上海市2019届高三数学一轮复习典型题专项训练三角函数一、选择、填空题1、(2017上海高考)设1a 、2a ∈R ,且121122sin 2sin(2)αα+=++,则12|10|παα--的最小值等于2、(2016上海高考)方程3sin 1cos 2x x =+在区间[]π2,0上的解为___________3、(浦东新区2018高三二模)函数23()cos sin 22f x x x =+,x ∈R 的单调递增区间为 4、(宝山区2018高三上期末)函数y cos x 22(3)1π=-的最小正周期为 . 5、(崇明区2018高三上期末(一模))若函数y=2sin (ωx ﹣)+1(ω>0)的最小正周期是π,则ω= .6、(奉贤区2018高三上期末)已知tan 2θ=-,且⎪⎭⎫⎝⎛∈ππθ,2,则cos θ=________. 7、(虹口区2018高三二模)已知(0,)απ∈,3cos 5α=-,则tan()4πα+= . 8、(黄浦区2018高三二模)已知ABC ∆的三内角A B C 、、所对的边长分别为a b c 、、,若2222sin a b c bc A=+-,则内角A 的大小是 . 9、(静安区2018高三二模)方程3cos22x =-的解集为 10、(普陀区2018高三二模)在锐角三角形ABC 中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,若222()tan b c a A bc +-=,则角A 的大小为________.11、(青浦区2018高三二模)若1sin 3α=,则cos 2πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭_______________. 12、(青浦区2018高三上期末)函数()23sin cos cos f x x x x =+的最大值为 .13、(松江区2018高三上期末)已知角α的终边与单位圆221x y +=交于点01(,)2P y ,则cos 2α=▲ .14、(松江区2018高三上期末)函数sin 2y x =的图像与cos y x =的图像在区间[]0,2π上交点的个数是 ▲ .15、(杨浦区2018高三上期末)已知3cos 5θ=-,则sin()2πθ+=16、(长宁、嘉定区2018高三上期末)已知54sin =α,则=⎪⎭⎫ ⎝⎛+2cos πα__________. 17、(2016上海高考)已知ABC ∆的三边长分别为3,5,7,则该三角形的外接圆半径等于_________ 18、(静安区2018高三二模)函数()sin()f x A x ωϕ=+(0,0)A ω>>的部分 图像如图所示,则()3f π的值为( ) A.22 B. 32 C. 62D. 019、(虹口区2017届高三一模)设函数()sin cos f x x x =-,且()1f α=,则s i n 2α= .20、(黄浦区2017届高三上学期期终调研)已知π1sin()23α+=,π(,0)2α∈-,则tan α的值为 .二、解答题1、(2018上海高考)设常数a R ∈,函数f x ()22?asin x cos x =+ (1)若f x ()为偶函数,求a 的值; (2)若4f π〔〕31=+,求方程12f x =-()在区间ππ-[,]上的解。
2、(2017上海高考)已知函数221()cos sin 2f x x x =-+,(0,)x π∈. (1)求()f x 的单调递增区间;(2)设△ABC 为锐角三角形,角A 所对边19a =,角B 所对边5b =,若()0f A =,求△ABC 的面积.3、(浦东新区2018高三二模)在ABC ∆中,边a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对应的边.(1)若2(2)sin 0(2)sin 1sin (2)sin c a b A b a BC a b A-=-+-,求角C 的大小;c a b 2114111---=- (2)若4sin 5A =,23C π=,3c =,求ABC ∆的面积.4、(宝山区2018高三上期末)已知函数xf x sin 2()122=-. (1)求f x ()在322ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,上的单调递减区间; (2)设ΔABC 的内角A B C ,,所对应的边依次为a b c ,,,若且f C 1()2=,求ΔABC 面积的最大值,并指出此时ΔABC 为何种类型的三角形. 5、(崇明区2018高三上期末(一模))已知f (x )=2sinxcosx +2cos 2x ﹣1.(1)求f (x )的最大值及该函数取得最大值时x 的值; (2)在△ABC 中,a ,b ,c 分别是角 A ,B ,C 所对的边,若a=,b=,且f ()=,求边c 的值.6、(奉贤区2018高三上期末)如图,某公园有三条观光大道AC BC AB ,,围成直角三角形,其中直角边m BC 200=,斜边m AB 400=.(1)若甲乙都以每分钟m 100的速度从点B 出发,甲沿BA 运动,乙沿BC 运动, 乙比甲迟2分钟出发,求乙出发后的第1分钟末甲乙之间的距离;(2)现有甲、乙、丙三位小朋友分别在点F E D ,,.设θ=∠CEF ,乙丙之间的距离EF 是甲乙之间距离DE 的2倍,且3π=∠DEF ,请将甲乙之间的距离DE y =表示为θ的函数,并求甲乙之间的最小距离.7、(虹口区2018高三二模)已知ABC ∆中,角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ,cos sin z A i A =+⋅(i 是虚数单位)是方程210z z -+=的根,3a =.(1)若4B π=,求边长c 的值;(2)求ABC ∆面积的最大值.8、(普陀区2018高三二模) 已知函数2(=sin cos sin f x x x x -),R x ∈. (1)若函数()f x 在区间[,]16a π上递增,求实数a 的取值范围;(2)若函数()f x 的图像关于点11(,)Q x y 对称,且1[,]44x ππ∈-,求点Q 的坐标.9、(青浦区2018高三二模)已知向量(cos,1)2x m =-,2(3sin ,cos )22x xn =,设函数()1f x m n =⋅+.(1)若[0,]2x π∈,11()10f x =,求x 的值; (2)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别是c b a ,,且满足2cos 23,b A c a ≤-求()f B 的取值范围.10、(松江、闵行区2018高三二模)已知函数()3sin cos f x x x ωω=+,(1)当03f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭,且1ω<时,求ω的值; (2)在ABC △中,a b c 、、分别是角A B C 、、的对边,3a =,3b c +=, 当2ω=,()1f A =时,求bc 的值.11、(松江区2018高三上期末)在ABC ∆中,6,32AB AC ==,18AB AC ⋅=-. (1)求BC 边的长; (2)求ABC ∆的面积.12、(长宁、嘉定区2018高三上期末)一根长为L 的铁棒AB 欲通过如图所示的直角走廊,已知走廊的宽2==BD AC m .(1)设θ=∠BOD ,试将L 表示为θ的函数; (2)求L 的最小值,并说明此最小值的实际意义.13、(松江区2017届高三上学期期末质量监控)上海市松江区天马山上的“护珠塔”因其倾斜度超过意大利的比萨斜塔而号称“世界第一斜塔” .兴趣小组同学实施如下方案来测量塔的倾斜度和塔高:如图,记O 点为塔基、P 点为塔尖、点P 在地面上的射影为点H .在塔身OP 射影所在直线上选点A ,使仰角45HAP ︒∠=,过O 点与OA 成120︒的地面上选B 点,使仰角45HBP ︒∠=(点A 、B 、O 都在同一水平面上),此时测得27OAB ∠=,A 与B 之间距离为33.6米.试求: (1)塔高(即线段PH 的长,精确到0.1米);(2)塔身的倾斜度(即PO 与PH 的夹角,精确到0.1).14、(徐汇区2017届高三上学期学习能力诊断)已知函数23cos sin ()cos 1xxf x x-=. (1)当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,求()f x 的值域; (2)已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若()3,4,52Af a b c ==+=, 求ABC ∆的面积.15、(长宁、嘉定区2017届高三上学期期末质量调研)在△ABC 中,a ,b ,c 分别是角A ,B ,θO ACBDEθC 的对边,且72cos 22sin 82=-+A CB . (1)求角A 的大小; (2)若3=a ,3=+c b ,求b 和c 的值.参考答案:一、选择、填空题 1、【解析】111[,1]2sin 3α∈+,211[,1]2sin(2)3α∈+,∴121112sin 2sin(2)αα==++,即12sin sin(2)1αα==-,∴122k παπ=-+,24k παπ=-+,12min |10|4ππαα--=2、566ππ或 3、【解析】1()sin(2)62f x x π=++,∴单调递增区间为[,]36x k k ππππ∈-+,k ∈Z 4、135、26、55-7、17- 8、4π9、5{|,}12x x k k ππ=±∈Z 10、6π 11、1312、3213、-12 14、4 15、35-16、54-17、73318、C 19、0 20、22- 二、解答题1、2、【解析】(1)1()cos 22f x x =+,(0,)x π∈,单调递增区间为[,)2ππ (2)1cos223A A π=-⇒=,∴225191cos 2252c A c c +-==⇒=⋅⋅或3c =, 根据锐角三角形,cos 0B >,∴3c =,115sin 324S bc A ==3、【解析】(1)由题意,()()2sin 2sin 2sin c C a b A b a B =-+-;……………2分 由正弦定理得()()2222c a b a b a b =-+-,∴222c a b ab =+-,……………2分∴2221cos 22a b c C ab +-==,∴3C π=;……………2分 (2)由4sin 5A =,3c =,且sin sin a c A C =,∴85a =;…………2分由23a c A C π<⇒<=,∴3cos 5A =,…………2分∴()334sin sin sin cos cos sin 10B AC A C A C -=+=+=;…………2分∴11883sin 225ABC S ca B ∆-==…………2分4、解:(1)由题意可得f x cosx ()=,故f x ()在322ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,上的单调递减区间为2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,. (2)由已知可得a b 4+=,Q f C 1()2=,∴cosC 12=,又C (0)π∈,,∴C 3π=.故ΔABC S a b s i n C 12=a b 34=a b 23()42+≤⋅3=,当a b 2==时取等号,即ΔABC 面积的最大值为3,此时ΔABC 是边长为2的正三角形.5、解:f (x )=2sinxcosx +2cos 2x ﹣1=sin2x +cos2x=2sin (2x +)(1)当2x +=时,即x=(k ∈Z ),f (x )取得最大值为2;(2)由f ()=,即2sin (A +)=可得sin (A +)=∵0<A <π ∴<A<∴A =或∴A=或当A=时,cosA==∵a=,b=,解得:c=4 当A=时,cosA==0∵a=,b=,解得:c=2.6、(1)可用余弦定理求得3B π∠=2分300,100D E BD BE ==设甲在处,乙在处, 2分2222cos 7007DE BD BE BDBE B DE =+-=所以=100 3分(2),3DEB B BDE πθ∠=∠=三角形中, 1分2002cos BE BC CE y θ=-=- 1分1003,[0,]sin sin 2sin 3cos DE BE y B DEB πθθθ==∈∠∠+由得 1分 (式子出来3分)1003,[0,]22sin 3y πθπθ=∈⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 1分5036y πθ=时,取最小值 2分答:5036y πθ=时,取最小值 1分7、解:(1)210z z -+=的两个根为1322z i =±.…………2分1cos 2A ∴=,3sin 2A = ,3A π= .…………4分 ∴ 562sin sin124C π+==,sin sin c a C A = ,得3262c +=……………7分 (2)2222cos a b c bc A =+-.∴2292b c bc bc bc bc =+-≥-=,从而9bc ≤,等号当b c =时成立,此时max 193sin 24S bc A ==.∴ABC ∆的面积的最大值等于934.……………14分 8、(1)21cos 21(=sin cos sin sin 222x f x x x x x --=+),…………………………2分 21sin(2)242x π=+-,…………………………4分 当16x π=时,则322416482x πππππ+=⨯+=<, 又函数()f x 在[,]16a π上递增,则242a ππ+≥-,即38a π≥-,………………………7分 则实数a 的取值范围为3[,)816a ππ∈-. …………………………………………………8分 (2)若函数()f x 的图像关于点11(,)Q x y 对称,则1sin(2)04x π+=, ………………2分即124x k ππ+=(Z k ∈),则128k x ππ=-[,]44ππ∈-,………………………………4分由Z k ∈得0k =,则点Q 的坐标为1(,)82π--. …………………………………………6分 9、解:(1)231cos ()3sincos cos 1sin 122222x x x xf x x +=-+=-+ 3111s i n c o s s i n ()22262x x x π=-+=-+ ∵113() sin(); [0,]10652f x x x ππ=∴-=∈又∴33arcsin arcsin 6565x x ππ-=⇒=+(2)由A C A B a c A b sin 3sin 2cos sin 232cos 2-≤-≤得2sin cos 2sin()3sin B A A B A ⇒≤+-2sin cos 2[sin cos cos sin )3sin B A A B A B A ⇒≤+-32sin cos 3sin cos (0,]26A B A B B π⇒≥⇒≥⇒∈ ∴111sin()(,0],()sin()()(0,]62622B f B B f B ππ-∈-=-+⇒∈即 10、(1)()3sin cos =2sin 6f x x x x ωωωπ⎛⎫=++⎪⎝⎭由已知,得2sin 036ωππ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭, ………………2分 所以36k ωππ-=π-()k ∈Z , ………………4分即132k ω=-+,又1ω<,所以12ω=. ………………6分(2)因为2ω=,所以()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭, 又因为()1f A =,所以1sin 262A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭ ………………8分 而22666A πππ<+<π+,故266A π5π+=,所以3A π= ………………10分 由余弦定理得2221cos 22b c a A bc+-==,即223b c bc +-=,…………12分又3b c +=,解得2bc =. ………………14分11、 解:(1)由cos 18AB AC AB AC A ⋅=⋅⋅=-,且6,32AB AC ==, ………2分222226(32)2(18)310BC AB AC AB AC cosA =+-⋅⋅=+-⋅-=………6分(2)在ABC ∆中,6,32AB AC ==,310BC =,2222226(32)(310)2cos 222632AB AC BC A AB AC +-+-===-⋅⋅⋅⋅ ………10分 22sin 1cos 2A A =-=, ……… ……… ……… ………12分所以112sin 6329222ABC S AB AC A ∆=⋅⋅=⋅⋅⋅=……… ……… ………14分12、(1)θcos 2=AO , θsin 2=BO . ………………………………(2分) θθθθθθcos sin )cos (sin 2sin 2cos 2+=+=+=BO AO L ,⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,0πθ. …………(6分) (2)设⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=4sin 2cos sin πθθθx ,⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,0πθ,则]2,1(∈x ,……(2分) 所以,21cos sin 2-=x θθ,此时14)(2-=x x x L . ………………………………(4分) 任取1x 、]2,1(2∈x ,且21x x <,)1)(1()1(41414)()(2221212122221121--+=---=-x x x x x x x x x x x L x L , 因为1x 、]2,1(2∈x ,且21x x <,所以0)1)(1(2221>--x x ,0)1(42121>+x x x x , 故0)()(21>-x L x L ,即)(x L 在]2,1(∈x 时是减函数,所以24min =L .……(7分) L 最小值的实际意义是:在拐弯时,铁棒的长度不能超过24m ,否则,铁棒无法通过.也就说,能够通过这个直角走廊的铁棒的最大长度为24m . …………………………(8分)13、 解:(1)设塔高,PH x =由题意知,45,45HAP HBP ∠=∠=,所以,PAH PBH ∆∆均为等腰直角三角形∴AH BH x == ……………2分在AHB ∆中,AH BH x == ,27HAB ∠= ,36.6AB = ∴16.8218.86cos cos 27ABx HAB ===∠︒……………6分 (2)在BOH ∆中,120BOH ∠= , 180120227O B H ∠=︒--⨯︒=︒,18.86BH = , 由sin sin OH BH OBH BOH=∠∠ , 得18.86sin 6 2.28sin120OH ⨯︒==︒……………10分 ∴ 2.28arctan arctan 6.8918.86OH OPH PH ∠===︒ ……………13分所以塔高18.9米,塔的倾斜度为 6.9。