(2,)+∞C ．5(,)3+∞D ．5(,2)(2,)3+∞【答案】A 【解析】由题,因为221351x y a a +=--表示焦点在y 轴上的椭圆,所以1350a a ->->,即523a <<故选：A3．（2019·宝鸡中学高二期中（文）） 直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为 ( )A ．13B ．12 C ．23D ．34【答案】B 【解析】 不妨设直线:1x ylc b +=，即0bx cy bc +-=⇒椭圆中心到l 24b = 12c e a ⇒==，故选B. 4．（2020·广东仲元中学高三月考（理））在椭圆22142x y +=上有一点P ，F 1、F 2是椭圆的左、右焦点，△F 1PF 2为直角三角形，这样的点P 有（ ） A ．2个 B ．4个 C ．6个 D ．8个【答案】C 【解析】由椭圆的性质可知：椭圆的上下顶点(0,i B 对1F 、2F 张开的角θ最大，2b =，2a =，c =90θ=︒．这样的点P 有两个；当1PF x ⊥轴或2PF x ⊥轴时，也满足题意．这样的点P 有4个； 因此△12F PF 为直角三角形，则这样的点P 有6个． 故选：C ．5．（2019·福建省建瓯市芝华中学高二期中）设椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，P 是C 上的点，2PF ⊥1F 2F ，∠12PF F =30，则C 的离心率为（ ）A ．6B ．13C ．12D 【答案】D 【解析】由题意可设|PF 2|＝m ，结合条件可知|PF 1|＝2m ，|F 1F 2| m ，故离心率e ＝12122332F F c m a PF PF ===+选D. 6．（2019·洛阳市第一高级中学高二月考）已知，是椭圆上的两个焦点，过且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A ，B 两点，若是正三角形，则这个椭圆的离心率是A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】，是椭圆上的两个焦点，过且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A ，B 两点，若是正三角形，可得，即，，即，，即：，解得．故选：B ．7．（2019·石嘴山市第三中学高二月考（理））已知()()121,0,1,0F F -是椭圆C 的两个焦点，过2F 且垂直于x 轴的直线交C 于,A B 两点，且3AB =，则C 的方程为（ ）A ．22132x y +=B ．2213x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=【答案】C 【解析】因为3AB =，所以232AF =，又12||2F F ， 所以在直角三角形12AF F 中，222211235||||||2()22AF F F AB =+=+=，因为1253||||4222AF AF a +=+==，所以2,1,3a c b === 所以椭圆的方程为：22143x y +=.8．（2019·浙江高二期中）如图，已知椭圆()222210x y C a b a b+=：＞＞，斜率为﹣1的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，平行四边形OAMB （O 为坐标原点）的对角线OM 的斜率为13，则椭圆的离心率为（ ）A ．33B ．63C ．32D ．23【答案】B 【解析】设直线AB 方程为y x n =-+，设1122(,),(,)A x y B x y ，由22221x y a b y x n ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩得：22222222()20a b x a nx a n a b +-+-=，∴212222a nx x a b+=+，12122()y y n x x +=-+，设(,)M x y ，∵OAMB 是平行四边形，∴OM OA OB =+，∴1212,x x x y y y =+=+， ∴12121212122()21OMy y n x x y n k x x x x x x x +-+====-+++22222113a b b a a +=-==， ∴2222223c a b a a -==，∴6c e a ==． 故选：B ．9．（2019·首都师范大学附属中学高二期中）如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点，直线2b y =与椭圆交于,B C 两点，且90BFC ∠=︒，则该椭圆的离心率为( )A ．6 B ．23C ．12D ．22【答案】A 【解析】将2by =代入椭圆方程得：3,2b B a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，3,2b C a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭又椭圆焦点(),0F c 3,22b BF c a ⎛⎫∴=+- ⎪ ⎪⎝⎭，3,22b CF c a ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭90BFC ∠= 22222222233310444442b ac BF CF c a c a c a -∴⋅=-+=-+=-= 22223c e a ∴== 63e ∴=故选：A10．（2019·洛阳市第一高级中学高二月考）已知F 1（-c ，0），F 2（c ，0）为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点且=c 2，则此椭圆离心率的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 设， 所以，选C.第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题（共7小题，单空每小题4分，两空每小题6分，共36分）11．（2016·浙江高三期中（理））已知曲线22212x y k k+=-．当曲线表示圆时k 的取值是 ；当曲线表示焦点在y 轴上的椭圆时k 的取值范围是 ． 【答案】2或-1；2k >或1k <-；01k <<． 【解析】因为曲线22212x y k k+=-，所以曲线表示圆时，满足条件：22k k -=，解之得2或-1；当曲线表示焦点在y 轴上的椭圆时，满足条件：22k k ->即2k >或1k <-，故应填2或-1；2k >或1k <-．12．（2019·浙江高二期中）已知F 1，F 2为椭圆()222210x y C a b a b+=：＞＞上的左、右焦点，点B 为上顶点，延长BF 2交椭圆于M 点，且△F 1BM 是腰长为3的等腰三角形，则a ＝_____． 【答案】2 【解析】根据椭圆的定义，△F 1BM 的周长为4a ，所以4a ＝6=6+a ，所以3a ＝6，a ＝2，故答案为：2.13．（2018·浙江高三专题练习）已知椭圆22214x y b+= (0＜b ＜2)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若|BF 2|＋|AF 2|的最大值为5，则b 的值是________，椭圆的离心率为________.12【解析】 由题意得a ＝2；由椭圆的定义知2248AF BF AB a ＋＋＝＝， 所以228()3AB AF BF ＝－＋≥， 又由椭圆的性质得，过椭圆焦点的弦中垂直于长轴的弦最短，所以223b a=，解得b 2＝3，故b=3，2311()142c b e a a ==-=-=． 答案：3，1214．（2019·辽宁高二期中）已知12,F F 是椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，过左焦点1F 的直线与椭圆C 交于,A B 两点且11||2||AF BF =，2||||AB BF =，则椭圆C 的离心率为____；若3a =，则椭圆方程为__________.【答案】322196x y +=【解析】设1122AF BF m ==，则有223BF a m AB m =-==， 所以2a m =，所以A 即为椭圆短轴的一个端点，设为上顶点，在12AF F ∆中，222124cos 22a c a AF F a c+-∠=⋅⋅，在12BF F ∆中，2221219444cos 1222a c a BF F a c +-∠=⋅⋅， 所以有2222221944440122222a c a a c a a c a c +-+-+=⋅⋅⋅⋅， 整理得：223a c =，所以33c e a ==； 当3a =时，3,6c b ==，则椭圆的方程为：22196x y +=；故答案是：33；22196x y +=.15．（2018·浙江省宁波市鄞州中学高二期中）已知圆C ：和点，P 是圆上一点，线段BP 的垂直平分线交CP 于M 点，则M 点的轨迹方程为______；若直线l 与M 点的轨迹相交，且相交弦的中点为，则直线l 的方程是______．【答案】【解析】由圆的方程可知，圆心，半径等于，设点M 的坐标为，的垂直平分线交CQ 于点M ，又半径，依据椭圆的定义可得，点M 的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆，且，，，故椭圆方程为 ， 设直线l 交椭圆与，两点，AB 的中点为，，，则，，作差得：，，直线l 的方程是：，即：．故答案为：，．16．（2017·浙江余姚中学高二月考）若椭圆22:1123x y C +=的弦被点(2,1)P 平分，则这条弦所在的直线l 的方程是______，若点M 是直线l 上一点，则M 到椭圆C 的两个焦点的距离之和的最小值等于______. 【答案】240x y +-= 4655【解析】设l 斜率为k ，椭圆22:1123x y C +=的弦被点()2,1P 平分，由点差法得到14OP K K ⋅=-，12OP K = 得到K=12-，代入已知的中点P 的坐标得到直线方程为240x y +-=；设点(),M x y , 则M 到椭圆C 的两个焦点距离，先找点2F 关于240x y +-=的对称点为’2174F (,)55,连接’21F F ，交直线于点M ，此时距离之和最小，最小值为2221324465|F F |=()()555+=. 故答案为：(1) 240x y +-= (2)465. 17．（2014·浙江高三期中（文））在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 在椭圆上，点P 满足(λ∈R)，且，则线段OP 在x 轴上的投影长度的最大值为________．【答案】15 【解析】，即，则三点共线，，所以与同向，∴，设与轴夹角为，设点坐标为，为点在轴的投影，则在轴上的投影长度为.当且仅当时等号成立．则线段在轴上的投影长度的最大值为．三．解答题（共5小题，满分64分，18--20每小题12分，21,22每小题14分）18．（2018·上海高二期末）已知动圆M 既与圆1C ：2240x y x ++=外切，又与圆2C ：224960x y x +--=内切，求动圆的圆心M 的轨迹方程.【答案】2213632x y += 【解析】1C ：()2224x y ++=，2C ：()222100x y -+=，设动圆圆心(),M x y ，半径为r ，则112122212410MC r MC MC C C MC r ⎧=+⎪⇒+=>=⎨=-⎪⎩， ∴M 是以1C 、2C 为焦点，长轴长为12的椭圆，∴221236a a =⇒=，22232b a c =-=， ∴所求轨迹方程为2213632x y +=.19．（2019·洛阳市第一高级中学高二月考）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的长轴长为8，短轴长为4．(1)求椭圆方程；(2)过(2,1)P 作弦且弦被P 平分，求此弦所在的直线方程及弦长．【答案】(1)221164x y +=；(2) 240x y +-=，5【解析】(1)由椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>长轴长为8，短轴长为4，得28,24a b ==，所以4,2a b ==，所以椭圆方程为221164x y +=．(2)设以点(2,1)P 为中点的弦与椭圆交于1122(,),(,)A x y B x y ，则12124,2x x y y +=+=.1122(,),(,)A x y B x y 在椭圆上，所以22111164x y +=，22221164x y +=，两式相减可得12121212()()4()()0x x x x y y y y +-++-=， 所以AB 的斜率为212112y y k x x -==--，∴点(2,1)P 为中点的弦所在直线方程为240x y +-=.由221164240x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩，得240x x -=，所以02x y =⎧⎨=⎩或40x y =⎧⎨=⎩，所以||AB ==．20．（2019·浙江高二期中）已知椭圆()222210x y C a b a b+=：＞＞的左、右焦点为F 1，F 2，离心率为12，且点312P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，在椭圆上． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线l 过点M （0，﹣2）且与椭圆C 相交于A ，B 两点，且△OAB （O，求出直线l 的方程．【答案】(1)22 143x y +=．(2) 22y x =±- 【解析】（1）椭圆()222210x y C a b a b+=：＞＞的左、右焦点为F 1，F 2，离心率为12，且点312P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，在椭圆上，可得2222219142121a b a c b ac a b c ⎧+=⎪=⎧⎪⎪⎪=⇒=⎨⎨⎪⎪=⎩=+⎪⎪⎩∴椭圆的标准方程为22143x y +=． （2）设直线l ：y ＝kx ﹣2，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），2222341234(2)122x y x kx y kx ⎧+=⇒+-=⎨=-⎩， ∴（4k 2+3）x 2﹣16kx +4＝0，1212221644343k x x x x k k +==++，，()222121212221616434144343k k x x x x x x k k -⎛⎫-=+-=-= ⎪++⎝⎭， 2122143413243OAB k S OM x x k -=⋅-==+， 解得5k =±，直线l 的方程为52y x =±-． 21．（2019·黑龙江高二期中（理））如图1F ，2F 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点，A 是椭圆C 的顶点，B 是直线2AF 与椭圆C 的另一个交点，211AF F F =．（1）求椭圆C 的离心率；（2）已知1AF B △的面积为403a ，b 的值．【答案】（1）12e =；（2）10a =，53b =【解析】（1）112AF F F =，2a c ∴=12c e a ∴==； （2）设2BF m =，则12BF a m =-，1122AF F F =AF =，故三角形12AF F 是等边三角形，121218018060120F F F F B A =-=-∴∠∠=在三角形12BF F 中，222121221212|2cos BF B F F F BF F F F F B ︒=+-∠，22221(2)()2a m m a am ∴⋅--=+-， 35m a ∴=， 1AF B △面积11sin 602BA F A S ︒=，1325a a a ⎛⎫∴⨯⨯+= ⎪⎝⎭， 10a ∴=，5,c b ∴==．22．（2020·辽宁高二月考）已知椭圆(222:12x y C a a +=>的右焦点为F ，P 是椭圆C 上一点，PF x ⊥轴，2PF =. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点，且OM =求AOB ∆面积的最大值.【答案】（1）22182x y +=；（2）2. 【解析】（1）设椭圆C 的焦距为()20c c >，由题知，点,2P c ⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭，b =则有22212c a ⎝⎭+=，2234c a ∴=，又22222a b c c =+=+，28a ∴=，26c =， 因此，椭圆C 的标准方程为22182x y +=； （2）当AB x ⊥轴时，M 位于x 轴上，且OMAB ⊥，由OM =可得AB =12AOB S OM AB ∆=⋅=； 当AB 不垂直x 轴时，设直线AB 的方程为y kx t =+，与椭圆交于()11,A x y ，()22,B x y ，由22182x y y kx t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()222148480k x ktx t +++-=. 122814kt x x k -∴+=+，21224814t x x k-=+，从而224,1414kt t M k k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭已知OM =()2222214116k t k +=+.()()()22222212122284814141414kt t AB k x x x x k k k ⎡⎤--⎛⎫⎡⎤=++-=+-⨯⎢⎥ ⎪⎣⎦++⎝⎭⎢⎥⎣⎦()()()222221682114k t k k -+=++. 设O 到直线AB 的距离为d ，则2221t d k =+， ()()()222222221682114114AOB k t t S k k k ∆-+=+⋅++. 将()2222214116kt k+=+代入化简得()()2222219241116AOB k k S k ∆+=+. 令2116k p +=，则()()()22222211211192414116AOB p p k k S p k ∆-⎛⎫-+ ⎪+⎝⎭==+211433433p ⎡⎤⎛⎫=--+≤⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 当且仅当3p =时取等号，此时AOB ∆的面积最大，最大值为2. 综上：AOB ∆的面积最大，最大值为2.。