函数与导数1．求函数的定义域，关键是依据含自变量x 的代数式有意义来列出相应的不等式(组)求解，如开偶次方根、被开方数一定是非负数；对数式中的真数是正数；列不等式时，应列出所有的不等式，不应遗漏．对抽象函数，只要对应关系相同，括号里整体的取值范围就完全相同．[问题1] 函数y 的定义域是________． 答案 ⎝⎛⎦⎤0，14 2．用换元法求解析式时，要注意新元的取值范围，即函数的定义域问题． [问题2] 已知f (cos x )＝sin 2x ，则f (x )＝________. 答案 1－x 2(x ∈[－1,1])3．分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用不同的式子来表示对应关系的函数，它是一个函数，而不是几个函数．[问题3] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x <0，ln x ，x >0，则f ⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫1e ＝________. 答案 1e4．判断函数的奇偶性，要注意定义域必须关于原点对称，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响．[问题4] f (x )＝lg (1－x 2)|x －2|－2是________函数(填“奇”“偶”或“非奇非偶”)．答案 奇解析 由⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>0，|x －2|－2≠0得定义域为(－1,0)∪(0,1)，f (x )＝lg (1－x 2)－(x －2)－2＝lg (1－x 2)－x .∴f (－x )＝－f (x )，f (x )为奇函数． 5．弄清函数奇偶性的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反． (2)若f (x )为偶函数，则f (－x )＝f (x )＝f (|x |)． (3)若奇函数f (x )的定义域中含有0，则必有f (0)＝0.故“f (0)＝0”是“f (x )为奇函数”的既不充分也不必要条件．[问题5] 设f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫21－x ＋a 是奇函数，且在x ＝0处有意义，则该函数为( )A ．(－∞，＋∞)上的减函数B ．(－∞，＋∞)上的增函数C ．(－1,1)上的减函数D ．(－1,1)上的增函数 答案 D解析 由题意可知f (0)＝0，即lg(2＋a )＝0， 解得a ＝－1，故f (x )＝lg 1＋x1－x ，函数f (x )的定义域是(－1,1)，在此定义域内f (x )＝lg 1＋x1－x＝lg(1＋x )－lg(1－x )，函数y 1＝lg(1＋x )是增函数，函数y 2＝lg(1－x )是减函数，故f (x )＝y 1－y 2是增函数．选D. 6．求函数单调区间时，多个单调区间之间不能用符号“∪”和“或”连接，可用“及”连接，或用“，”隔开．单调区间必须是“区间”，而不能用集合或不等式代替． [问题6] 函数f (x )＝1x 的减区间为________．答案 (－∞，0)，(0，＋∞) 7．求函数最值(值域)常用的方法：(1)单调性法：适合于已知或能判断单调性的函数．(2)图象法：适合于已知或易作出图象的函数． (3)基本不等式法：特别适合于分式结构或两元的函数． (4)导数法：适合于可导函数． (5)换元法(特别注意新元的范围)． (6)分离常数法：适合于一次分式．(7)有界函数法：适用于含有指数函数、对数函数或正、余弦函数的式子．无论用什么方法求最值，都要考查“等号”是否成立，特别是基本不等式法，并且要优先考虑定义域． [问题7] 函数y ＝2x2x ＋1(x ≥0)的值域为________．答案 ⎣⎡⎭⎫12，1解析 方法一 ∵x ≥0，∴2x ≥1，∴y 1－y ≥1，解得12≤y <1.∴其值域为y ∈⎣⎡⎭⎫12，1. 方法二 y ＝1－12x ＋1，∵x ≥0，∴0<12x ＋1≤12， ∴y ∈⎣⎡⎭⎫12，1.8．函数图象的几种常见变换(1)平移变换：左右平移——“左加右减”(注意是针对x 而言)；上下平移——“上加下减”． (2)翻折变换：f (x )→|f (x )|；f (x )→f (|x |)．(3)对称变换：①证明函数图象的对称性，即证图象上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在图象上；②函数y ＝f (x )与y ＝－f (－x )的图象关于原点成中心对称；③函数y ＝f (x )与y ＝f (－x )的图象关于直线x ＝0 (y 轴)对称；函数y ＝f (x )与函数y ＝－f (x )的图象关于直线y ＝0(x 轴)对称．[问题8] 函数y ＝|log 2|x －1||的递增区间是________． 答案 [0,1)，[2，＋∞)解析 ∵y ＝⎩⎪⎨⎪⎧|log 2(x －1)|(x >1)，|log 2(1－x )|(x <1)，作图可知正确答案为[0,1)，[2，＋∞)．9．有关函数周期的几种情况必须熟记：(1)f (x )＝f (x ＋a )(a >0)，则f (x )的周期T ＝a ；(2)f (x ＋a )＝1f (x )(f (x )≠0)或f (x ＋a )＝－f (x )，则f (x )的周期T ＝2a . [问题9] 对于函数f (x )定义域内任意的x ，都有f (x ＋2)＝－1f (x )，若当2<x <3时，f (x )＝x ，则f (2 012.5)＝________. 答案 －2510．二次函数问题(1)处理二次函数的问题勿忘数形结合．二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“两看法”：一看开口方向，二看对称轴与所给区间的相对位置关系． (2)二次函数解析式的三种形式： ①一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)； ②顶点式：f (x )＝a (x －h )2＋k (a ≠0)； ③零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)．(3)一元二次方程实根分布：先观察二次系数，Δ与0的关系，对称轴与区间关系及有穷区间端点函数值符号，再根据上述特征画出草图．尤其注意若原题中没有指出是“二次”方程、函数或不等式，要考虑到二次项系数可能为零的情形．[问题10] 若关于x 的方程ax 2－x ＋1＝0至少有一个正根，则a 的范围为________． 答案 ⎝⎛⎦⎤－∞，14 11．(1)对数运算性质已知a >0且a ≠1，b >0且b ≠1，M >0，N >0. 则log a (MN )＝log a M ＋log a N ， log a MN ＝log a M －log a N ，log a M n ＝n log a M ，对数换底公式：log a N ＝log b Nlog b a .推论：log am N n ＝n m log a N ；log a b ＝1log b a .(2)指数函数与对数函数的图象与性质可从定义域、值域、单调性、函数值的变化情况考虑，特别注意底数的取值对有关性质的影响，另外，指数函数y ＝a x 的图象恒过定点(0,1)，对数函数y ＝log a x 的图象恒过定点(1,0)． [问题11] 函数y ＝log a |x |的增区间为_________________． 答案 当a >1时，(0，＋∞)；当0<a <1时，(－∞，0) 12．幂函数形如y ＝x α(α∈R )的函数为幂函数． (1)①若α＝1，则y ＝x ，图象是直线．②当α＝0时，y ＝x 0＝1(x ≠0)图象是除点(0,1)外的直线．③当0<α<1时，图象过(0,0)与(1,1)两点，在第一象限内是上凸的． ④当α>1时，在第一象限内，图象是下凸的．(2)增减性：①当α>0时，在区间(0，＋∞)上，函数y ＝x α是增函数，②当α<0时，在区间(0，＋∞)上，函数y ＝x α是减函数．[问题12] 函数f (x )＝12x －⎝⎛⎭⎫12x的零点个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 B 13．函数与方程(1)对于函数y ＝f (x )，使f (x )＝0的实数x 叫做函数y ＝f (x )的零点．事实上，函数y ＝f (x )的零点就是方程f (x )＝0的实数根．(2)如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是一条连续曲线，且有f (a )f (b )<0，那么函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]内有零点，即存在c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0，此时这个c 就是方程f (x )＝0的根．反之不成立．[问题13] 已知定义在R 上的函数f (x )＝(x 2－3x ＋2)·g (x )＋3x －4，其中函数y ＝g (x )的图象是一条连续曲线，则方程f (x )＝0在下面哪个范围内必有实数根( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4) 答案 B解析 f (x )＝(x －2)(x －1)g (x )＋3x －4，∴f (1)＝0＋3×1－4＝－1<0，f (2)＝2×3－4＝2>0. 又函数y ＝g (x )的图象是一条连续曲线， ∴函数f (x )在区间(1,2)内有零点． 因此方程f (x )＝0在(1,2)内必有实数根． 14．求导数的方法①基本导数公式：c ′＝0 (c 为常数)；(x m )′＝mx m －1 (m ∈Q )；(sin x )′＝cos x ；(cos x )′＝－sin x ；(e x )′＝e x ；(a x )′＝a x ln a ；(ln x )′＝1x ；(log a x )′＝1x ln a (a >0且a ≠1)．②导数的四则运算：(u ±v )′＝u ′±v ′； (u v )′＝u ′v ＋u v ′；⎝⎛⎭⎫u v ′＝u ′v －u v ′v 2(v ≠0)．③复合函数的导数：y x ′＝y u ′·u x ′. 如求f (ax ＋b )的导数，令u ＝ax ＋b ，则 (f (ax ＋b ))′＝f ′(u )·a .[问题14] f (x )＝e xx ，则f ′(x )＝________.答案 e x (x －1)x 215．利用导数判断函数的单调性：设函数y ＝f (x )在某个区间内可导，如果f ′(x )>0，那么f (x )在该区间内为增函数；如果f ′(x )<0，那么f (x )在该区间内为减函数；如果在某个区间内恒有f ′(x )＝0，那么f (x )在该区间内为常函数．注意：如果已知f (x )为减函数求字母取值范围，那么不等式f ′(x )≤0恒成立，但要验证f ′(x )是否恒等于0.增函数亦如此．[问题15] 函数f (x )＝ax 3－x 2＋x －5在R 上是增函数，则a 的取值范围是________． 答案 a ≥13解析 f (x )＝ax 3－x 2＋x －5的导数f ′(x ) ＝3ax 2－2x ＋1.由f ′(x )≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝4－12a ≤0，解得a ≥13.a ＝13时，f ′(x )＝(x －1)2≥0，且只有x ＝1时，f ′(x )＝0， ∴a ＝13符合题意．16．导数为零的点并不一定是极值点，例如：函数f (x )＝x 3，有f ′(0)＝0，但x ＝0不是极值点．[问题16] 函数f (x )＝14x 4－13x 3的极值点是________．答案 x ＝1 17．定积分运用微积分基本定理求定积分ʃb a f (x )d x 值的关键是用求导公式逆向求出f (x )的原函数，应熟练掌握以下几个公式：ʃb a x nd x ＝x n ＋1n ＋1|ba， ʃb a sin x d x ＝－cos x |ba ， ʃb a cos x d x ＝sin x |b a ，ʃb a 1xd x ＝ln x |b a (b >a >0)， ʃb a a x d x ＝a x ln a |ba. [问题17] 计算定积分ʃ1－1(x 2＋sin x )d x ＝________.答案 23解析ʃ1－1(x 2＋sin x )d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫x 33－cos x 1－1＝23.易错点1 函数概念不清致误例1已知函数f(x2－3)＝lg x2x2－4，求f(x)的定义域．错解由x2x2－4>0，得x>2或x<－2.∴函数f(x)的定义域为{x|x>2或x<－2}．找准失分点错把lg x 2x 2－4的定义域当成了f (x )的定义域．正解 由f (x 2－3)＝lgx 2x 2－4， 设x 2－3＝t ，则x 2＝t ＋3， 因此f (t )＝lg t ＋3t －1.∵x 2x 2－4>0，即x 2>4，∴t ＋3>4，即t >1. ∴f (x )的定义域为{x |x >1}．易错点2 忽视函数的定义域致误例2判断函数f(x)＝(1＋x) 1－x1＋x的奇偶性．错解因为f(x)＝(1＋x) 1－x1＋x＝1－x1＋x(1＋x)2＝1－x2，所以f(－x)＝1－(－x)2＝1－x2＝f(x)，所以f(x)＝(1＋x) 1－x1＋x是偶函数．找准失分点对函数奇偶性定义理解不够全面，事实上对定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，或f(－x)＝－f(x)．正解f(x)＝(1＋x) 1－x1＋x有意义时必须满足1－x1＋x≥0⇒－1<x≤1，即函数的定义域是{x|－1<x≤1}，由于定义域不关于原点对称，所以该函数既不是奇函数也不是偶函数．易错点3混淆“切点”致误例3求过曲线y＝x3－2x上的点(1，－1)的切线方程．错解∵y′＝3x2－2，∴k＝y′|x＝1＝3×12－2＝1，∴切线方程为y＋1＝x－1，即x－y－2＝0.找准失分点错把(1，－1)当切点．正解 设P (x 0，y 0)为切点，则切线的斜率为 y ′|0x x ＝3x 20－2.∴切线方程为y －y 0＝(3x 20－2)(x －x 0)， 即y －(x 30－2x 0)＝(3x 20－2)(x －x 0)．又知切线过点(1，－1)，把它代入上述方程，得－1－(x 30－2x 0)＝(3x 20－2)(1－x 0)，整理，得(x 0－1)2(2x 0＋1)＝0， 解得x 0＝1，或x 0＝－12.故所求切线方程为y －(1－2)＝(3－2)(x －1)， 或y －(－18＋1)＝(34－2)(x ＋12)，即x －y －2＝0，或5x ＋4y －1＝0.易错点4 极值的概念不清致误例4已知f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值为10，则a＋b＝________.错解－7或0找准失分点x＝1是f(x)的极值点⇒f′(1)＝0；忽视了“f ′(1)＝0x ＝1是f (x )的极值点”的情况．正解 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，由x ＝1时，函数取得极值10，得⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝0， ①f (1)＝1＋a ＋b ＋a 2＝10， ②联立①②得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝－11，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3.当a ＝4，b ＝－11时，f ′(x )＝3x 2＋8x －11＝(3x ＋11)(x －1) 在x ＝1两侧的符号相反，符合题意． 当a ＝－3，b ＝3时，f ′(x )＝3(x －1)2在x ＝1两侧的符号相同， 所以a ＝－3，b ＝3不符合题意，舍去． 综上可知a ＝4，b ＝－11，∴a ＋b ＝－7. 答案 －7易错点5 错误利用定积分求面积例5求曲线y＝sin x与x轴在区间[0,2π]上所围部分的面积S.错解分两部分，在[0，π]上有ʃπ0sin x d x＝2，在[π，2π]上有ʃ2ππsin x d x＝－2，因此所求面积S为2＋(－2)＝0.找准失分点面积应为各部分的绝对值的代数和，也就是第二部分的积分不是阴影部分的面积，而是面积的相反数．所以，不应该将两部分直接相加．ʃ2ππsin x d x＝2＋2＝4.正解S＝ʃπ0sin x d x＋||答案 41．(2014·北京)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( )A ．y ＝x ＋1B ．y ＝(x －1)2C ．y ＝2－xD ．y ＝log 0.5(x ＋1) 答案 A解析 A 项，函数y ＝x ＋1在[－1，＋∞)上为增函数，所以函数在(0，＋∞)上为增函数，故正确；B 项，函数y ＝(x －1)2在(－∞，1)上为减函数，在[1，＋∞)上为增函数，故错误；C 项，函数y ＝2－x ＝(12)x 在R 上为减函数，故错误；D 项，函数y ＝log 0.5(x ＋1)在(－1，＋∞)上为减函数，故错误．2．(2014·山东)函数f (x )＝1(log 2x )2－1的定义域为( ) A.⎝⎛⎭⎫0，12 B ．(2，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫0，12∪(2，＋∞) D.⎝⎛⎦⎤0，12∪[2，＋∞) 答案 C 解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ x >0，(log 2x )2>1，解得x >2或0<x <12.故选C. 3．下列各式中错误的是( )A ．0.83>0.73B ．log 0.50.4>log 0.50.6C ．0.75－0.1<0.750.1D ．lg 1.6>lg 1.4答案 C解析 构造相应函数，再利用函数的性质解决，对于A ，构造幂函数y ＝x 3，为增函数，故A 对；对于B 、D ，构造对数函数y ＝log 0.5x 为减函数，y ＝lg x 为增函数，B 、D 都正确；对于C ，构造指数函数y ＝0.75x ，为减函数，故C 错．4．函数f (x )＝－1x＋log 2x 的一个零点落在下列哪个区间( ) A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)答案 B解析 根据函数的零点的存在性定理得f (1)f (2)<0.5．(2014·天津)函数f (x )＝log 12(x 2－4)的单调递增区间是( ) A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，－2)答案 D解析 因为y ＝log 12t 在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数t ＝x 2－4的单调递减区间，结合函数的定义域，可知所求区间为(－∞，－2)．6．(2014·福建)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x >0，cos x ，x ≤0，则下列结论正确的是( ) A ．f (x )是偶函数B ．f (x )是增函数C ．f (x )是周期函数D ．f (x )的值域为[－1，＋∞)答案 D 解析 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x >0，cos x ，x ≤0的图象如图所示，由图象知只有D 正确．7.已知函数f (x )的定义域为R ，其导函数f ′(x )的图象如图所示，则对于任意x 1，x 2∈R (x 1≠x 2)，下列结论正确的是( )①f (x )<0恒成立；②(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0；③(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]>0；④f (x 1＋x 22)>f (x 1)＋f (x 2)2； ⑤f (x 1＋x 22)<f (x 1)＋f (x 2)2. A ．①③B ．①③④C ．②④D ．②⑤答案 D解析 由函数f (x )的导函数的图象可得，函数f (x )是减函数，且随着自变量的增大，导函数越来越大，即函数f (x )图象上的点向右运动时，该点的切线的斜率为负，且值越来越大，由此可作出函数f (x )的草图如图所示，由图示可得f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0且f (x 1＋x 22)<f (x 1)＋f (x 2)2，由此可得结论中仅②⑤正确，故应选D.8．若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f (2)＝0，则使得f (x )<0的x 的取值范围是________．答案 (－2,2)解析 因为f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )＝f (|x |)．因为f (x )<0，f (2)＝0.所以f (|x |)<f (2)．又因为f (x )在(－∞，0]上是减函数，所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数，所以|x |<2，所以－2<x <2.9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x (x >0)，3x (x ≤0)且关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是________．答案 (1，＋∞)解析 方程f (x )＋x －a ＝0的实根也就是函数y ＝f (x )与y ＝a －x 的图象交点的横坐标，如图所示，作出两个函数图象，显然当a ≤1时，两个函数图象有两个交点，当a >1时，两个函数图象的交点只有一个．所以实数a 的取值范围是(1，＋∞)．10．(2014·江苏)已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值范围是________．答案 (－22，0) 解析 作出二次函数f (x )的图象，对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0，则有⎩⎪⎨⎪⎧ f (m )<0，f (m ＋1)<0， 即⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m 2－1<0，(m ＋1)2＋m (m ＋1)－1<0，解得－22<m <0. 11．f (x )＝x (x －c )2在x ＝2处有极大值，则常数c 的值为________．答案 6解析 f (x )＝x 3－2cx 2＋c 2x ，f ′(x )＝3x 2－4cx ＋c 2，f ′(2)＝0⇒c ＝2或c ＝6.若c ＝2，f ′(x )＝3x 2－8x ＋4，令f ′(x )>0⇒x <23或x >2，f ′(x )<0⇒23<x <2， 故函数在(－∞，23)及(2，＋∞)上单调递增，在(23，2)上单调递减，∴x ＝2是极小值点，故c ＝2不合题意，同样验证可知c ＝6符合题意．12．已知函数f (x )＝ln(ax )(a ≠0，a ∈R )，g (x )＝x －1x. (1)当a ＝1时，记φ(x )＝f (x )－x ＋1x －1，求函数φ(x )的单调区间； (2)若f (x )≥g (x )(x ≥1)恒成立，求实数a 的取值范围．解 (1)当a ＝1时，φ(x )＝f (x )－x ＋1x －1＝ln x －x ＋1x －1，则φ′(x )＝1x ＋2(x －1)2＝x 2＋1x (x －1)2. 因为x >0且x ≠1，所以φ′(x )>0.故函数φ(x )的单调递增区间为(0,1)和(1，＋∞)．(2)因为ln(ax )≥x －1x对x ≥1恒成立， 所以ln a ＋ln x ≥x －1x ，即ln a ≥1－1x－ln x 对x ≥1恒成立． 令h (x )＝1－1x －ln x ，则h ′(x )＝1x 2－1x，因为x ≥1，故h ′(x )≤0.所以h (x )在区间[1，＋∞)上单调递减，由ln a ≥h (x )max ＝h (1)＝0，解得a ≥1.故实数a 的取值范围为[1，＋∞)．。