二次函数绝对值的问题练习及答案
二次函数是最简单的非线性函数之一，而且有着丰富的内容，它对近代数仍至现代数学影响深远，这部分内容为历年来高考数学考试的一项重点考查内容，经久不衰，以它为核心内容的高考试题，形式上也年年有变化，此类试题常常有绝对值，充分运用绝对值不等式及二次函数、二次方程、二次不等式的联系，往往采用直接法，利用绝对值不等式的性质进行适当放缩，常用数形结合，分类讨论等数学思想，以下举例说明
例1 设a 为实数，函数
2
()||1f x x x a =+-+，x R ∈ （1）讨论()f x 的奇偶性； （2）求()f x 的最小值 解；（1）0a =时，
()
f x 为偶函数
0a ≠时，()f x 为非奇非偶函数
（2）2
222
2131,24()||1131,24x x a x a x a
f x x x a x x a x a x a ⎧⎛
⎫+-+=++-≥⎪ ⎪⎪⎝
⎭=+-+=⎨⎪⎛
⎫-++=-++< ⎪⎪⎝⎭⎩
当()min 13
,24a f x a
≤-=- 当()2min 11
,1
22a f x a -<<=+ 当()min 13
,24a f x a
≥=+
例2 已知函数
1)(2
-=x x f ，|1|)(-=x a x g . (1)若关于x 的方程)(|)(|x g x f =只有一个实数解，求实数a 的取值范围； (2)若当R x ∈时，不等式)()(x g x f ≥恒函数成立，求实数a 的取值范围；
(3)求函数)(|)(|)(x g x f x h +=在区间[-2,2]上的最大值（直接写出结果，不需给出演算步骤）.
解：（1）方程|()|()f x g x =，即
2
|1||1|x a x -=-，变形得|1|(|1|)0x x a -+-=，显然，1x =已是该方程的根，从而欲原方程只有一解，即要求方程|1|x a +=，有且仅有一个等于1的
解或无解 ，结合图形得0a <.
（2）不等式()()f x g x ≥对x ∈R 恒成立，即
2(1)|1|x a x --≥（*）对x ∈R 恒成立， ①当1x =时，（*）显然成立，此时a ∈R ；
②当1x ≠时，（*）可变形为
21
|
1|x a x -≤
-，令21,(1),1()(1),(1).|1|x x x x x x x ϕ+>⎧-==⎨-+<-⎩ 因为当1x >时，()2x ϕ>，当1x <时，()2x ϕ>-， 所以()2x ϕ>-，故此时2a -≤.
综合①②，得所求实数a 的取值范围是2a -≤.
（3）因为2
()|()|()|1||1|h x f x g x x a x =+=-+-=22
21,(1),1,(11),1,(1).x ax a x x ax a x x ax a x ⎧+--⎪--++-<⎨⎪-+-<-⎩≤≥
当1,22a
a >>即时，结合图形可知()h x 在[2,1]-上递减，在[1,2]上递增，
且(2)33,(2)3h a h a -=+=+，经比较，此时()h x 在[2,2]-上的最大值为33a +.
当01,22a a 即0≤≤≤≤时，结合图形可知()h x 在[2,1]--，[,1]
2a -上递减， 在[1,]
2a --，[1,2]上递增，且(2)33,(2)3h a h a -=+=+，2
()124a a h a -=++，
经比较，知此时()h x 在[2,2]-上的最大值为33a +.
当10,02a a -<<即-2≤≤时，结合图形可知()h x 在[2,1]--，[,1]
2a
-上递减， 在[1,]
2a --，[1,2]上递增，且(2)33,(2)3h a h a -=+=+，2
()124a a h a -=++，
经比较，知此时()h x 在[2,2]-上的最大值为3a +.
当31,222a a -<-<-即-3≤≤时，结合图形可知()h x 在[2,]2a -，[1,]
2a
-上递减， 在[,1]2a ，[,2]2a
-上递增，且(2)330h a -=+<, (2)30h a =+≥，
经比较，知此时()h x 在[2,2]-上的最大值为3a +.
当3
,3
22a a <-<-即时，结合图形可知()h x 在[2,1]-上递增，在[1,2]上递减，
故此时()h x 在[2,2]-上的最大值为(1)0h =. 综上所述，
当0a ≥时，()h x 在[2,2]-上的最大值为33a +； 当30a -<≤时，()h x 在[2,2]-上的最大值为3a +； 当3a <-时，()h x 在[2,2]-上的最大值为0.
练习：1. 已知函数
2||)(2
+-+=a x x x f . （1）讨论函数)(x f 的奇偶性；（2）求函数)(x f 的最小值 2. 已知函数
()221()
f x x mx m R =-+∈
（1）若2m =，[]
0,3x ∈，求
()()max min
D f x f x =-的值
（2）若
[]
0,2x ∈时，
()8
f x ≤恒成立，求m 的取值范围
3. 已知函数
|21|21)(2
a x x x f -++=
，其中a 是实数.
（1）判断)(x f 的奇偶性，并说明理由；
（2）当]1,1[-∈x 时，)(x f 的最小值为2
21a
，求a 的值
答案：
1.（1）0a =函数为偶函数
0a ≠非奇非偶函数
（2）()22117
,2(),
24x a f x x x a x a ≥=++-=++-
()2
2
217,224x a f x x x a x a
⎛
⎫<=-++=-++ ⎪⎝⎭
2min 7
1,4211()2,227
1,42a a f x a a a a ⎧-≤-⎪⎪
⎪
=+-<<
⎨⎪
⎪+≥⎪⎩
2.（1）4
（2）分类讨论二次函数对称轴与区间的关系，寻找最大值的位置 当0,
m <()
f x 在
[]0,2上递增 ，
()3
2804f m ≤∴-
≤<
当02,m ≤≤()f x 在[]0,m 上递减，[],2m 上递增()()8
33428f m m f ⎧≥-⎪∴-≤≤⎨
≤⎪⎩
当2,
m >()
f x 在
[]0,2上递减
()13
2824f m ≥-∴<≤
综上所述：3134
4m -
≤≤
3.（1）①当
21=
a 时，|
|21
)(2x x x f +=，有)()(-x f x f =，所以)(x f 为偶函数；
②当21≠
a 时，0|21|)0(≠-=a f ，所以)(x f 不是奇函数； 又因为
2)12(21)1-2(-=
a a f ，而|21|2)12(21
)2-(12a a a f -+-=，
即)12()2-(1-≠a f a f ，所以)(x f 不是偶函数；
综上，当
21
≠
a 时，)(x f 既不是奇函数也不是偶函数.
（2）2
213(1)2,2122()11(1)2,2122x a x a f x x a x a ⎧--+<-⎪⎪=⎨
⎪++-≥-⎪⎩
①若112-≤-a ，即0≤a ， 当]1,1[-∈x 时，
a x a x x x f 221
)1(212121)(22-++=-++=
，
故)(x f 在]1,1[-上递增，
所以
=-=
-=a f x f 221)1()(min 221a ，得52--=a .
②若112≥-a ，即1≥a ， 当]1,1[-∈x 时，
a x a x x x f 223
)1(212121)(22+--=+--=
，
故)(x f 在]1,1[-上递减，
所以
=+-
==a f x f 223)1()(min 221a ，得1=a 或3=a .
③若1121<-<-a ，即10<<a ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧≤≤--++-<≤-+--=)112(221)1(21)121(223)1(21)(22
x a a x a x a x x f
故)(x f 在]12,1[--a 上递减，在]1,1[2-a 上递增；
所以
22min 212122)12()(a a a a f x f =+
-=-=，得31=a .
综上，52--=a 或
31
=
a 或1=a 或3=a .。