《圆锥曲线》单元测试题一、选择题1．已知椭圆方程192522=+y x ，椭圆上点M 到该椭圆一个焦点的距离是2，N 是MF 1的中点，O 是椭圆的中心，那么线段ON 的长是（ ）A ．2B ．4C ．8D ．23 2．从椭圆的短轴的一个端点看长轴的两个端点的视角为120º，那么此椭圆的离心率为（ ）A ．22B ．33C ．21D ．363．设1>k ，则关于x 、y 的方程1)1(222-=+-k y x k 所表示的曲线是（ ）A ．长轴在y 轴上的椭圆B ．长轴在x 轴上的椭圆C ．实轴在y 轴上的双曲线D ．实轴在x 轴上的双曲线4．到定点(7, 0)和定直线x =7716的距离之比为47的动点轨迹方程是（ ）。
A ．116922=+y x B ．191622=+y x C ．1822=+y x D ．1822=+y x 5．若抛物线顶点为（0，0），对称轴为x 轴，焦点在01243=--y x 上那么抛物线的方程为（ ）A ．x y 162= B ．x y 162-=； C ．x y 122=； D ．x y 122-=；6．过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左顶点A 的斜率为k 的直线交椭圆C 于另一个点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F ，若13＜k ＜12，则椭圆离心率的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫14，94B ．⎝⎛⎭⎫23，1C ．⎝⎛⎭⎫12，23D ．⎝⎛⎭⎫0，12 7．若椭圆)1(122>=+m y m x 与双曲线)0(122>=-n y nx 有相同的焦点F 1、F 2，P 是两曲线的一个交点，则21PF F ∆的面积是（ ）A ．4B ．2C ．1D ．128．双曲线221(0)x y mn m n-=≠的离心率为2, 有一个焦点与抛物线24y x =的焦点重合,则mn 的值为( ) A ．316 B ．38 C ．163 D ．839．设双曲线以椭圆221259x y +=长轴的两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦点，则双曲线的渐近线的斜率为（ ） A ．2± B ．43±C ．12±D ．34± 10．已知椭圆222(0)2y x a a +=>与A （2，1），B （4，3）为端点的线段没有公共点，则a 的取值范围是（ ）A．02a <<B．02a <<或2a > C ．103a <<D．22a << 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．双曲线8822=-ky kx 的一个焦点是（0，3），那么k 的值为 。
12．如果椭圆的对称轴为坐标轴，短轴的一个端点与两焦点组成一正三角形，焦点在x 轴上，且a －c =3, 那么椭圆的方程是 。
13．已知P ，Q 为抛物线x 2＝2y 上两点，点P ，Q 的横坐标分别为4，－2，过P ，Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为_________ 14．双曲线的实轴长为2a ，F 1, F 2是它的左、右两个焦点，左支上的弦AB 经过点F 1，且|AF 2|、|AB |、|BF 2|成等差数列，则|AB |＝15．关于曲线0992233=++-xy y x y x ，有下列命题：①曲线关于原点对称； ②曲线关于x 轴对称；③曲线关于y 轴对称；④曲线关于直线x y =对称；其中正确命题的序号是________。
三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
） 16．已知椭圆的两焦点为F 1（0，-1）、F 2（0，1），直线4=y 是椭圆的一条准线。
（1）求椭圆方程；（2）设点P 在椭圆上，且121=-PF PF ，求tan ∠F 1PF 2的值。
17．已知过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1＜x 2)两点，且|AB |＝9.（1）求该抛物线的方程；（2）O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值．18．已知i ，j 是x ，y 轴正方向的单位向量，设a ＝x i ＋(y －1)j ，b ＝x i ＋(y ＋1)j ，且满足|a |＋|b |＝2 2.（1）求点P (x ，y )的轨迹C 的方程；（2）设点F (0,1)，点A ，B ，C ，D 在曲线C 上，若AF →与FB →共线，CF →与FD →共线，且AF →·CF→＝0.求四边形ACBD 的面积的最小值和最大值．19．已知点M 是圆B ：(x ＋2)2＋y 2＝12上的动点，点A (2,0)，线段AM 的中垂线交直线MB 于点P .（1）求点P 的轨迹C 的方程；（2）若直线l ：y ＝kx ＋m (k ≠0)与曲线C 交于R ，S 两点， D (0，－1)，且有|RD |＝|SD |，求m 的取值范围．20．如图，倾斜角为α的直线经过抛物线y 2＝8x 的焦点F ，且与抛物线交于A 、B 两点．（1）求抛物线焦点F 的坐标及准线l 的方程； （2）若α为锐角，作线段AB 的垂直平分线m 交x 轴于点P ，证明|FP |－|FP |cos2α为定值，并求此定值.21．已知中心在原点O ,焦点在x 轴上,离心率为32的椭圆过点(2,22). （1）求椭圆的方程;（2）设不过原点O 的直线与该椭圆交于P 、Q 两点,满足直线OP ,PQ ,OQ 的斜率依次成等比数列,求OPQ ∆面积的取值范围.xyOPQ18．解析：(1)∵|a |＋|b |＝22， ∴x 2＋y －12＋x 2＋y ＋12＝2 2.由椭圆的定义可知，动点P (x ，y )的轨迹是以点F 1(0，－1)，F 2(0,1)为焦点，以22为长轴的椭圆．∴点P (x ，y )的轨迹C 的方程为：x 2＋y 22＝1.(2)由条件知AB 和CD 是椭圆的两条弦，相交于焦点F (0,1)，且AB ⊥CD ，直线AB 、CD 中至少有一条存在斜率，不妨设AB 的斜率为k ，又AB 过点F (0,1)，故AB 的方程为y ＝kx ＋1，将此式代入椭圆方程得(2＋k 2)x 2＋2kx －1＝0，设A 、B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则x 1＝－k －2k 2＋22＋k 2，x 2＝－k ＋2k 2＋22＋k 2，从而|AB |2＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝81＋k 222＋k 22，亦即|AB |＝221＋k 22＋k 2.①当k ≠0时，CD 的斜率为－1k，同上可推得|CD |＝22⎝⎛⎭⎫1＋⎝⎛⎭⎫－1k 22＋⎝⎛⎭⎫－1k 2，故四边形ABCD 面积S ＝12|AB ||CD |＝12×81＋k 2⎝⎛⎭⎫1＋1k 22＋k 2⎝⎛⎭⎫2＋1k 2＝4⎝⎛⎭⎫2＋k 2＋1k 25＋2k 2＋2k 2.令u ＝k 2＋1k 2，得S ＝42＋u 5＋2u＝2⎝⎛⎭⎫1－15＋2u .∵u ＝k 2＋1k 2≥2，当k ＝±1时u ＝2，S ＝169，且S 是以u 为自变量的增函数，∴169≤S ＜2.②当k ＝0时，CD 为椭圆长轴，|CD |＝22，|AB |＝2，∴S ＝12|AB ||CD |＝2.故四边形ABCD 面积的最小值和最大值分别为169，2.19.解析：(1)由题意得|PM |＝|P A |，结合图形得||P A |－|PB ||＝|BM |＝23，∴点P 的轨迹是以A ，B 为焦点的双曲线，且2a ＝23，a ＝3，c ＝2，于是b ＝1，故P 点的轨迹C 的方程为x 23－y 2＝1.(2)当k ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧x 23－y 2＝1，y ＝kx ＋m ，得(1－3k 2)x 2－6kmx －3m 2－3＝0，(*)由直线与双曲线交于R ，S 两点，显然1－3k 2≠0，Δ＝(6km )2－4(1－3k 2)(－3m 2－3)＝12(m 2＋1－3k 2)＞0，设x 1，x 2为方程(*)的两根，则x 1＋x 2＝6km1－3k 2，设RS 的中点为M (x 0，y 0)，则 x 0＝3km 1－3k 2，y 0＝kx 0＋m ＝m1－3k 2， 故线段RS 的中垂线方程为y －m 1－3k 2＝⎝⎛⎭⎫－1k ⎝⎛⎭⎫x －3km 1－3k 2. 将D (0，－1)代入化简得4m ＝3k 2－1，故m ，k 满足⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋1－3k 2＞0，4m ＝3k 2－1. 消去k 2即得m 2－4m ＞0，即得m ＜0或m ＞4， 又4m ＝3k 2－1≥－1，且3k 2－1≠0， ∴m ≥－14，且m ≠0，∴m ∈⎣⎡⎭⎫－14，0∪(4，＋∞)． 20．解析：(1)由已知得2p ＝8，∴p2＝2，∴抛物线的焦点坐标为F (2,0)，准线方程为x ＝－2.(2)证明：设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，直线AB 的斜率为k ＝tan α，则直线方程为y ＝k (x －2)，将此式代入y 2＝8x ，得k 2x 2－4(k 2＋2)x ＋4k 2＝0， 故x A ＋x B ＝4k 2＋2k 2， 记直线m 与AB 的交点为E (x E ，y E )，则x E ＝x A ＋x B 2＝2k 2＋2k 2，y E ＝k (x E－2)＝4k， 故直线m 的方程为y －4k ＝－1k ⎝⎛⎭⎫x －2k 2＋4k 2，令y ＝0，得点P 的横坐标x P ＝2k 2＋4k 2＋4，故|FP |＝x P －2＝4k 2＋1k 2＝4sin 2α， ∴|FP |－|FP |cos2α＝4sin 2α(1－cos2α)＝4·2sin 2αsin 2α＝8，为定值.21．解:(1)由题意可设椭圆方程为22221x y a b+=(0)a b >>,则22322112c a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩, , 解的21a b =⎧⎨=⎩,所以,椭圆方程为2214x y +=(2)由题意可知,直线的斜率存在且不为0,故可设直线的方程为(0)y kx m m =+≠,1,12,2(),()P x y Q x y ,由2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y 得222(14)84(1)0k x kmx m +++-=, 则22222226416(14)(1)16(41)0k b k b b k m ∆=-+-=-+>,且122814km x x k -+=+,21224114m x x k -=+故2212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++.因为直线OP ,PQ ,OQ 的斜率依次成等比数列,所以,2221121222112()y y k x x km x x m k x x x x +++⋅==,即22228014k m m k-+=+, 又0m ≠,所以214k =,即12k =± 由于直线OP ,OQ 的斜率存在,且△>0,得202m <<且21m ≠. 设d 为点O 到直线的距离,则221211(2)22OPQ S d PQ m x x m m ∆=⋅=⋅-=- 所以OPQ S ∆的取值范围为(0,1)。