常微分方程重点
第一章 初等积分法
1、什么是微分方程：联系自变量，未知函数以及它们导数的关系式。

2、微分方程的分类''(,)f x y ⎧=⎪⎨⎪⎩显式方程：y 隐式方程：F(x,y,y ）=0。

3、解的分类1212,,...(,,,...)n n n n C C y x C C ϕ⎧⎪=⎨⎪⎩
通解：阶常微分方程的含有个任意常数C 的解使C 。

特解：给通解中的任意常数以定值所得到的解。

4、初值问题：00
(,)()dy f x y dx y x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩(也叫柯西问题)
例1：求下列方程满足所给初始条件的解：
2'2(1)20(0)1
x y xy y ⎧-+=⎨=⎩
5、变量可分离方程：()*(),()()()()0
dy f x y dx M x N y dx P x Q y dy ϕ⎧=⎪⎨⎪+=⎩或
例2：求解方程
(1)dy dx = (2)22(1)(1)0x y dx y x dy -+-= 6、齐次方程：()dy y f dx x
= (类似于11111****()()****dy a x b y c d a b f f dx a x b y c d a b ηξηξξη+++=⇒=+++) （变量代换）
例3：求解1-3
dy x y dx x y -+=+ 7、一阶线性微分方程：()*()dy p x y q x dx
=+（采用常数变易法） ()()()()0, y=c*e ()0, y=(()*)*e p x dx p x dx p x dx q x q x q x e c -⎧⎰=⎪⎨⎰⎰⎪≠+⎩
⎰ 定积分形式：000()()0(()*)s s x x p d p s ds x x y q s e ds y e ττ-⎰⎰=+⎰
例4：21*2(2)2(0)2
dy y x dx x x ⎧=+-⎪-⎨⎪=⎩
例5：（证明题）设函数f(t)在[0,]+∞上连续且有界，试证明：方程
()dx x f t dt
+=的所 有解解在[0,]+∞上有界。

8、全微分方程：(,)(,)0M x y dx N x y dy += 0000000(,)(,)0()()x y,(,)(,)0,()0(,)(,)0-=(),-=g(),x y x y x y x y x y x y f x dx g y dx M x y dx N x y dy M N Mdx Ndy y x y x M x y dx N x y dy M N y x x f x M N N M N y x y x y M ⎧+=∂∂⎪=+=⎨∂∂⎪+=⎩∂∂⎧⎪∂∂⎰⎪∂∂⎪≠⎨∂∂∂∂⎪∂∂⎰⎩⎰⎰⎰⎰⎰先后先后，与有关，得积分因子u(x)=e 与y 有关，-得积分因子v(y)=e ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
例6：求解方程3
2
22(2)()03y xy x y dx x y dy ++++= 9、一阶隐式微分方程：'''''()(),(,)0()()()()(),(,)0()()()x t x t y F x y y t t dt c y t y t y t x F y y t x dt c y t t ϕϕψϕψϕϕϕψψ⎧=⎧=⎧⎪⎪=⇒⇒⎨⎨=+=⎪⎩⎪⎩⎪⎨=⎧=⎧⎪⎪=⇒⇒⎨⎨⎪=+=⎩⎪⎪⎩⎩
⎰⎰不显含不显含 (参数表示法)
克莱罗方程：''()y xy y ϕ=+
通解：()y cx c ϕ=+
特解：'(),0()y cx c c x c ϕϕ=+⎧⎨=+⎩
消去得特解（基解） 例7：求解下列方程（1）''2y xy y =+
(2)'y = （3
第二章 基本定理
1、奇解与包络线
,c
c ϕϕ⎧⎨⎩（x,y,c ）=0消去得特解（x,y,c ）=0(类似于 克莱罗方程) 例8：求233dy y dx
=的奇解 第三章 一阶线性微分方程组
1、1112221212(,,,...,)(,,,...,)......(,,,...,)n n n n n dy f x y y y dx dy f x y y y dx dy f x y y y dx
⎧=⎪⎪⎪=⎪⎨⎪⎪⎪=⎪⎩ ⇒ 00(,)()dy F x Y dx Y x Y ⎧=⎪⎨⎪=⎩(其中12n y y Y y ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦M ) 2、一阶线性微分方程：()()dY A x Y F x dx
=+ 其中11121112 ()() ,() ()n n n nn n a a a f x A x F x a a a f x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
K M M M M K
3、线性相关，线性无关
线性相关：121122,,...,()()...()0n n n C C C C Y x C Y x C Y x ⎧⎪+++=⎨⎪⎩
（1）存在不全为零的常数使（2）W(x)=0
其中1111()...()() ()...()n n nn y x y x W x y x y x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
M M
线性无关：存在一点0x 使0W
≠（x ）0 4、齐次线性方程必存在基本解组（恰好为n 个线性无关的解向量）
²²11
(),...,(),(),...,()n n Y x Y x Y x Y x ⎧⎪⎨⎪⎩等价 5、常系数线性微分方程（二元） ()dY AY F x dx
=+ 解题方法： 0A E T λλλ-=⇒得，求的特征向量
单根：
得解为121122()...()n x x x n n x t C e T C e T C e T y t λλλ⎡⎤=+++⎢⎥⎣⎦
重根：011200j j j k j R R λλλ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩
（A-E ）R （A-E ）R （A-E ）R
例9、求解方程组123
213312dy y y dx dy y y dx
dy y y dx ⎧=+⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=+⎪⎩
第四章 n 阶线性微分方程
1、()(1)'11()(1)'11()...()(),()...()0,n n n n n n n n y a x y a x y a y f x y a x y
a x y a y ----⎧++++=⎪⎨++++=⎪⎩非齐次齐次 郎斯基行列式：12'''12(1)(1)(1)12() () .... ()
() () .... ()
() () () ....()
n n n n n n x x x x x x W x x x x ϕϕϕϕϕϕϕϕϕ---=M M M
刘维尔公式：0()0()()x x p t dtt W x W x e -⎰=
例10：（证明题）对于二阶线性非其次方程'''()()0y p x y q x y ++=,已知有一个非零特 解1y ,试证明它的通解为()*1121
1p x dx y C y Cy e dx y -⎰=+⎰
2、（1）()()x m f x P x e α= α不是特征根，²()x m Y Q x e α=（x ）
α是k 重根，²()k x m Y x Q x e α=（x ）
(2)二次：'''x y py qy e α++=
α不是特征根,²()x Y
x Ae α= α是k 重根,²()k x Y
x Ax e α=
例11：求方程'''2566102y y y x x -+=-+的通解（建议把165P 页的例1，例2，例3， 例4都做一下）
3、特解的假设形式（选择题）
(1)(2)()[()cos ()sin ]x m m f x e P x x P x x αββ=+
(1)(2)1(1)(2)1[cos sin ][cos sin ]
x m m k x m m i y e Q x Q x i y x e Q x Q x αααβββαβββ⎧±=+⎪⎨±=+⎪⎩不是特根，是k 重根，
考试类型：填空题5个，选择题5个，计算题
6个（第一章4个，第三章1个，第四章1个）
祝大家考试顺利。