第九章 力学量本征值问题的代数解法9—1） 在8.2节式（21）中给出了自旋（21）与轨迹角动量（l ）耦合成总角动量j 的波函数j ljm φ，这相当于21,21===s j l j 的耦合。

试由8.2节中式（21）写出表9.1（a ）中的CG 系数jm m m j 21121解：8.2节式（21a ）（21b ）:()21),0( 21+=≠-=m ml l j jjljm φ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++=+11121lm lm Y m l Y m l l ()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++---+=+=21,2121,212121,21j j m j j m j j Y m j Y m j j m j m l j （21a ）()21-=j ljljm φ⎪⎪⎭⎫⎝⎛++---=+11121lm lm Y m l Y m l l ()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++--+++-++=≠-=21,2121,211122121),0( 21j j m j j m j j Y m j Y m j j m j m l l j （21b ）()21++j l此二式中的l 相当于CG 系数中的1j ，而212==s j ,21,~,,~21±=m m m m j 。

因此，（21a ）式可重写为jm ∑=222112211m jm m j m jm j m j212121212121212111111111--+=m j jm m j m j jm m j ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=+=212112212121122111211111211121121),21(m j j m j m j j m j j l j a （21a ’） 对照CG 系数表，可知：当21121+=+=j j j j ,212=m时 ，21111112212121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=＋j m j jm m j 而212-=m 时，21111112212121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-＋j m j jm m j 对于21211-=-=j l j 的（21b ）式，有21111111221,212121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-＋j m j m j m j21111111221,212121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=--＋j m j m j m j9－2）设两个全同粒子角动量21j j j ==，耦合成总角动量J ，JMj2ψ()()21212121jm jm m m JM m j jm ψψ∑=（1）利用CG 系数的对称性，证明()JMjJj JM j p 22212ψψ--=由此证明，无论是Bose 子或Fermi 子，J 都必须取偶数证：由式（1），JM j p 212ψ()()12212121jm jm m m JM jm jm ψψ∑=把21m m ↔, ()()12122112jm jm m m JM jm jm ψψ∑=利用CG 系数的对称性 ()()()21212112212jm jm m m Jj JM m j m j ψψ∑--=()JMjJj 22ψ--= (2)对于Fermi 子，=j 半奇数，=j 2奇数，但要求ψψ-=12p ， 即要求()12-=--Jj ，所以J 必须为偶数。

12max -=j J ，（j J 2max =情况，只能构成交换对称态，为什么？）因此()()0,2,32,12Λ--=j j J可验证：态JMj 2ψ的总数为()12+j j 。

[()()1212120+=+∑-=j j J j J ]。

对于Bose 子，=j 整数，=j 2偶数，但要求ψψ=12p 即()12=--Jj ，故J 也必须为偶数0,2,22,2Λ-=j j J9－3）设原子中有两个价电子，处于nl E 能级上，按LS 耦合方案，L L L =+21，s s s =+21，J s L =+（总角动量）证明： （a ）s L +必为偶数；（b ）s L s L J -+=,,Λ。

当0=s 时，L J =（偶）； 1=s 时，1,,1-+=L L L J ，J 可以为奇，也可以为偶。

证： 自旋的耦合：2121==s s ，⎩⎨⎧=).(0).(1反对称，单态对称，三重态s轨迹角动量的耦合：l l l ==21，.0,1,,12,2Λ-=l l L其中=L 偶是对称态，=L 奇是反对称态，总的波函数（对于交换全部坐标，包括自旋）要求反对称，所以0=s 时，.0,,22,2Λ-=l l L 1=s 时，.1,,12,2Λ-=l l L在两种情况下，s L +都为偶数，但s L s L J -+=,,Λ对于0=s ，==L J 偶；1=s ，1,,1-+=L L L J 。

J 可以为奇，也可以为偶［讨论本题结论与题9－2有无矛盾？（按jj 耦合方案，似乎J 必为偶数）。

提示：在本题中，若用jj 耦合来分析，=j ？是否只有一个j 值？两种耦合方案得出的态数是否相等？］9－4）大小相等的两个角动量耦合成角动量为0的态00jj ψ，证明z z j j 21-=j j j --=,,1,Λ的几率却相等，即()121+j 。

提示：利用()1200+-=--j m jmj mj （P235，式（23）） 证：Dirac 符号表示，有 00jj ψJM j j 21=00jj =，JM JM j j =21∑=122112211m JM m j m j m j m j （1）在本题的情况下，j j j ==21，0==M J ，m m m 令21-=。

则（1）成为 00jj ∑--=mm jmj m jmj 00 （2）其中00m jmj -即为耦合表象中的态00jj 用无耦合表象基矢展开时的展开式系数—CG 系数，其模即表示体系处于00jj 态时，测得z j 1取值m （同时z J 2取值m -，m 取j j j --,,1,Λ各可能值）的几率。

由提示，()1200+-=--j m jmj mj （3）121002+=-∴j m jmj （4） 即，对于给定的j j j ==21所合成的态00jj ψ，z zj j 21-=j j j --=,,1,Λ的几率与m 的具体取值无关，皆为)121+j 。

9－5）设J J =+21，在jm j j 21态下，证明（取1=η）02211====y x y x j j j j ，()()()()1211122111++-+++=j j j j j j j j mj z()()()()1211111222++-+++=j j j j j j j j mj z zj m 1-=证：（参剖析，8.68等）9－6）在()z L L ,2表象(以为lm 基矢)中，1=l 的子空间的维数为3，求x L 在此三维空间中的矩阵表示，再利用矩阵方法求出x L 的本征值和本征态解：在()z L L ,2表象中，1=l 的子空间中的基矢为lm m 1=，1,0,1-=m 。

由于()()11±+±=±m j m j m j jm J μ()()m j m j jm J m j x -++=+1211 ()()m j m j jm J m j x ++-=-1211()121-++=J J J x 。

对于本题，以上方式中l j →，x x L J →，±±→L J ，()z z L J →不难求得()()()()()()01111110011'======----x x x x x mmx L L L L L L()()()()2210011010====--x x x x L L L L 。

∴ x L 在此三维空间中的矩阵表示为［()z L L ,2表象］⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=010********x L （1）设x L 的本征值为λ()1=η，本征矢为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=c b a φ，则本征方程为02102121021=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---c b a λλλ （2）此方程有非平庸解的条件为系数行列式等于零，由此可解得本征值：(),012=-λλ1,0,1-=λ. （3）将1=λ代入（2），可得02=+-ba ， 022=+-cb a， 02=-c b。

由此得 2b c a ==，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∴1212 b c b a归一化()112122=++b ，取 21=b 。

⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∴12121 1φ 1~+=λ （4）同理，将1,0-=λ分别代入（2），可求得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∴12121 2φ 0~=λ ；⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=121213φ 1~-=λ 。