已知 () 的根是 b b 2 4ac x 2a
表達式 b 2 4ac 稱為二次方程的 判別式， 並以符號 來表示，即 b 2 4ac
(1) 若 0 ，則二次方程 ax 2 bx c 0 有兩個不等的實根
(2) 若 0 ，則二次方程 ax 2 bx c 0 有兩個相等的實根 （或稱該二次方程有二 重根）
x 10 1 或 3 2
1 二次方程、二次函數及絕對值
1.1 二次方程的解法 例 1.2
1 若二次方程 2 x 2 kx 6 0 的根是 ， 2 試求 k 的值及方程的另一根
1 解： 因為方程 2 x 2 kx 6 0 的根是 ， 2 2 1 1 2 k 6 0 2 2 1 k 6 0 2 2 1 k 12 0 左右兩邊乘以 2。
2
x
3 17 4
1 二次方程、二次函數及絕對值
1.1 二次方程的解法
利用配方法推導二次公式
解方程 ax 2 bx c 0 ， 其中 a 0
x2
2
b c x a a
2 2
b b b c x x a 2a 2a a b b 2 4ac x 2a 4a 2 b b 2 4ac x 2a 2a
解： (a) (6) 2 4(3)(2)
12 0 所以，該方程有兩個不等的實根，且為無理數 (b) (3) 2 4(2)(2) 25
52 0 所以，該方程有兩個不等的實根，且為有理數 (c) (12) 2 4(9)(4)
1
二次方程、二次函數及絕對值
1.1 二次方程的解法
配方法
k 為了使 x kx 配成完全平方，可加 上 2
2 2
k k 於是 x kx x kx x 2 2
0 x 2 23x 22 ( x 1)( x 22) 0
x 1 或 22 (捨去) x 1
當 x = 22 時，
左方 22 3 3(22) 2 13 右方
1 二次方程、二次函數及絕對值
1.2 二次方程的根之性質
考慮二次方程 ax 2 bx c 0......... .......... .......... .......... .......... .......... ........( )
k 11 方程可寫成： 2 x 2 11x 6 0
2 x 1x 6 0
x 1 或6 2
故方程的另一根是 6
1 二次方程、二次函數及絕對值
1.1 二次方程的解法 例 1.3 解方程 x
解：
2
4 x 4( x 2 4 x) 5
解：
x x 12 0 ( x ) 2 ( x ) 12 0 ( x 4)( x 3) 0
( x ) 2 42
x 16
此方程可看作
y 2 y 12 0 ， 其中 y x

x 0
x 4 或 3 (捨去)
1 二次方程、二次函數及絕對值
2

b b 2 4ac x 2a
1 二次方程、二次函數及絕對值
1.1 二次方程的解法 例 1.1
解 2 x(3x 5) 10 7 x
解：
2x(3x 5) 10 7 x 6x2 10x 10 7 x 6x2 17 x 10 0
3x 102 x 1 0
x2 4x 1 x2 4x 1 0
(4) (4) 2 4(1)(1) x 2(1) x 4 12 2 2 3
x 1, 5 或 2 3
1 二次方程、二次函數及絕對值
1.1 二次方程的解法 例 1.4
解方程 x x 12 0
1.1 二次方程的解法 例 1.5
解方程 x3 3x 2 3
解：
x 3 3x 2 3 3x 2 3 x 3
兩邊各取平方，得 3x 2 9 6 x 3 x 3
6 x 3 14 2 x 3 x3 7 x
兩邊各取平方，得 9( x 3) 49 14 x x 2
(3) 若 0 ，則二次方程 ax 2 bx c 0 沒有實根
1 二次方程、二次函數及絕對值
1.2 二次方程的根之性質 例 1.6
試判斷下列二次方程的 根之性質 (a) 3x 2 6 x 2 0 (c) 9 x 2 12 x 4 0 (b) 2 x 2 3x 2 0 (d) 5 x 2 4 x 3 0
2
這樣一來，就得出了完全平方。
1 二次方程、二次函數及絕對值
1.1 二次方程的解法
利用配方法解一個二次方程
解方程 2 x 2 3x 1 0
3 1 x2 x 2 2
3 3 3 1 x x 2 4 4 2
2 2 2
3 98 x 4 16 3 17 x 4 4
2
( x 2 4 x) 2 4( x 2 4 x) 5 設 y x2 4x y2 4 y 5 0 ( y 5)( y 1) 0
故
y 5 或 1 或 x 2 4x 5 或 x2 4x 5 0
( x 1)(x 5) 0 x 1 或 5 或 或