高等数学简明二阶微分方程讲义
作者：齐睿添
————微分方程的理论帮助了很多工程学,物理学中实际
问题的解决
讨论0. 欧拉公式
欧拉公式在二阶线性齐次常系数方程通解的推导和其非齐次方程的自由项为三角函数时的求解过程中有重要的应用.
讨论1. 二阶常系数线性齐次微分方程
实际问题1.
如图，在水平光滑平面上有一物体在弹簧和阻尼器的牵拉下往复运动.阻力f的大小与物体运动速率成正比，阻力f的方向与速度方向相反（f=-cv）.
物体的位置随时间如何变化？
设位置函数x=x(t)
已知: F弹=-kx,f=-cv
故由牛顿第二定律: 合力=-kx-cv=ma
即a+(c/m)v+(k/m)x=0
得到微分方程：
记
得到形如下式的方程（*）
这便是一个二阶常系数线性齐次微分方程. 其通解如下表所示:
特征方程
(上表的具体推导与证明详见教材P174-177)
可以发现其通解形式是符合物块运动的直观直觉的.
1）如果阻力很大，弹簧弹性弱，那么物块晃动两下很快就会停止. 这种情况下,列出方程的通解应是表中第一条或者第二条.
例如:取m=1kg, k=3, c=4, 一开始物块位置在+0.5m处, 给予它一个初速度-5 m/s.
我们依照数学习惯将时间(自变量)记为x, 将位置(因变量）记为y. 那么方程为: .
特征方程为，有两个不相等实根
通解为
把初值条件带入
求得
故该例的解为
图像
2)如果阻力很小,弹簧的弹性很强,那么物块将反复往返震荡,幅度随时间越来越小.这种情况下方程通解应是上表第三条.
例如: 取m=1kg,c=3,k=4,一开始物块位置在+0.5m处, 给予它一个初速度-5 m/s.
即为
带入初值条件
C_1=1/2, C_2=-17根号7/14
图像为
讨论2. 更高阶的常系数线性齐次微分方程
（上图出自教材P178）
问题1.
求解
（该问题出自教材P181练习）
问题2.
求解
实系数代数方程的虚根成对（共轭复数根）出现，上面的因式分解说明特征方程有一对2重复根.
通解为
讨论3. 高阶线性微分方程通解的结构
1.二阶微分方程的通解包含2个任意常数C,n阶微分方程的通解包含n个任意常数C.
2.线性相关则是指方程的几个解之间是否满足线性关系,即
ay1+by2+...=0当系数a,b...不全为零时等式可以成立,就称这些解为线性相关.必须全为零时才满足则称为线性无关.对于二阶方程而言，y1/y2或者y2/y1为零就是线性相关；y1/y2或者y2/y1是不为零的某一函数就是线性无关.
3.对于n阶线性齐次方程，如果能够找到n个线性无关的特解，那么
方程通解就是C_1y_1(x)+C_2y_2(x)+...+C_ny_n(x)
4.对于n阶线性非齐次方程，如果能找到它的一个特解y*(x) ，且能够找到其对应的齐次方程的通解Y(x),那么原方程通解就是
Y(x)+y*(x).
5.y1,y2是二阶线性非齐次方程的两个不同的解,那么y1-y2就是其对应二阶线性齐次方程的一个解.
(上述定理的具体证明详见教材P162-166)
线性微分方程的通解结构与其微分算子的线性性有很大关系,有兴趣的同学可以参考《常微分方程（第三版）》（王高雄，朱思铭等著）和其配套的《学习辅导》.
讨论4. 常数变易法解二阶线性微分方程
具体推导公式详见教材P168-171
讨论5. 比较系数法解二阶线性常系数非齐次微分方程根据讨论3的第4条.
对于n阶线性非齐次方程，如果能找到它的一个特解y*(x) ，且能够找到其对应的齐次方程的通解Y(x),那么原方程通解就是
Y(x)+y*(x).
实际问题1.
问题2.
问题3.
问题4.
问题5.
对于二阶线性常系数非齐次微分方程的求解，算子法和拉普拉斯变换法有时也是一种清晰简明的方法，但教材中并未提及，有兴趣的同学可以参考《常微分方程（第三版）》（王高雄，朱思铭等著）和其配套的《学习辅导》.
讨论6. 欧拉方程
讨论7. 可降阶的二阶微分方程问题1.
缺y型
问题2.
缺x型。