例1差分方程——资金的时间价值问题1:抵押贷款买房——从一则广告谈起每家人家都希望有一套(甚至一栋)属于自己的住房，但又没有足够的资金一次买下，这就产生了贷款买房的问题。

先看一下下面的广告(这是1991年1月1日某大城市晚报上登的一则广告)，任何人看了这则广告都会产生许多疑问，且不谈广告中没有谈住房面积、设施等等，人们关心的是：如果一次付款买这栋房要多少钱呢银行贷款的利息是多少呢为什么每个月要付1200元呢是怎样算出来的因为人们都知道，若知道了房价(一次付款买房的价格)，如果自己只能支付一部分款，那就要把其余的款项通过借贷方式来解决，只要知道利息，就应该可以算出五年还清每月要付多少钱才能按时还清贷款了，从而也就可以对是否要去买该广告中所说的房子作出决策了。

现在我们来进行数学建模。

由于本问题比较简单无需太多的抽象和简化。

a.明确变量、参数，显然下面的量是要考虑的：需要借多少钱，用记；月利率(贷款通常按复利计)用R记；每月还多少钱用x记；借期记为N个月。

b．建立变量之间的明确的数学关系。

若用记第k个月时尚欠的款数，则一个月后(加上利息后)欠款，不过我们又还了x元所以总的欠款为k=0，1，2，3，而一开始的借款为。

所以我们的数学模型可表述如下(1)c. (1)的求解。

由(2)这就是之间的显式关系。

d．针对广告中的情形我们来看(1)和(2)中哪些量是已知的。

N=5年＝60个月，已知；每月还款x＝1200元，已知A。

即一次性付款购买价减去70000元后剩下的要另外去借的款，并没有告诉你，此外银行贷款利率R也没告诉你，这造成了我们决策的困难。

然而，由(2)可知60个月后还清，即，从而得(3)A和x之间的关系式，如果我们已经知道银行(3)表示N＝60，x＝1200给定时0A。

例如，若R ＝0．01，则由(3)可算得的贷款利息R，就可以算出053946元。

如果该房地产公司说一次性付款的房价大于70000十53946＝123946元的话，你就应自己去银行借款。

事实上，利用图形计算器或Mathematica这样的数学软件可把(3)的图形画出来，从而可以进行估算决策。

以下我们进一步考虑下面两个问题。

注1问题1标题中“抵押贷款”的意思无非是银行伯你借了钱不还，因而要你用某种不动产(包括房子的产权)作抵押，即万一你还不出钱了，就没收你的不动产。

例题1某高校一对年青夫妇为买房要用银行贷款60000元，月利率0．01，贷款期25年＝300月，这对夫妇希望知道每月要还多少钱，25年就可还清。

假设这对夫妇每月可有节余900元，是否可以去买房呢解：现在的问题就是要求使的x，由(2)式知现＝60000，R＝0．01，k＝300，算得x=632元，这说明这对夫妇有能力买房。

例题2 恰在此时这对夫妇看到某借贷公司的一则广告：“若借款60000元，22年还清，只要；(i)每半个月还316元；(ii)由于文书工作多了的关系要你预付三个月的款，即316×6＝1896元。

这对夫妇想：提前三年还清当然是好事，每半个月还316元，那一个月不正好是还632元，只不过多跑一趟去交款罢了；要预付18％元，当然使人不高兴，但提前三年还清省下来的钱可是22752元哟，是1896元的十几倍哪!这家公司是慈善机构呢还是仍然要赚我们的钱呢这对夫妇请教你给他们一个满意的回答。

具体解法略。

问题2：养老基金今后，当年青人参加工作后就要从其每月工资中扣除一部分作为个人的养老基金，所在单位（若经济效益好的话）每月再投入一定数量的钱，再存入某种利息较高而又安全的“银行”(也可称为货币市场)到60岁退休时可以动用。

也就是说，若退休金不足以维持一定的生活水平时，就可以动用自己的养老基金，每月取出一定的款项来补贴不足部分。

假设月利率及＝0．01不变，还允许在建立养A(不论多少)，每月存入y元(个人和单老基金时自己可以一次性地存入一笔钱0位投入的总和)；通常从三十一岁开始到六十岁就可以动用。

这当然是一种简化的假设，但作为估算仍可作为一种考虑的出发点。

本问题实际上有两个阶段，即退休前和退休后，其数学模型为其中x为每月要从养老基金中提出的款项。

习题1 某大学年青教师小李从31岁开始建立自己的养老基金，他把已有的积蓄1万元也一次性地存入，已知月利率为0．01 (以复利计)，每月存入300元，试问当小李60岁退休时，他的退休基金有多少又若，他退休后每月要从银行提取l000元，试问多少年后他的退休基金将用完你能否根据你了解的实际情况建立一个较好的养老基金的数学模型及相应的算法和程取软件)。

习题2 渔业(林业)管理问题设某养鱼池(或某海域)一开始有某种鱼条，鱼的平均年净繁殖率为R，每年捕捞x条，记第N年有鱼条，则池内鱼数按年的变化规律为注意，在实际渔业经营中并不按条数计算而是以吨记数的。

若对某海域的渔业作业中＝100000吨，R＝0．02，x＝1000吨，试问会不会使得若干年后就没有鱼可捕捞了（资源枯竭了）例2比例分析法——席位分配问题：某学校有三个系联合成立学生会，（1）试确定学生会席位分配方案。

（2）若甲系有100名，乙系60名，丙系40名。

学生会设20个席位，分配方案如何(3)若丙系有3名学生转入甲系，3名学生转入乙系，分配方案有何变化（4）因为有20个席位的代表会议在表决提案时有可能出现10： 10的平局，会议决定下一届增加1席，若在第（3）问中将学生会席位增加一席呢（5）试确定一数量指标衡量席位分配的公平性，并以此检查（1）—（4）。

公平而又简单的席位分配办法是按人数的比例分配，若甲系有100名，乙系60名，丙系40名。

学生会设20个席位，三个系分别应有10，6，4个席位。

系别学生人数所占比例（%）按比例分配的席位按惯例分配的席位甲10310乙636丙344总和2002019席分配完毕后，剩下的1席按照惯例分给余数最大的丙系，于是三个系仍分别占有10、6、4个席位．因为有20个席位的代表会议在表决提案时有可能出现10：10的平局，会议决定下一届增加1席，于是他们按照上述惯例重新分配席位，计算的结果令人吃惊：系别学生人数所占比例（%）按比例分配的席位按惯例分配的席位甲10311乙637丙343总和20021看来，要解决这个矛盾，必须重新研究所谓惯例分配方法，提出更加“公平”的办法．下面就介绍这样一个席位分配模型．设A、B两方人数分别是p1 和p2，分别占有n1 和n2 个席位，则两方每个席位所代表的人数分别是p1 ／n12和p2／n2．很明显，仅当这两个数值相等时，席位的分配才是公平的．但是，通常它们不会相等，这时席位分配得不公平。

不公平的程度可以用数值来表示，它衡量的是“绝对不公平”．从下表所举的例子来看，A、B之间的“绝对不公平”与C、D之间是一样的。

但是从常识的角度看，A、B之间显然比C、D之间存在着更加严重的不公平．所以p n p/n p1/n1-p2/n2A120101212-10=2B1001010C102010102102-100=2D100010100的人数越多，或者说，总人数一定时分配的席位越少。

所以，如果p1／n13＞p2/n2，则A方是吃亏的，或者说，对A是不公平的，由此，我们这样定义“相对不公平”：若p1／n1＞p2／n2，则称为对A的相对不公平值，记做若p1／n1＜p2／n2，则称为对B的相对不公平值，记做假设A、B两方已分别占有n1和n2个席位，我们利用相对不公平的城念来讨论，当总席位再增加1席时，应该给且A方还是B方不失一般性，可设p1／n1＞p2/n2，即此时对A方不公平，，有定义．当再分配1个席位时，关于p／n的不等式有以下三种可能：1)p1／(n1十1)＞p2／n2，这说明即使A方增加1席，仍然对A不公平，所以这1席当然应给A方；2)p1／(n1十1)＜p2／n2，说明当A方增加1席位，将对B不公平，此时应参照式，计算对B的相对不公平值3）说明当B方增加1席时，将对A方不公平，此时计算得对A 的相对不公平值是（注意：在p1/n1p2/n2的假设下，不可能出现p1／n1＜p2／(n2+1)的情况因为公平的席位分配方法应该使得相对不公平的数值尽量地小，所以如果则这1席应给A方；反之应给B方．根据(3)、（4）两式，(5)式等价于并且不难证明1从上述第1)种情况的p1／(n1十1)＞p2／p2也可推出。

于是我们的结论是：当(6)式成立时，增加的1席应分配A方；反之，应分配给B方．若记，则增加的1席位应分配给Q值较大的一方．将上述方法可以推广到有m方分配席位的情况．下面用这个方法，重新讨论本节开始时提出的，三个系分配21个席位的问题．首先每系分配1席，然后计算：甲系n1＝1，乙系， n2=1，丙系，n3=1，因为最大，所以第4席应分配给甲系，继续计算：甲系n1＝2，将与上面的相比，最大，第5席应分给乙系，继续计算。

如此继续，n甲系乙系丙系1（4）（5）578（9）2（6）（8）（15）3（7）（12）（21）4（10）（14）5（11）（18）6（13）7（16）8（17）9（19）10（20）11合计11席6席4席习题：学校共1000名学生，235入住在A 宿合，333人住在B 宿合，432人住在C 宿合．学生们要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数．1）惯例的方法，印按比例分配完整数名额后，剩下名额给余数最大者。

2）Q 值方法。

如果委员会从10人增至15人，分配名额将发生什么变化 ，例3 状态转移问题——常染色体遗传模型随着人类的进化，人们为了揭示生命的奥秘，越来越注重遗传学的研究，特别是遗传特征的逐代传播，引起人们的注意。

无论是人，还是动植物都会将本身的特征遗传给下一代，这主要是因为后代继承了双亲的基因，形成自己的基因对，基因对将确定后代所表现的特征。

下面，我们来研究两种类型的遗传：常染色体遗传和x —链遗传。

根据亲体基因遗传给后代的方式，建立模型，利用这些模型可以逐代研究一个总体基因型的分布。

在常染色体遗传中，后代从每个亲体的基因对中各继承一个基因，形成自己的基因对，基因对也称基因型。

如果我们所考虑的遗传特征是有两个基因A 和控制的，那么就有三种基因对，记为AA ，A ，。

例如，金草鱼由两个遗传基因决定花的颜色，基因型是AA 的金鱼草开红花，型的开粉红色花，而型的开白花。

又如人类的眼睛的颜色也是提高通过常染色体遗传控制的。

基因型是的人，眼睛是棕色，基因型是的人，眼睛是兰色。

这里因为都表示了同一外部特征，我们认为基因A种基因型植物相结合的方案培育植物后代。

那么经过若干年后，这种植物的任一代的三种基因型分布如何第一步：假设：令Λ,2,1,0=n 。

（1） 设n n b a ,和n c 分别表示第n 代植物中，基因型为AA,Aa 和aa 的植物占植物总数的百分率。