赣州市2018-2019学年度第一学期期末考试高三数学（文科）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集}6|{≤∈=x N x U ，}5,3,1{=A ，}6,5,4{=B ，则=B A C U )(（ ） A ． }2,0{ B ． }5{ C ．}3,1{ D ．}6,4{2.已知R y x ∈,（i 为虚数单位），且i y xi +-=-1，则=++yx i )1(（ ）A ． i 2B ． i 2-C ． i 22+D ．23.“4=ab ”是“直线012=-+ay x 与直线022=-+y bx 平行”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要4.等差数列}{n a 的前n 项和n S 255=S ，95=a ，则8S 的值为（ ） A ． 40 B ． 52 C. 56 D ．645.已知函数⎩⎨⎧≤+>=0),4(0,log )(2x x f x x x f ，则=-)2018(f （ ）A ． 0B ．1 C. 3log 2 D ．26. 设实数y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤-+≤--0830112022y x y x y x ，则x y x z +=的最大值为（ ）A ．2B ．37C. 5 D ．6 7.执行下面的程序框图，若1615=p ，则输出n 的值为（ ）A ．3B ． 4 C. 5 D ．68.已知几何体的三视图及有关数据如图所示，则该几何体的各条棱中，最长的棱的长度为（ ）A ． 2B ．5 C. 22 D ．119.设奇函数)cos(3)sin()(ϕωϕω+-+=x x x f )0(>ω在]1,1[-∈x 内有9个零点，则ω的取值范围为（ ）A ． )5,4[ππB ． ]5,4[ππ C. ]41,51[ππ D ．]41,51(ππ 10.已知圆4:22=+y x O 交y 轴正半轴于点A ，在圆O 上随机取一点B ，则2||≤-OB OA 成立的概率为（ ） A ．3π B ．6πC. 31 D ．6111.已知定义在R 上的可导函数)(x f 的导函数为)('x f ，满足)(')(x f x f >，且1)0(=f ，则不等式)(x f e x>（e 为自然对数的底数）的解集为（ ）A ． ),1(+∞-B ．),0(+∞ C. ),1(+∞ D ．)0,(-∞12.已知抛物线x y 162=的准线与x 轴交于A 点，焦点是F ，P 是抛物线上的任意一点，当||||PA PF 取得最小值时，点P 恰好在以F A ,为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ） A ．212+ B ．12+ C. 215+ D ．15+第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量),2(k a =，)4,1(k b -=，若b a ⊥，则实数=k ． 14.已知3tan =α，则αα2sin 2cos -的值为 ．15.中国古代数学经典《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥为鳖臑，若三棱锥ABC P -为鳖臑，且⊥PA 平面ABC ，3==AC PA ，又该鳖臑的外接球的表面积为π34，则该鳖臑的体积为 ．16. 数列{}n a 的前n 项和n S ，满足11=a ，nn n a a )1(21-+=+，则=-12n S ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且ACB A cos sin 2tan tan =+.（1）求角B 的大小；（2）若4=+c a ，求b 的取值范围.18. 2017年“双节”期间，高速公路车辆很多，某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速)/(t km 分成六段：)65,60[，)70,65[，)75,70[，)80,75[，)85,80[，)90,85[后得到如图的频率分布直方图.（1）求这40辆小型车辆车速的众数和中位数的估计值；（2）若从车速在)70,60[的车辆中任抽取2辆，求车速在)70,65[的车辆恰有一辆的概率.19. 如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，E D ,分别是棱AB BC ,的中点，点F 在1CC 棱上，且AC AB =，31=AA ，2==CF BC .（1）求证：//1E C 平面ADF ；（2）当2=AB 时，求三棱锥DEF A -1的体积.20. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为22，点)2,2(在椭圆上.（1）求椭圆C 的方程；（2）设)2,0(N ，过点)2,1(--P 作直线l 交椭圆C 于不同于N 的B A ,两点，直线NB NA ,的斜率分别为21,k k ，试问：21k k +是否为定值？若是，求出定值，若不是，请说明理由. 21. 已知函数xx a x f 1ln )(+=，a 为实常数. （1）讨论函数)(x f 的极值；（2）当1=x 是函数)(x f 的极值点时，令xx f x g 1)()(-=，设n m <<0，比较2)()(m g n g -与mn mn +-的大小，并说明理由.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程已知直线⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=ty t x l 22221:（t 为参数），曲线⎩⎨⎧==θθsin 3cos 2:1y x C （θ为参数）.（1）求直线l 与曲线1C 的普通方程；（2）已知点)0,1(),0,1(1-F F ，若直线l 与曲线1C 相交于B A ,两点（点A 在点B 的上方），求||||11B F A F -的值. 23.选修4-5：不等式选讲已知函数|||2|)(a x x x f -++=)0(>a . （1）当2=a 时，求不等式6)(>x f 的解集；（2）若函数)(x f 的图像与直线5=y 所围成封闭图形的面积为8，求实数a 的值.2017高三文科数学一、选择题1～5．DABDB 6～10.DCCAC 11～12.BB 二、填空题13． 1- 14． 1710- 15．6 16 ．413n -三、解答题17． 解：（1）2sin tan tan cos CA B A+=∴sin sin 2sin cos cos cos A B CA B A+=∴sin cos +sin cos 2sin cos cos cos A B B A C A B A =∴sin()sin 2sin cos cos cos cos cos A B C C A B A B A+==∴1cos 2B =∵∈πB (0,)∴=3B π（2）∵2224,,2cos 3a c Bb ac ac B π+===+-22()22cos 3b ac ac ac π∴=+--2163b ac ∴=-∵242a c ac ac +≥∴≥204416ac b ∴<≤∴≤<24b ∴≤<18. 解：（1）众数的估计值为最高的矩形的中点， 即众数的估计值等于77.5设图中虚线所对应的车速为x ，则中位数的估计值为：0.0150.0250.0450.06(75)0.5x ⨯+⨯+⨯+⨯-=，解得77.5x =即中位数的估计值为77.5（2）由图可知，车速在[60,65)的车辆数为：10.015402m =⨯⨯=（辆）， 车速在[65,70)的车辆数为：20.025404m =⨯⨯=（辆）设车速在[60,65)的车辆设为,a b ，车速在[65,70)的车辆设为,,,c d e f ，则所有基本事件有：(,),(,),(,),(,),(,)(,),(,),(,),(,)(,),(,),(,)(,),(,)(,)a b a c a d a e a f b c b d b e b f c d c e c f d e d f e f 共15种其中车速在[65,70)的车辆恰有一辆的事件有：(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)a c a d a e a f b c b d b e b f 共8种所以，车速在[65,70)的车辆恰有一辆的概率为815P =.19. 解：（1）(法一)连接CE 交AD 于点P ，连接PF 由,D E 分别是棱,BC AB 中点，故点P 为ABC ∆的重心∴在1CC E ∆中，有123CP CF CE CC == ∴1//PF EC ，又1EC ⊄平面ADF ∴1//C E 平面ADF（法二）取BD 的中点G ，连接1EG,C G 由E 是棱AB 的中点，G 为BD 的中点，∴EG 为ABC ∆的中位线，即//EG 平面ADF 又D 为棱BC 的中点，G 为BD 的中点 由23CD CG =，由13,2AA CF ==，且111C B A ABC -为直三棱柱 ∴123CF CC =，进而得1CD CFCG CC = ∴ 1//DF C G ，即1//C G 平面ADF又1C GEG =G∴ 平面1//EGC 平面ADF又1C E ⊆平面1EGC ∴1//C E 平面ADF(2)取1AA 上一点H 使12AH HA = ∵12CF FC =且直三棱柱111ABC A B C -∴//HF AC ，∵,D E 为中点∴//DE AC ,//DE HF ,//HF 平面1A DE ∴1111A DEF F A DE H A DE D A HE V V V V ----=== 而1111122EHA S ∆=⨯⨯=, 点D 到平面11AA B B 的距离等于32∴11113332212D A HE A DEF V --=⨯⨯==V ∴三棱锥1A DEF -的体积为31220．解：（12222a b -=，22421a b+=， 解得28a =，24b =则椭圆C 的方程为22184x y +=． （2）当直线l 的斜率不存在时，得1414(1,(1,22A B ---，得124k k += 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为2(1)y k x +=+， 令1122(,),(,)A x y B x y由22(1)2184y k x x y =+-⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(21)4(2)280k x k k x k k ++-+-=则1224(2)21k k x x k -+=+.………①，21222821k k x x k -=+………②而12121222y y k k x x --+=+1212122(4)()kx x k x x x x +-+=………③将①②代入③得12k k +=2224(2)212(4)2128k k k k k k k k-++-⨯⨯+-4=综上，124k k +=（定值） 21．解：（1）∵1()ln f x a x x=+()0x >， ∴2211()a ax f x x x x-'=-=()0x > ①当0a >时，当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()0f x '<，()f x 在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭内单调递减.当1,x a ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时()0f x '>，()f x 在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内单调递增. 则当1x a=时()f x 有极小值为1ln f a a a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，无极大值； ②当0a ≤时，当()0,x ∈+∞时，21()0ax f x x -'=<恒成立， ()f x 在()0,+∞内单调递减. 则()f x 为极值．综上：当0a >时()f x 有极小值为1ln f a a a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，无极大值； 当0a ≤时()f x 无极值．（2）∵21()a f x x x '=-，(1)0f '=，∴1a =，∴1()()ln g x f x x x=-= 则()()2g n g m --n m n m -+=1ln ln 1ln 221n n m n m n m n n m m m----=-++， 又∵0,m n << ∴1n m >，构造函数11()ln (1)21x x x x x ϕ-=->+ 则222211(1)12(1)()2(1)2(1)2(1)x x x x x x x x x x ϕ+---'=-=-=+++∴当1x >时，()0x ϕ'>恒成立，∴()x ϕ在(1,)+∞内单调递增 ∴当1x >时，()(1)0x ϕϕ>=即11ln 21x x x ->+， 则有11ln 21nn m n m m->+成立．即ln ln 2n m n m n m -->+ 即()()2g n g m n m n m-->+ 22．解：（1）由直线已知直线1,2:,2x t l y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）， 消去参数t 得：10x y --=曲线12cos ,:,x C y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）消去参数θ得：13422=+y x . （2）设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+221122,221,22,221t t B t t A 将直线l 的参数方程代入13422=+y x 得：0182672=-+t t 由韦达定理可得：718,7262121-=⋅-=+t t t t结合图像可知0,021<>t t ，由椭圆的定义知：11F A F B FB FA -=-()2112FB FA t t t t -=--=-+=. 23．解：（1）由2=a 得()6>x f 等价于622>-++x x 即226x x ≥⎧⎨>⎩或2246x -≤<⎧⎨>⎩或226x x <-⎧⎨-<⎩即3x >或3x <-故不等式()6>x f 的解集为{}33-<>x x x 或； （用绝对值几何意义解同样给分）（2）由0a >得：()⎪⎩⎪⎨⎧-<-+-<≤-+≥-+=-++=2,222,2,222x a x a x a a x a x a x x x f由题意可得：352<⇒<+a a设直线5=y 与()x f y =交于B A ,两点 不妨设：⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-5,23,5,27a B a A 所以封闭图形面积为：()[]()825221=--⋅-++=a x x a S A B 即：24501a a a +-=⇒=或5a =-（舍去） 故1a =.。