A1
4. 分块对角矩阵的行列式
A2 ...
=
. 【P. 50 第 3 行】
An
( 5. 二阶矩阵的逆 a11
a21
)−1
a12
=
a22
. 【P. 44 例 10】“两调一除”
−1
6. 对角矩阵的逆 λ1
λ2
...
=
.
λn
−1
7. 分块对角矩阵的逆 A1
A2
...
=
.
An 【P. 50 第 5 行、例 16】
第3页
...
...
3. ak1 · · · akk
=
c11 · · · c1k b11 · · · b1n
...
...
...
...
cn1 · · · ank bn1 · · · bnn
. 【P. 7 例 5】 . 【P. 7 例 6】 . 【P. 14 例 10】
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于
; 向量组线性无关的充要条件是
. 【P. 88 定理 4】
15. (1) 若向量组 A : a1, a2, · · · , am 线性相关, 则向量组 B : a1, a2, · · · , am, am+1
也线性相关. 反言之, 若向量组 B 线性无关, 则向量组 A
.
(2) m 个 n 维向量组成的向量组, 当维数 n 小于向量的个数 m 时一定
三、16 个重要概念 1. 行列式【P. 6 定义】 2. 余子式、代数余子式【P. 16】 3. 矩阵【P. 29 定义 1】 4. 伴随矩阵【P. 41 例 9】 5. 逆矩阵【P. 43 定义 7】
6. 奇异矩阵、非奇异矩阵【P. 43】 7. 两个矩阵的等价【P. 59】 8. 矩阵的秩【P. 66】 9. 满秩矩阵、降秩矩阵【P. 66】 10. 线性相关、线性无关【P. 87 定义 4】 11. 最大无关组、向量组的秩【P. 90 定义 5、P. 91 推论】 12. 基础解系【P. 95】 13. 正交矩阵【P. 115 定义 4】 14. 特征值、特征向量【P. 117 定义 6】 15. 两个矩阵的相似【P. 121 定义 7】 16. 两个矩阵的合同【P. 129 定义 9】
...
... > 0;
an1 · · · ann
对称矩阵 A 为负定的充要条件是: 【P. 133 定理 11】
为负, 而
为正.
五、7 个特殊公式
λ1
1. 对角行列式
λ2 ...
=
λn
a11 a12 · · · a1n
2. 上三角行列式
a22 · · · a2n . . . ... =
ann
a11 · · · a1k
秩 RS =
. 【P. 97 定理 7】
17. 若 A 为正交矩阵, 则A−1 = AT 也是正交矩阵, 且 |A| = 或 . 【P. 116】
18. 设 n 阶矩阵 A = (aij) 的特征值为 λ1, λ2, · · · , λn, 则
(i)
= a11 + a22 + · · · + ann;
四、20 个重要结论
1. 行列式等于它的任一行 (列) 的各元素与其对应的
乘积之和, 即
D = ai1Ai1 + ai2Ai2 + · · · + ainAin (i = 1, 2, · · · , n),
或 D = a1jA1j + a2jA2j + · · · + anj Anj (j = 1, 2, · · · , n).
; . 【P. 71 定理 3】
12. 线性方程组 Ax = b 有解的充要条件是
. 【P. 77 定理 5】
13. n 元齐次线性方程组 Ax = 0 有非零解的充要条件是
.
【P. 77 定理 4】
14. 向 量 组 a1, a2, · · · , am 线 性 相 关 的 充 要 条 件 是 它 所 构 成 的 矩 阵 的 小
.
特别地, n + 1 个 n 维向量一定
.
(3) 设向量组 A : a1, a2, · · · , am 线性无关, 而向量组 B : a1, a2, · · · , am, b 线
性相关, 则向量 b 必能由向量组 A
, 且表达式是
的. 【P. 89
定理 5】
16. 设 m × n 矩阵 A 的秩 R(A) = r, 则 n 元齐次线性方程组 Ax = 0 的解集 S 的
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《线性代数》复习重点内容 (详细版)
一、2 种技术 1. 行列式的计算（“化三角形法”与“降阶法”）【P. 12 例 7、P. 18 第七行】 2. 矩阵的初等变换（把一个矩阵变换为“行最简形”）【P. 78 习题三 1】
二、9 种方法 1. 计算两个矩阵的乘积【P. 35 例 4】 2. 计算矩阵的逆矩阵【P. 64 例 2】 3. 计算矩阵的秩【P. 67 例 5】 4. 判断向量组的线性相关性【P. 88 例 5】 5. 计算向量组的秩及最大无关组【P. 93 例 11、P. 108 习题四 11】 6. 计算方程组的通解（需写出“基础解系”）【P. 97 例 12、P. 101 例 16】 7. 计算矩阵的特征值及特征向量【P. 118 例 6、P. 119 例 7】 8. 求解对称矩阵的对角化问题【P. 125 例 12】 9. 求解二次型的标准形【P. 130 例 14】
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6. 若矩阵 A 可逆, 则 |A−1| = |A|−1.
7. 若矩阵 AB = E(或 BA = E), 则 A 可逆, 且 A−1 = B. 【P. 43 推论】
8. (AB)−1 = B−1A−1 【P. 43】
9. |A∗| = |A|n−1. 【P. 56 习题二 24】
【P. 17 定理 3】
2. (AB)T = BTAT. 【P. 39】
3. |λA| = λn|A|; |AB| = |A||B|. 【P. 40】
4. AA∗ = A∗A = |A|E. 【P. 41 例 9】
5.
若 |A| ̸= 0, 则矩阵 A 可逆, 且 A−1
=
1 |A|
A∗.
【P. 43 定理 2】
(ii)
= |A|.征值, 则φ(λ) 是 φ(A) 的特征值 (其中 φ 是“多项式”，可 以出现 −1 次方).
20. 对称矩阵 A 为正定的充要条件是: A 的
都为正, 即
a11 · · · a1n
a11 > 0, a11 a21
a12 > 0, · · · , a22
10. 方阵 A 是可逆矩阵 ⇐⇒ A 是非奇异矩阵 ⇐⇒ A 是满秩矩阵 ⇐⇒ |A| ̸= 0. 方阵 A 是不可逆矩阵 ⇐⇒ A 是奇异矩阵 ⇐⇒ A 是降秩矩阵 ⇐⇒ |A| = 0.
11. n 元线性方程组 Ax = b
(i) 无解的充要条件是
;
(ii) 有唯一解的充要条件是
(iii) 有无穷多个解的充要条件是