解：由已知的X与Y的联合分布律求其边缘分布律为
pi•
p• j P{X 0,Y 0} 6 3 3 P{X 0}P{Y 0}
20 5 5 因此X与Y不相互独立.
注：只要有一个等式不成立就不独立。
例3 设随机变量X与Y相互独立，试确定 a,b,c 的值？
pi•
p• j
解: 根据X与Y相互独立得
P{X 1,Y 0} 6 2 3 P{X 1}P{Y 0} 25 5 5
P{X 1,Y 1} 4 2 2 P{X 1}P{Y 1} 25 5 5
因此X与Y相互独立.
注：若独立必须每个等式都成立。
已知随机变量 ( X ,Y ) 的分布律如下表，问 例2 X与Y是否相互独立？
第三章
§3.4 相互独立的随机变量
一、两个随机变量的独立性 二、n个随机变量的独立性
独立性是概率论的一个重要概念，在第一章中我们
讨论过事件A、B 相互独立的问题， 若
P AB P A P B
则称 A、B 相互独立。其意义是其中一个发生不影 响另一个发生的概率。
在研究二维随机变量时，涉及到两个随机变量， 自然也可提出其中一个的取值是否对另一个的取值 产生影响呢？
1. 两个随机变量的独立性
定义1 若二维随机变量 ( X ,Y ) 对任意的实数 x, y
均有 P{X x,Y y} P{X x}P{Y y} 成立， 则称随机变量X与Y是相互独立的。 命题：X与Y相互独立 F ( x, y) FX ( x)FY ( y) 下面我们寻找判断X，Y 相互独立的办法：
作 业 11
P89: 12, 19
即在平面上除去“面积”为零的集合之外处处成立 。
例1 已知随机变量 ( X ,Y ) 的分布律如下表，问X与Y
是否相互独立？
解：由X,Y的联合分布律求其边缘分布律为 pi•
p• j
由于 P{X 0,Y 0} 9 3 3 P{X 0}P{Y 0} 25 5 5
P{X 0,Y 1} 6 3 2 P{X 0}P{Y 1} 25 5 5
4 x y, 0 x 1, 0 y 1,
f (x, y)
0,
其它．
问X与Y是否相互独X的边缘概率密度
fX (x)
f
(x,
y)dy
1 0
4xydy
2x,
0,
0 x 1; 其 它.
同理
2 y,
fY
( y)
0,
0 y 1, 其它．
相互独立 ↙
p22 p2 p2 (1/ 9 b)(1/ 9 1/ 3 b) b b 2 / 9; p21 p2 p1 (1/ 9 a)(1/ 9 1/ 3 b) 1/ 9 a 1/8;
p23 p2 p3 (1/ 3 c)(1/ 9 1/ 3 b) 1/ 3 c 1/ 6.
例4 设随机变量 ( X ,Y ) 的概率密度为
显然，对任意的实数x,y均有 f (x, y) fX (x) fY ( y)
例5 若二维随机变量
证明X与Y 相互独立的充分必要条件是 0.
证明略. （P79 例5）
2. n个随机变量的独立性（自学）参79页
定理 设随机变量 ( X1, X 2 , X m ) 和 (Y1,Y2 ,Yn ) 相互 独立，h , g 是连续函数，则随机变量 h( X1, X 2 , X m ) 和 g(Y1,Y2 ,Yn ) 也相互独立。
Ⅰ.若 ( X ,Y ) 是离散型随机变量，则X与Y相互独立的
充要条件是 P{X xi ,Y y j} P{X xi}P{Y y j}
即
pij pi p j , i, j 1,2,
Ⅱ.若 ( X ,Y ) 是连续型随机变量，则X与Y相互独立的
充要条件是 f (x, y) fX (x) fY ( y) 几乎处处成立，