角度四：四（三）棱锥的外接球
例 4．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为 4，
底面边长为 2，则该球的表面积为
()
81π A. 4
B．16π
C．9π
27π D. 4
解析：如图所示，设球半径为 R，底面中心为 O′且球心为 O， ∵正四棱锥 P-ABCD 中 AB＝2，∴AO′＝ 2. ∵PO′＝4，∴在 Rt△AOO′中，AO2＝AO′2＋OO′2，∴ R2＝( 2)2＋(4－R)2，解得 R＝94，∴该球的表面积为 4πR2＝ 4π×942＝814π，故选 A.
πa2 6
，则
S1 S2
＝ π63aa22＝6π3.
【变式训练】已知正三棱锥P-ABC的四个顶点均在半径为 3 的球面
上,且PA,PB,PC两两互相垂直,则球心到平面ABC的距离为
3 3
.
思考：可以将该几何体还原到什么几何体中考虑？
P
E
A
B
O
F
C
角度二：直三棱柱的外接球
例 2．已知直三棱柱 ABC-A1B1C1 的 6 个顶点都在球 O 的
球心．R2＝a2＋b42＋c2＝l42(l 为长方体的体对角线长)．即 R
l 2
[多角探明]
与球相关的切、接问题是高考命题的热点，也是考生的难点、 易失分点．命题角度多变．归纳起来常见的命题角度有：
(1)正四面体的内切球； (2)直三棱柱的外接球； (3)正(长)方体的外接球； (4)四（三）棱锥的外接球.
答案：A
变式训练:
1.已知矩形 ABCD 的顶点都在半径为 4 的球面 上，且 AB=6，BC=2 3 ，则棱锥 O-ABCD 的体积为8 3
方法归纳 “切”“接”问题处理的注意事项 (1)“切”的处理 解决与球的内切问题主要是指球内切多面体与旋转体，解 答时首先要找准切点，通过作截面来解决．如果内切的是多面 体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作． (2)“接”的处理 把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的外接问 题．解决这类问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体 的顶点的距离等于球的半径． （3）还原处理 如果直接考虑不出来不妨考虑能否把几何体还原到 特殊的几何体中，比如正方体、长方体等等
练习 1.在正三棱锥 S-ABC 中，M 是 SC 的中点，且 AM
⊥SB，底面边长 AB＝2 2，则正三棱锥 S-ABC 的外接球
的表面积为
()
A．6π
B．12π
C．32π
D．36π
解析
解析：如图，由正三棱锥的性质易知 SB⊥AC，结合 AM⊥SB 知 SB⊥平 面 SAC，所以 SB⊥SA，SB⊥SC.又 正三棱锥的三个侧面是全等的三角 形，所以 SA⊥SC，所以正三棱锥 S-ABC 为正方体的一个角，所以正三棱锥 S-ABC 的外接 球即为正方体的外接球．由 AB＝2 2，得 SA＝SB＝SC ＝2，所以正方体的体对角线为 2 3，所以所求外接球的 半径 R＝ 3，所求表面积为 4πR2＝12π. 答案：B
球 O 的球面上，且 AB＝3，BC＝ 3，过点 D 作 DE 垂直 于平面 ABCD，交球 O 于 E，则棱锥 E-ABCD 的体积为 ________．
思考：可以还原到什么几何体中考虑？
解析
解析：如图所示，BE 过球心 O， ∴DE＝ 42－32－ 32＝2， ∴VE -ABCD＝13×3× 3×2＝2 3. 答案：2 3
角度一：正四面体的内切球
例 1．若一个正四面体的表面积为 S1，其内切球的表面积为 S2， 则SS12＝___6_π_3___. 解析：设正四面体棱长为a，则正四面体表面积为S1＝
3 4·4
·a2＝
3
a2，其内切球半径为正四面体高的
1 4
，即r＝
1 4
6 ·3
a＝
6 12
a，因此内切球表面积为S2＝4πr2＝
和高为 2，则球的表面积为
28
3
2．将例 1 稍微变下：已知直三棱柱 ABC-A1B1C1 的 6 个
顶点都在球 O 的球面上，若 AB＝4，AC＝4，A 1200，
AA1＝6，则球 O 的半径为
5
解析
角度三：正方体(长方体)的外接球 例 3．(2016·温州模拟)已知矩形 ABCD 的顶点都在半径为 2 的
EFHG 的内切圆，如图所示．设正方体
a
的棱长为 a，则|OJ|＝r＝ 2 (r 为内切球
半径)．
②与正方体各棱相切的球：截面图为正方形 EFHG 的外接
圆，则|GO|＝R＝
2a
2
③正方体的外接球：截面图为正方形 ACC1A1 的外接圆，则
|A1O|＝R′＝
3a 2
注意：球心均在正方体的中心位置
(3)三条侧棱互相垂直的三棱锥的外接球： ① 如果三棱锥的三条侧棱互相垂直并且相
等，则可以补形为一个正方体，正方体
的外接球的球心就是三棱锥的外接球的
球心．即三棱锥 A1-AB1D1 的外接球的球心和正方体
ABCD-A1B1C1D1 的外接球的球心重合．如图，设 AA1
＝a，则 R
3a 2
②如果三棱锥的三条侧棱互相垂直但不相等，则可以补形
为一个长方体，长方体的外接球的球心就是三棱锥的外接球的
圆心在高 SE 上的圆．因为正四面体本身的对称性，内切球和外接
球的球心同为 O.此时，CO＝OS＝R，OE＝r，SE＝ 23a，CE＝
33a，则有 R＋r＝
23a，R2－r2＝|CE|2＝a32，解得
R
6a,r 6a
4
12
如果还原到正方体中去考虑呢？
C D
B
A
(2)正方体与球： ① 正方体的内切球：截面图为正方形
练习2.四面体ABCD的四个顶点都在球O的球面上,AB⊥平面
球面上，若 AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则
球 O 的半径为
()
A．3
17 2
B．2 10
C．123
D．3 10
解析
思考1：可不可以将该直三棱柱还原到特殊的几何体中？ 思考2：球心在哪里？ 总结：直三棱柱外接球球心在上下三角形外心连线的中点
变式训练:
1．正三棱柱 ABC-A1B1C1 的六个顶点都在球面上，且底面边长
与球有关的切接问题全解
[必备知识]
1．球的表面积公式：S＝4πR2正四面体的棱长
为 a，内切球的半径为 r，外接球的半径为 R，取
AB 的中点为 D，连接 CD，SE 为正四面体的高，
在截面三角形 SDC 内作一个与边 SD 和 DC 相切，