定积分与微积分定理1．定积分的概念 一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点 将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x ∆（b ax n-∆=），在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,,i i n ξ=，作和式：11()()nnn i i i i b aS f x f nξξ==-=∆=∑∑如果x ∆无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。

记为：()ba S f x dx =⎰其中()f x 成为被积函数，x 叫做积分变量，[,]a b 为积分区间，b 积分上限，a 积分下限。

说明：（1）定积分()b a f x dx ⎰是一个常数，即n S 无限趋近的常数S （n →+∞时）称为()ba f x dx ⎰，而不是n S ．（2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：n 等分区间[],a b ；②近似代替：取点[]1,i i i x x ξ-∈；③求和：1()ni i b a f n ξ=-∑；④取极限：()1()lim n b i a n i b af x dx f n ξ→∞=-=∑⎰ （3）曲边图形面积：()ba S f x dx =⎰；变速运动路程21()t t S v t dt =⎰；变力做功 ()ba W F r dr =⎰2．定积分的几何意义说明：一般情况下，定积分()ba f x dx ⎰的几何意义是介于x 轴、函数()f x 的图形以及直线,x a x b ==之间各部分面积的代数和，在x 轴上方的面积取正号，在x 轴下方的面积去负号．（可以先不给学生讲）．分析：一般的，设被积函数()y f x =，若()y f x =在[,]a b 上可取负值。

考察和式()()()12()i n f x x f x x f x x f x x ∆+∆++∆++∆不妨设1(),(),,()0i i n f x f x f x +< 于是和式即为()()()121(){[()][]}i i n f x x f x x f x x f x x f x x -∆+∆++∆--∆++-∆()baf x dx ∴=⎰阴影A 的面积—阴影B 的面积（即x 轴上方面积减x 轴下方的面积）2．定积分的性质根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质： 性质1 a b dx ba -=⎰1性质2 ⎰⎰=ba b a dx x f k dx x kf )()( （其中k 是不为0的常数） （定积分的线性性质） 性质3 1212[()()]()()b b ba a a f x f x dx f x dx f x dx ±=±⎰⎰⎰ （定积分的线性性质）性质4()()()()bcbaacf x dx f x dx f x dxa cb =+<<⎰⎰⎰其中（定积分对积分区间的可加性）说明：①推广：1212[()()()]()()()bb bbm m a aaaf x f x f x dx f x dx f x dx f x ±±±=±±±⎰⎰⎰⎰②推广:121()()()()kbc c baac c f x dx f x dx f x dx f x dx =+++⎰⎰⎰⎰③性质解释：PCN M BAabOyxy=1yxOba2.微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式定理：如果函数()F x 是[,]a b 上的连续函数()f x 的任意一个原函数，则该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式。

它指出了求连续函数定积分的一般方法，把求定积分的问题，转化成求原函数的问题，是微分学与积分学之间联系的桥梁。

它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时也提供计算定积分的一种有效方法，微积分基本定理是微积分学中最重要的定理，它使微积分学蓬勃发展起来，成为一门影响深远的学科，为后面的学习奠定了基础。

因此它在教材中处于极其重要的地位，起到了承上启下的作用，说明：①它指出了求连续函数定积分的一般方法，把求定积分的问题，转化成求原函数的问题。

我们可以用()f x 的原函数（即满足()()F x f x '=）的数值差()()F b F a -来计算()f x 在[,]a b 上的定积分.②它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时也提供计算定积分的一种有效方法，为后面的学习奠定了基础。

思考并回答下列问题：性质1性质①与函数f(x)相对应F(x)的唯一吗如果不唯一，它们之间什么关系原函数的选择影响最后的计算结果吗②计算定积分()ba f x dx ⎰的关键是什么③寻找函数f(x)的原函数F(X)的方法是什么④利用基本初等函数的求导公式求下列函数的原函数典例分析例1．计算定积分21(1)x dx +⎰分析：所求定积分即为如图阴影部分面积，面积为52。

即：215(1)2x dx +=⎰思考：若改为计算定积分22(1)x dx -+⎰呢 改变了积分上、下限，被积函数在[2,2]-上出现了负值如何解决呢（后面解决的问题） 1. （2014·湖北高考理科·Ｔ6）若函数f(x)，()g x 满足11()g()d 0f x x x -=⎰，则称f(x)，()g x 为区间[-1,1] 上的一组正交函数，给出三组函数：①11()sin ,()cos 22f x x g x x ==；②()1,g()1f x x x x =+=-；③2(),g()f x x x x ==其中为区间]1,1[-的正交函数的组数是（ ）【解题提示】 考查微积分基本定理的运用【解析】选C. 对①，1111111111(sin cos )(sin )cos |02222x x dx x dx x ---⋅==-=⎰⎰，则)(x f 、)(x g 为区间]1,1[-上的正交函数；对②，1123111114(1)(1)(1)()|033x x dx x dx x x ---+-=-=-=-≠⎰⎰，则)(x f 、)(x g 不为区间]1,1[-上的正交函数；对③，1341111()|04x dx x --==⎰，则)(x f 、)(x g 为区间]1,1[-上的正交函数. 所以满足条件的正交函数有2组.2.（2014·山东高考理科·Ｔ6）直线4y x =与曲线3y x =在第一象限内围成的封闭图形的1 2yxo面积为（ ）A 、22B 、42C 、2D 、4【解题指南】 本题考查了定积分的应用，先求出直线与曲线在第一象限的交点，再利用牛顿-莱布尼茨公式求出封闭图形的面积. 【解析】选D.由⎩⎨⎧==34xy xy ，得交点为()()()8,2,8,2,0,0--， 所以()40241244223=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=⎰x x dx x x S ，故选D.3.(2014·陕西高考理科·T3)定积分(2x+e x)dx 的值为 ( )+2 +1【解题指南】求出被积函数2x+e x 的原函数,然后根据定积分的定义解之. 【解析】选C.(2x+e x )dx=(x 2+e x )=1+e-1=e.4.（2014·福建高考理科·Ｔ14）如图，在边长为e （e 为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为______.【解题指南】本题考查了反函数在图象上的性质，利用对称性，将问题化为可利用定积分求解面积的问题。

【解析】x y e =和ln y x =互为反函数，不妨将样本空间缩小到左上方的三角形， 则12221()()02122x xex e e e S p S e e e ∆--'====⎰．【答案】22e5.已知f (x )为偶函数且60⎰f (x )d x ＝8，则66-⎰f (x )d x 等于( )A ．0B ．4C ．8D ．16 解析：原式＝06-⎰f (x )d x ＋60⎰f (x )d x ，∵原函数为偶函数， ∴在y 轴两侧的图象对称， ∴对应的面积相等，即8×2＝16. 答案：D 6．设f (x )＝⎩⎨⎧x 2， x ∈[0，1]，2－x ，x ∈[1，2]，则20⎰f (x )d x 等于( )D ．不存在 解析：数形结合， 20⎰f (x )dx =10⎰x 2dx +21⎰(2-x )dx=321211(2)321x x x +- =3115(422)326x +--+=. 答案：C7．计算以下定积分： (1) 21⎰(2x 2－1x)d x ；(2)32⎰(x ＋1x)2d x ；(3)30π⎰(sin x －sin2x )d x ；解：(1) 21⎰(2x 2－1x )d x ＝(23x 3－ln x )21＝163－ln 2－23＝143－ln 2. (2)32⎰(x ＋1x)2d x ＝32⎰(x ＋1x＋2)d x＝(12x 2＋ln x ＋2x )32＝(92＋ln 3＋6)－(2＋ln 2＋4)＝ln 32＋92.(3) 3π⎰(sin x －sin2x )d x ＝(－cos x ＋12cos2x )30π＝(－12－14)－(－1＋12)＝－14.题组二求曲多边形的面积8图形(图中的阴影部分)，则该闭合图形的面积是 ( ) A ．1 D ．2解析：函数y ＝－x 2＋2x ＋1与y ＝1的两个交点为(0,1)和(2,1)，所以闭合图形的面积等于20⎰(－x 2＋2x ＋1－1)d x ＝20⎰(－x 2＋2x )d x ＝43.答案：B9．已知函数y ＝x 2与y ＝kx (k ＞0)的图象所围成的阴影部分 (如图所示)的面积为43，则k ＝________.解析：直线方程与抛物线方程联立先求出积分区间为[0，k ]， 再由0k⎰(kx －x 2)d x ＝(kx 22－x 33)0k＝k 36＝43求得k ＝2.答案：210．如图，设点P 从原点沿曲线y ＝x 2向点A (2,4)移动， 记直线OP 、曲线y ＝x 2及直线x ＝2所围成的面积 分别记为S 1，S 2，若S 1＝S 2，则点P 的坐标为________． 解析：设直线OP 的方程为y ＝kx, P 点的坐标为(x ，y )， 则0x⎰(kx －x 2)d x ＝2x ⎰(x 2－kx )d x ， 即(12kx 2－13x 3)0x ＝(13x 3－12kx 2)2x ， 解得12kx 2－13x 3＝83－2k －(13x 3－12kx 2)，解得k ＝43，即直线OP 的方程为y ＝43x ，所以点P 的坐标为(43，169)．答案：(43，169)11.一质点运动时速度与时间的关系为v (t )＝t 2－t ＋2，质点作直线运动，则此物体在时间[1,2]内的位移为( )解析：s ＝21⎰(t 2－t ＋2)d t ＝(13t 3－12t 2＋2t )|21＝176.答案：A12．若1 N 的力能使弹簧伸长1 cm ，现在要使弹簧伸长10 cm ，则需要花费的功为( ) A ． J B ． J C ． J D ．1 J解析：设力F ＝kx (k 是比例系数)，当F ＝1 N 时，x ＝ m ，可解得k ＝100 N/m ，则F ＝100x ，所以W ＝0.10⎰100x d x ＝50x 20.10＝ J.答案：B13．一辆汽车的速度—时间曲线如图所示，则该汽车在这一分钟内行驶的路程为_______米．解析：据题意，v 与t 的函数关系式如下：v ＝v (t )＝⎩⎨⎧32t ，0≤t ＜20，50－t ，20≤t ＜40，10，40≤t ≤60.所以该汽车在这一分钟内所行驶的路程为s ＝600()d v t t ⎰＝203d 2t t ⎰＋4020(50)d t t -⎰＋604010d t ⎰ ＝34t 2200＋(50t －12t 2)4020＋10t 4020 ＝900米． 答案：90014.(2010·烟台模拟)若y ＝0x ⎰(sin t ＋cos t sin t )d t ，则y 的最大值是( )A ．1B ．2C ．－72 D ．0解析：y ＝0x⎰(sin t ＋cos t sin t )d t ＝0x⎰(sin t ＋12sin2t )d t＝(－cos t －14cos2t )0x＝－cos x －14cos2x ＋54＝－cos x －14(2cos 2x －1)＋54＝－12cos 2x －cos x ＋32＝－12(cos x ＋1)2＋2≤2.答案：B15．(2010·温州模拟)若f (x )是一次函数，且10⎰f (x )d x ＝5，1⎰xf (x )d x ＝176，那么21⎰f (x )xd x 的值是________． 解析：∵f (x )是一次函数，∴设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，由10⎰(ax ＋b )d x ＝5得(12ax 2＋bx )10＝12a ＋b ＝5，① 由1⎰xf (x )d x ＝176得10⎰ (ax 2＋bx )d x ＝176，即(13ax 3＋12bx 2) 10＝176，∴13a ＋12b ＝176， ② 解①②得a ＝4，b ＝3，∴f (x )＝4x ＋3， 于是21⎰f (x )x d x ＝21⎰4x ＋3x d x ＝21⎰ (4＋3x)d x ＝(4x ＋3ln x )21＝8＋3ln2－4＝4＋3ln2. 答案：4＋3ln216．设f (x )＝10⎰|x 2－a 2|d x .(1)当0≤a ≤1与a ＞1时，分别求f (a )； (2)当a ≥0时，求f (a )的最小值． 解：(1)0≤a ≤1时，f (a )＝10⎰|x 2－a 2|d x＝0a ⎰(a 2－x 2)d x ＋1a ⎰(x 2－a 2)d x＝(a 2x －13x 3)0a ＋(x 33－a 2x )1a＝a 3－13a 3－0＋0＋13－a 2－a 33＋a 3＝43a 3－a 2＋13. 当a ＞1时，f (a )＝10⎰(a 2－x 2)d x＝(a 2x －13x 3)10＝a 2－13.∴f (a )＝32241(0),331(>311).a a a a a ⎧-+⎪⎪⎨⎪-⎪⎩≤≤(2)当a ＞1时，由于a 2－13在[1，＋∞)上是增函数，故f (a )在[1，＋∞)上的最小值是f (1)＝1－13＝23.当a ∈[0,1]时，f ′(a )＝4a 2－2a ＝2a (2a －1)， 由f ′(a )＞0知：a ＞12或a ＜0，故在[0，12]上递减，在[12，1]上递增．因此在[0,1]上，f (a )的最小值为f (12)＝14.综上可知，f (x )在[0，＋∞)上的最小值为14.课堂练习 计算下列定积分1．50(24)x dx -⎰ 50(24)945x dx -=-=⎰ 2．11x dx -⎰ 11111111122x dx -=⨯⨯+⨯⨯=⎰布置作业1. 设连续函数0)(>x f ,则当b a <时,定积分⎰ba dx x f )(的符号________A.一定是正的B.一定是负的C.当b a <<0时是正的D.以上都不对 2. 与定积分dx x ⎰π230sin 相等的是_________A.⎰π230sin xdx B.⎰π230sin xdx⎰πsin xdx⎰ππ23sin xdx D.⎰⎰+23220sin sin πππxdx xdx3. 定积分的⎰ba dx x f )(的大小_________A. 与)(x f 和积分区间[]b a ,有关,与i ξ的取法无关.B. 与)(x f 有关,与区间[]b a ,以及i ξ的取法无关C. 与)(x f 以及i ξ的取法有关,与区间[]b a ,无关D. 与)(x f 以及i ξ的取法和区间[]b a ,都有关 4. 下列等式成立的是________ A.a b dx ba-=⨯⎰0 B.21=⎰baxdx C.dx x dx x ⎰⎰=-10112 D.⎰⎰=+b abaxdx dx x )1(5. 已知⎰b a dx x f )(=6,则______)(6=⎰dx x f ba6. 已知,18)()(=+⎰dx x g x f b a ⎰=b a dx x g 10)(,则⎰ba dx x f )(=______________ 7. 已知,3)(2=⎰dx x f 则[]=+⎰dx x f 26)(___________8. 计算dx x 21031⎰ 9. 计算dx x 3106⎰演练方阵A 档（巩固专练）1．50(24)x dx -⎰= ( )A ．5B ．4C ．3D ．22．211ln xdx x ⎰= ( )A ．21ln 22 B ．ln 2 C ．2ln 2 D ．ln23．若11(2)3ln 2a x dx x+=+⎰，且1a >，则a 的值为( )A ．6B ．4C ．3D ．24．已知自由落体运动的速率v=gt ，则落体运动从t=0到t=t 0所走的路程为( )A ．203gtB ．20gt C ．202gt D ．206gt5．曲线2x y =与直线2+=x y 所围成的图形（阴影部分）的面积等于 ． 6．()0d xF't t =⎰ ．7．如图，求由两条曲线2x y -=，24x y -=及直线y = -1所围成图形的面积．8．如图，抛物线C 1：y = -x 2与抛物线C 2：y =x 2-2ax (a >0)交于O 、A 两点．若过原点的直线l 与抛物线C 2所围成的图形面积为329a ，求直线l 的方程．9．平地上有一条小沟，沟沿是两条长100m 的平行线段，沟宽AB 为2m ，与沟沿垂直的平面与沟的交线是一段抛物线，抛物线的顶点为O ，对称轴与地面垂直，沟深，沟中水深1m ． （Ⅰ）求水面宽；（Ⅱ）如图所示形状的几何体称为柱体，已知柱体的体积为底面积乘以高，沟中的水有多y xo1 22- -1-1A B C D第7第8图A少立方米10．设)(x f y =是二次函数，方程0)(=x f 有两个相等的实根，且22)(+='x x f ．[来源:学科网] （1）求)(x f 的表达式．（2）若直线)10(<<-=t t x 把)(x f y =的图象与坐标轴所围成的图形的面积二等分，求t的值．B 档（提升精练）1．211dx x ⎰=______________． 2．3211(2)x dx x-⎰=___________．3．求由曲线22y x x =-与x 轴所围的封闭区域的面积．4．已知弹簧每拉长0. 02 米要用9. 8N 的力，则把弹簧拉长0. 1米所作的功为 ． 5．由曲线22y x =-与直线y x =-所围成的平面图形的面积为 ． 6．(cos 5sin 2)d aa x x x x --+⎰= ． 7．321(4)x x dx --=⎰_________________．8．20(sin )x x dx π+=⎰_______________．9．dx x ⎰-222cos ππ_____________．10．已知A （-1，2）为抛物线C ：y =2x 2上的点．直线l 1过点A ，且与抛物线C 相切．直线l 2：x =a (a ≠-1)交抛物线C 于点B ，交直线l 1于点D ．（1）求直线l 1的方程；（2）设∆ABD 的面积为S 1，求BD 及S 1的值；（3）设由抛物线C 、直线l 1、l 2所围成的图形的面积为S 2，求证：S 1∶S 2的值为与a 无关的常数．C 档（跨越导练）1．10()x x e e dx -+=⎰ ( )A ．e e 1+B ．2eC ．e 2D ．ee 1- 2．曲线]23,0[,cos π∈=x x y 与坐标轴围成的面积( ) A ．4 B ．2 C ．25 D ．33．若20(345)ax x dx +-⎰=32a -（1a >），则a = ． 4．4x ⎰= ． 5．求定积分：122320(9)x x dx -⎰．6．求曲线x x x y 223++-=与x 轴所围成的图形的面积．7． 230(2cos 1)x dx π-⎰= ( )8． A ．B ．12-C ．12D8．320|312|x dx -⎰= ( )A ．21B ．22C ．23D ．24 9．下列命题： ①若f(x)是定义在R 上的奇函数，则0()xf t dt ⎰为R 上的偶函数； ②若f(x)是周期为T （＞0）的周期函数，则0()()aa TT f x dx f x dx +=⎰⎰；③0(())()xf t dt f x '''=⎰。