X (k )
3.8.2 用DFT计算有限长序列与无限长序列 的线性卷积
用FFT计算有限长序列与无限长序列的线性卷积 问题： · h(n) 为某滤波器的单位脉冲响应,长度有限
· 输入信号 x(n)很长，h(n) 要补许多零再进行计算, 计算量有很大的浪费
解决方法：

重叠相加法 重叠保留法
重叠相加法： 将x(n)分段，每段长度为L，然后依次计算各段与h(n) 的卷积，再由各段的卷积结果得到y(n)。

3.8
DFT(FFT)应用举例
DFT因为具有快速算法FFT，应用非常广泛，限于篇幅，这里 仅介绍DFT在线性卷积和频谱分析两方面的应用。 本节主要论述：

3.8.1 用DFT（FFT）计算两个有限长序列的线性卷积 3.8.2 用DFT计算有限长序列与无限长序列的线性卷积

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3.8.1 用DFT(FFT)计算两个有限长序列的 线性卷积
比较截断前、后的幅度谱的差别： 泄露 定义：原来的离散谱线向两边展宽，这种将谱线展宽的现象称为频谱 泄漏。 约束因素：矩形窗的长度越长，展宽的宽度就越窄。 影响：泄漏会使频谱模糊，谱的分辨率降低。 谱间干扰 出现原因：频谱卷积以后存在着的旁瓣，引起不同频率分量干扰。旁 瓣淹没信号主谱线或者旁瓣误认为另一信号谱线。 影响：降低谱分辨率 泄漏和谱间干扰统称为信号的截断效应。 减轻截断效应的方法---提高谱分析的分辨率及精确性 。 1:增加窗时域的宽度，运算量及存贮量增大 2：其他缓变的窗，比如三角形窗等
例：设x1(n)和x2(n)都是N点的实数序列，试 用一次N点DFT运算来计算它们各自的DFT: DFT [ x1 (n)] X1 (k ) DFT [ x2 (n)] X 2 (k )
解：利用两序列构成一个复序列
w(n) x1 (n) jx2 (n)
则
W (k ) DFT [w(n)] DFT [ x1 (n) jx2 (n)] DFT [ x1 (n)] jDFT [ x2 (n)] X1 (k ) jX 2 (k )

F0 1/ T0 fs / N 提高采样频率不能提高频率分辨率 NT 提高了采样频率，虽然在相同的观察时长那的点数增多了，但与此同时 采样频率也变大了，点数增加几倍采样频率增加几倍，所以不改变观察 时长而仅仅提高采样频率并不能提高DFT谱的频率分辨率。 1
补零并不能提高频率分辨率 补零信号的谱，是通过截短信号的谱进行了推测（插值算法）得来的， 它并不能反映原信号的谱，所以虽然补零信号的谱线间隔变小了，但是 除了从截短信号的谱中取出来的谱线以外，其余的谱线都是无效的。去 掉这些无效的谱线，采样频率不变，有效的谱线数不变，所以其物理频 率分辨率自然没有改变。
公式推导及参数选择
模拟信号进行频谱分析时，有几个重要的参数要选择， 采样频率 Fs 频率分辨率F0 频谱分析范围 采样点N
信号的最高截止频率 能够分辨的两个频率分量最 小的间隔
Fs 2
与对信号的观测时间有关
T 时域采样间隔 f s 时域采样频率 T0 信号记录长度 F0 （频率分辨率）频域采样间隔 N 采样点数 f h 信号最高频率 f s 2 f h f s 1/ T
参数确定
1 (1)由采样定理， f s 2 f h , T 2 fh
（2）由频谱分辨率确定N
fs 1 N , 一般为2的整数次幂 F0 F0T
（3）确定最小记录长度
N 1 T0 =NT = f s F0
x(t ) 0.15sin(2 f1t ) sin(2 f 2t ) 0.1sin(2 f3t ) f1 1Hz, f 2 2 Hz, f3 3Hz; f s 32 Hz x(n) x(nT ) 0.15sin(2 / 32n) sin(2 / 32n) 0.1sin(2 / 32n) 32 64 point DFT F0 = 0.5Hz 64
f s NF0 T0 1/ F0
2 k k NT k fs fk k NT N
T0 NT
T0 f s N T F0
频率响应的混叠失真及参数的选择
时域抽样：f s 2 fh 频域抽样：F0 1/ T0
T0 f s N T F0
信号最高频率与频率分辨率之间的矛盾
由x1 (n) Re[w(n)]得
X1 (k ) DFT [ x1 (n)] DFT {Re[ w(n)]} Wep (k ) 1 [W ((k )) N W * (( N k )) N ]RN (k ) 2
由x2 (n) Im[w(n)]得
1 X 2 (k ) DFT [ x2 (n)] DFT {Im[ w(n)]} Wop (k ) j 1 [W ((k )) N W * (( N k )) N ]RN (k ) 2j
用DFT对模拟信号作频谱分析
信号的频谱分析：计算信号的傅里叶变换
a，b为任意常数 max( Rx , R y ) R z R min( Rx , R y )
a，b为任意常数 max( Rx , R y ) R z R min( Rx , R y )
3）最小记录点数
N fs 1 , 一般为2的整数次幂 F0 F0T
2 f h 2 4 103 N 800 F0 10
取N 2m 210 1024 800
例：有一调幅信号
xa t 1 cos 2 100t cos 2 600t
2）缓慢截短
截断效应 定义：对无限长的模拟信号进行截断而引起的误 差现象称为截断效应。 采样序列 x ( n ) ，对它用长为N的矩形窗进行截断： xN n x n RN n
矩形窗 R cos w0n , w0 4 加矩形窗前、后的幅度谱
用DFT做频谱分析，要求能分辨 xa t 的 所有频率分量，问 (1)抽样频率应为多少赫兹（Hz）? (2)抽样时间间隔应为多少秒（Sec）? (3)抽样点数应为多少点？
解：
xa t 1 cos 2 100t cos 2 600t
cos 2 600t 1 1 cos 2 700t cos 2 500t 2 2
y (n)
i i 0

yi ( n ) 的长度为N=L+M-1。用N点FFT和IFFT计算 yi ( n ) ,再按上式求和， yi (n) h(n) xi (n) 得到。
计算步骤: (1)计算H(k)=DFT[h(n)] ，N=L+M-1，i=0； (2)读入xi ( n ) 并计算 X i (k ) DFT[ xi (n)]N ； (3) Yi (k ) H (k ) X i (k ) ； (4)yi (n) IDFT[Yi (k )]N，n=0, 1, 2, …, N-1； (5) 将各段y (n)(包括重叠部分）相加，y(n)= y (n) i i
| X (k ) |
35
30
25
20
15
10
5
0
0
5
10
15
20
25
30
35
k
| X (k ) |
35
30
25
20
15
10
5
0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
Hz
例：有一频谱分析用的FFT处理器，其抽样点数 必须是2的整数幂，假设没有采用任何的数据处理 措施，已给条件为：
1 ）频率分辨率 10 Hz 2）信号最高频率 4kHz
试确定以下参量： 1 ）最小记录长度T0 3）在一个记录中最少点数N
2）抽样点间的最大时间间隔T（即最小抽样频率）
解： 1）最小记录长度：
1 1 T0 0.1s F0 10
N 1 T0 =NT = f s F0
2）最大抽样间隔 （f s 2 fh
f s 1/ T）
1 1 T 0. ms 125 3 2 f h 2 4 10
（1）抽样频率应为
f s 2 700 1400Hz
（2）抽样时间间隔应为
1 1 T 0.00072Sec 0.72ms f s 1400
(3)因为频率分量分别为500、 、 600 700Hz
得 F0 100Hz
N f s / F0 1400 /100 14
最小记录点数N 14
用DFT（FFT）对周期信号进行谱分析的误差来源

1.频谱混叠 采样频率不满足采样定理 一般模拟信号的频谱函数并不是锐截止的 信号中总含有或多或少的干扰或噪声
f s 2.5 3.0 fh
2 频谱泄漏
对时域截短，使频谱变宽拖尾，称为泄漏
改善方法：
1）增加x(n)长度

3. 栅栏效应 定义：N点DFT（FFT）得到的只是N个采样点上的频谱值，两点之 间的频谱值是不知道的，就好像被栅栏遮住一样 应对策略： 增多DFT（FFT）的变换点数
在信号尾部加零的方法加大DFT（FFT）的变换点数。谱线更密。
频率分辨率
F0 1/ T0
提高频率分辨率方法： 增加信号实际记录长度
T0 f s N T F0
要增加信号最高频率f h 则f s 当N 给定 F0必 ，即分辨率
1 要提高频率分辨率，即F0 则T0 NT F0 当N 给定 则T f s 要不产生混叠，f h必
信号最高频率f h的确定
t0 Th / 2
1 1 fh Th 2t0
假设h(n)和x(n)是因果序列，对x(n)进行分段，每段长为L， 则x(n)可以表示为如下形式: