8. 如图表示一个 5 点序列 x(n); (1) 试画出 y1 (n) x(n) x(n); (2) 试画出 y 2 (n) x(n)⑤ x(n) ; (3) 试画出 y 3 (n) x(n) ⑩ x(n)。
~ 解： (1)要使X (k )为实数,即要求 : ~ ~ X * (k ) X (k ) 根据DFT的性质可知 : ~ x (n)在其 一个周期内应满足实部偶对称 , 虚部奇对称 (关于n 0为轴) , 又 由图知：~ x (n)为实序列, 虚部为零, 故 x(n) 应满足偶对称： ~ x ( n) ~ x (n), 即~ x (n)以n 0为对称轴偶对称 , 故第二个序列满足这个 条件。
1 a[ 2
e e
j
0N
2
0N
2
(e
e
j
0N
2 1 2 j ( k 0 ) 2 N
1 2 j ( k 0 ) 2 N j
(e
2
1 2 j ( k 0 ) 2 N j
e
j
0N
0N
2
e e 1 a[ 2
(e
e
0N
2
)
1 2 j ( k 0 ) 2 N j
第三章 离散傅立叶变换
1.如下图，序列 x(n)是周期为 6 的周期性序列，试求其傅立叶级数的系数。
~ 解 : X(k )
n 0 j 2 k 14 12e 6
x (n )W6nk ~
5
n 0 2 j 2k j 2 3k 10e 6 8e 6
j x ( n )e ~
n 1, 0 n 4 3. 设x(n) , h(n) R4 (n 2) , 0 ， 其它n ~ 令 ~ x (n) x(( n)) 6 , h (n) h(( n)) 4 , ~ 试求~ x (n)与h (n) 的周期卷积并作图。
解：在一个周期内的计算值 ~ ~ ~ y (n) ~ x (n ) * h (n ) h (n m) ~ ~ ~ y (n) ~ x (n ) * h (n ) h (n m)
0 0 0

e
j
0 N 2
(e
j
0 N 2
e
j
0 N 2
)
1 2 1 2 j ( k 0 ) j ( k 0 ) 2 N e (e 2 N
0
1 2 j ( k 0 e 2 N
) )
N j N e 2 sin( 0 ) 1 2 a 1 2 2 j 2 ( N k ) 1 sin( k 0 ) e N 2
jk
)
1 (1) k
j k
1 e 4 ~ 当 k 2,4,6 时, X 3 (k ) 0

第一, 第三个序列满足 ~ X (k ) 0 ， k 2 , 4 ,

7 在下图中画出了两个有限长序列 , 试画出它们的六点圆周卷积 。
5 y ( n ) x1 ( m ) x 2 ((n m )) 6 R6 ( n ) m 0
6. 如图画出了几个周期序列~ x (n).这些序列可以表示成 傅里叶级数 ~ x ( n) 1 N
X ( k )e
k 0
N 1
~
j ( 2 / N ) nk
;问:
(1) 哪些序列能够通过选择时间原点使所有的 X (k )成为实数 ? (2) 哪些序列能够通过选择时间原点使所有的 X (k ) [除 X (0) 外] 成虚数 ? (3) 哪些序列列能做到 ~ x (k ) 0, k 2,4,6,
解 : ( 1 ) x ( n ) a (cos 0 n ) RN ( n ) X (k )
N 1 n 0
a(cos0
j 2 nk n )e N R
N (k )
j 2 nk j n N 1 j 0 n 1 0 a (e e ) e N RN ( k ) 2 n 0
5
2 nk 6
6e
j 2 4 k 6
10e
j 2 5k 6
计算求得:
~ ~ X (0) 60 ; X (1) 9 j3 3 ; ~ ~ X (3) 0 ; X (4) 3 j 3 ;
~ X (2) 3 j 3 ; ~ X (5) 9 j3 3 。
0

e
j
0 N
2
1 2 j ( k 0 e 2 N
2 ) 1 sin( k 0 ) N 2 sin(
0 N
)
(2) x ( n ) a n RN ( n ) X (k )
N 1 n 0
a
n
e
j2 nk N Nhomakorabea1 aN 1 ae
等各序列。
x ( n ) a (cos 0 n ) RN ( n ) X ( k ) a (cos 0 n )e
n 0 N 1 n 0 N 1
j 2N nk
RN ( k )
j 2N nk
j 0 n 1 e j0n )e 2 a[ ( e
]RN ( k ) ]R N ( k ) ]R N ( k ) ) ) ] )
n 0 j 2 k e 3
j x ( n )e ~
5
2 nk 6
4. 已知x (n )如图P3 1所示, 试画出 x((n ))5 , x ((n ))6 R6 (n ), x((n ))3 R3 (n ) x((n ))6 ,
解:
x ((n 3))5 R5 (n ), x((n ))7 R7 (n )
( N 1) 2
(2n 1)W
n 1
N 1
nk N
N ( N 2) 2
nW
n 1
N 1
nk N
N ( N 2) 2 X 1 ( k ) N ( N 2) X (k ) 2N k 1 WN
k N ( N 2)W N N2 k 2 (1 W N )
(e
1 2 j ( k 0 ) 2 N
e )
1 2 j ( k 0 ) 2 N
0N
2
1 e sin( k 0 ) N 2 0N j N e 2 sin( 0 ) 2 ] 1 2 j ( k 0 ) 1 e 2 N sin( k 0 ) N 2
~ 2. 设x(n) R4 (n), x (n) x((n))6 . ~ ~ 试求X (k )并作图表示~ x (n), X (k ) 。
~ 解 : X (k )
n 0
x (n )W6nk ~
j k
5
1 e 3 e jk ~ ~ ~ 计算求得：X (0) 4 ; X (1) j 3 ; X (2) 1 ; ~ ~ ~ X (3) 0 ; X (4) 1 ; X (5) j 3 。
(k )
（4）x(n) nR N (n)
nk X (k ) nW N R N (k ) n 0 k ( n 1) k WN X (k ) nW N R N (k ) n 0 k nk ( n 1) k X (k )(1 W N ) nW N nW N n 0 n 0 N 1 N 1 N 1 N 1
1 2 j ( k 0 ) 2 N
e
sin(
0N
2

5
试求以下有限长序列的 N点DFT (闭合形式表达式 ) (1) x ( n ) a (cos 0 n ) R N ( n ) ( 2) (3) (4) (5) x(n) a n RN (n) x ( n ) (n - n 0 ), x(n) nR N ( n ) x(n ) n 2 RN (n) 0 n0 N
k N 1 j ( 2N 1 a e 2 n 0
0
0
)n

N 1 j ( 2 ) n 0 e N R n 0
0


N (k )
1 e j N 1 e j N 1 a 2 j ( 2 k ) j ( 2 k N 1 e N 1 e
j 2 k N
(3) x ( n ) ( n n0 ) , 0 n0 N X (k )
N 1 n 0 N 1 n 0
x ( n )e
j 2 nk N R
N
(k )
N
( n n0 ) e
N
j 2 nk N R
(k )
j 2 n0k e N R
n W
2 n0
N 1
( n 1) k N
k X (k )(1 W N ) k WN

n0
N 1
nk n 2W N
n W
2 n0
N 1
( n 1) k N

2k 4W N

3k 9W N

( N 1) k 2k 3k ( N 1) 2 W N [W N 4W N ( N 1) k 2 ( N 2) 2 W N (N 1 ） ]
e
n0
2
j nk 4

1
3 j k e 4 j k e 4
当 k 2,4,6

1 ~ 时, X 1 (k ) 0
对于第三个序列： ~ x 3 ( n) ~ x1 (n) ~ x1 (n 4) 根据序列移位性质可知 : ~ ~ ~ X 3 (k ) X 1 (k ) e jk X 1 (k ) (1 e