第十二章 微分方程答案一、选择题1．下列不是全微分方程的是 C 1A.2()(2)0x y dx x y dy ++-=B.2(3)(4)0y x dx y x dy ---= C.32223(23)2(2)0x xy dx x y y dy +++= D.222(1)0x x x ye dx e dy -+= 2. 若3y 是二阶非齐次线性方程(1):()()()y P x y Q x f x '''++=的一个特解，12,y y 是对应的齐次线性方程(2)的两个线性无关的特解，那么下列说法错误的是（123,,c c c 为任意常数） C 2A.1122c y c y +是(2)的通解B. 113c y y +是(1)的解C. 112233c y c y c y ++是(1)的通解D. 23y y +是(1)的解3．下列是方程xdx ydy +=的积分因子的是 D 2A.22x y + B.221x y + 4．方程322321x xd y d ye e dx dx++=的通解应包含得独立常数的个数为 （ B ）. 1 (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 05．已知方程'()0y p x y +=的一个特解cos 2y x =，则该方程满足初始特解(0)2y =的特解为（ C ）. 2(A) cos 22y x =+ (B) cos 21y x =+ (C) 2cos 2y x = (D) 2cos y x =6．方程322321x x d y d y e e dx dx++=的通解应包含得独立常数的个数为 （ B ）. 1 (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 07．设线性无关的函数123,,y y y 都是微分方程''()'()()y p x y q x y f x ++=的解，则该方程的通解为 （ D ）. 2(A) 11223y c y c y y =++ (B) 1122123()y c y c y c c y =+-+ (C) 1122123(1)y c y c y c c y =+--- (D) 1122123(1)y c y c y c c y =++-- 8．设方程''2'3()y y y f x --=有特解*y ，则其通解为（ B ）. 1(A) 312xx c ec e -+ (B) 312*x x c e c e y -++ (C) 312*xx c xec xe y -++ (D) 312*x x c e c e y -++9．微分方程'cot 0y y x -=的通解为（A ）. 1(A) sin y c x = (B) sin c y x =(C) cos y c x = (D) cos c y x= 10. 方程x y cos =''的通解为( C ) 1(A) c c x x y 21sin ++-= (B) c c x x y 21sin ++=(C)c c x x y 21cos ++-= (D)c c x x y 21cos ++=11. e y x-=''的通解为( C ) 1(A) e x -- (B) e x-(C) c x c e x 21++- (D)c x c e x21++-- 12. 微分方程()()0432=+'''+'y x y y y 的阶是( B ) 1(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 413. 下列微分方程中，属于可分离变量方程的是( C ) 1(A) ()0sin =+ydy dx xy x (B) ()y x y +='ln(C) yx dx dysin = (D) ()y e y x y x 21⋅=+'14.方程 02=-'y y 的通解是（ C ） 1 A.x y 2sin =； B.xey 24=； C.xcey 2=； D.c e y x+=。

15. 下列函数中的（ D ）是微分方程式 0127=+'-''y y y 的解。

1A.3x y =；B.2x y =；C.x e y 2=；D.xe y 3=。

16. 以e x 和x e x sin 为特解的二阶常系数齐次线性微分方程是（D ） 2（A ）02=+'-''y y y （B ）422=+'-''y y y （C ）0=+''y y （D ）无这样的方程。

17.122+=+'-''x y y y 的特解y *可设为( C ) 2 (A) ()C Bx x A e y x ++=2* (B)D Cx x B x A y +++=23* (C) C Bx x A y ++=2* (D) ()C Bx x A e x y x ++=2*18. 若tty 2cos 4-=是方程t y y 2sin 4=+''的一个特解，则该方程的通解是（ A ）（A ）t t t t y c c 2cos 42cos 2sin 21-+= （B ）ttt y c 2cos 42sin 1-= （C ）()tt e t y t c c 2cos 4221-+=- （D ）t te e y t t c c 2cos 42221-+=-19. 下列各微分方程中是一阶线性方程的是（ B ） 1（A ）x y y x =+'2 （B ）x xy y sin =-'（C ）x y y =' （D ）02=+'xy y 20. 方程x y y y 2sin 52=+'+''的特解可设为（ D ） 2（A ）()x a x y 2sin = （B ）x a y 2sin =（C ）()x b x a x y 2cos 2sin += （D ）x b x a y 2cos 2sin +=二、 填空题 1、以()2123ty c c t c te =++ （123,,c c c 为任意常数）为通解的常微分方程是3232330d y d y dyy dt dt dt-+-= 2 2、若241,,x x -是某个二阶非齐次线性常微分方程的三个特解，那么该方程的通解是2412(1)(1)1c x c x +++- （12,c c 为任意常数） 13. 微分方程xdx y dy cos 2=的通解: cx y +-=sin 114. 微分方程dy e y ydx xdy y 2=-的通解是:)(ye c y x -= 15. 微分方程ydx+(y-x)dy=0的通解是:c y yx=+ln 2 6．以cos 2sin 2y x x =+为一个特解的二阶常系数齐次线性微分方程是 ''40y y +=。

27．解形如⎪⎭⎫ ⎝⎛=x y f dx dy 的微分方程，求解时可作的变量代换 ux y =,u x u y '+=' 18．微分方程0y 3y 4y =+'-''的通解y= 312x x C e C e + 1 9．微分方程y"+2y ˊ+2y=0的通解是 ()12cos sin x y x x e C C -=+ 。

1 10、微分方程03410=+'+''y y y 的通解是 )3sin 3cos (215x c x c e y x+⋅=- 1三、 计算题1．解方程1(1)(1)x n dyx ny e x dx ++-=+，这里n 为常数。

2 解：将方程改写为(1)1x n dy ny e x dx x -=++。

首先求齐次方程01dy ny dx x -=+的通解为(1)n y c x =+再设()(1)ny c x x =+，于是1()(1)(1)()n n dy dc x x n x c x dx dx-=+++，带入原方程，得()x dc x e dx=，即()x c x e C =+，C 为任意常数。

于是原方程通解为()(1)xny e C x =++。

5 ＃2．解方程330d xx dt+= 2解：特征方程为310λ+=，它的根为11,2-±。

于是原方程解为12123(cos sin )22t tz c e e c c t -=++。

123,,c c c 为任意常数 4＃ 3．解方程dy y ytg dx x x=+ 2 解：作变量代换,y dy du u x u x dx dx ==+，则原方程变为dux u u tgu dx+=+。

即du dx tgu x=，解得sin cu e x =±，此外还有解0tgu =，即sin 0u =。

于是方程通解为sin u cx =，这里c 为任意常数。

代回原来变量，得原方程通解sinycx x= 5＃ 4．解方程22dy y dx x y=- 2 解：将原方程改写为22dx x y dy y -=，即2dx x y dy y=-。

先求出齐次方程2dx x dy y=的通解为2x cy =。

再设2()x c y y =，2()2()dx dc y y c y y dy dy =+，代入原方程得()1dc y dy y=- 解得()ln c y y C =-+，C 为任意常数。

所以原方程通解为2(ln )x y C y =- 5 ＃5．解方程：(0)dyxy x dx+=< 2解：将方程改写为(0)dy y x dx x =<，作代换,y dy du u x u x dx dx==+，则原方程变为 duxdx =dx x =。

于是得此方程通解为ln()x c =-+，即2[ln()]u x c =-+，(ln()0)x c -+>，这里c 为任意常数。

此外方程还有解0u =。

代回原来的变量，得原方程通解2[ln()]y x x c =-+(ln()0)x c -+>与0y = 5 ＃6．解方程424220d x d xx dt dt++= 2解：特征方程为22(1)0λ+=，有两个二重根i ±，原方程的四个实值解分别是cos ,cos ,sin ,sin t t t t t t 。

故通解为1234()cos ()sin x c c t t c c t t =+++，1234,,,c c c c 为任意常数 4＃7. 设二阶可微函数y 满足方程 464x y y e '''-=，y(0)= 21, 1)0('=y , 求y 3解：由题知对应齐次方程的特征方程为062=-r r解得 01=r ， 62=r 于是对应齐次方程的通解为x e c c y 621+= 设非齐次方程的特解为：x ke Y4*=把它代入所给方程，得 21-=k 所以：x e Y4*21-=故已知方程的通解为xx e e c c y 462121-+=又1)0('=f ，f (0)=21 故==21c c 21即：)1(2146xx e e y -+= 7 ＃8. 求微分方程x e y y y -=++234'''的通解 3解：由题知对应齐次方程的特征方程为0342=++r r解得 11-=r ， 32-=r 于是对应齐次方程的通解为x x e c e c y 321--+= 因1-=λ是特征根，故设非齐次方程的特解为：x axe Y -=*把它代入所给方程，得 1=a , 所以：x xe Y-=*故已知方程的通解为x x x xe e c e c y ---++=321 7＃9. 求微分方程x xe y y y =+-'''2的通解 3解：由题知对应齐次方程的特征方程为0122=+-r r ，解得 =1r 12=r 。