历年自主招生试题分类汇编——不等式5. （2014年北约）已知1x y +=-且,x y 都是负数,求1xy xy+的最值. 【解】由0,0x y <<可知,1||1||||1x y x y x y +=-⇒+=⇒+=,所以2(||||)1||||||44x y xy x y +=⨯≤=,即1(0,]4xy ∈,令1(0,]4t xy =∈,则易知函数1y t t =+在(0,1]上递减,所以其在1(0,]4上递减,于是1xy xy +有最小值117444+=,无最大值.解答二：1()()x y =-+-≥104xy <≤，而函数1()f t t t=+在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞单调递增，故1()()4f xy f ≥，即1174xy xy +≥，当且仅当12x y ==-时取等号．10. （2014年北约）已知12,,,n x x x R +∈,且121n x x x =,求证:12)(2)1)n n x x x +≥.【证】(一法:数学归纳法)①当1n =时,111x =≥=右边,不等式成立;②假设*(1,)n k k k N =≥∈时,不等式12)(2)1)k k x x x +≥成立.那么当1n k =+时,则1211k k x x x x +=,由于这1k +个正数不能同时都大于1,也不能同时都小于1,因此存在两个数,其中一个不大于1,另一个不小于1,不妨设11,01k k x x +≥<≤, 从而111(1)(1)01k k k k k k x x x x x x +++--≤⇒+≥+,所以121)(2)k k x x x x ++1211)[22()]k k k k x x x x x x ++=+++1121)(21)1)1)1)k k k k x x x x ++≥+≥=其中推导上式时利用了1211()1k k k x x x x x -+=及n k =时的假设,故1n k =+时不等式也成立.综上①②知,不等式对任意正整数n 都成立.(二法)左边展开得12)(2)n x x x +12121212111()(2)()k k nn n n n k i i j i i i n i i j ni i i nx x x x x x x x x ---=≤<≤≤<<<≤=+++++∑∑∑由平均值不等式得1112121212111211()(())k k knnnk k k k C C C k k k i i i ni i i n n n i i i ni i i nx x xC x x x Cx x x C--≤<<<≤≤<<<≤≥==∑∏故12)(2)n x x x +1122(2)(21)n n n n k k n n nn n n C C C C ---≥++++++=+,即证.(三法)由平均值不等式有111()n nnk k n ==≥……①;111(n nn kk n ==≥……② ①+②得11211()()nn n nk k x x x n n x =≥⋅,即12)(2)1)n n x x x +≥成立.(四法)由AM GM-不等式得：11(n i n=≥，11(ni n =≥，两式相加得：1≥，故1)1)nn i i x =≥∏．1．（2011年北约文）02απ<<，求证：sin tan ααα<<． 【解析】 不妨设()sin f x x x =-，则(0)0f =，且当02x π<<时，()1cos 0f x x '=->．于是()f x 在02x π<<上单调增．∴()(0)0f x f >=．即有sin x x >．同理可证()tan 0g x x x =->． (0)0g =，当02x π<<时，21()10cos g x x '=->．于是()g x 在02x π<<上单调增。
∴在02x π<<上有()(0)0g x g >=。
即tan x x >。
注记：也可用三角函数线的方法求解． 7. （2014年华约）已知*,,n N x n ∈≤求证:2(1)n x x n n e x n--≤.【证明】原不等式等价于2((1))xn nx n x n e n-≤-⋅.当2x n ≥,上述不等式左边非正,不等式成立;当2x n <时,由1(0)y e y y ≥+≥及贝努力不等式(1)1(1,1)n y ny n y +≥+≥>-,从而22222((1))((1)(1))(1)(1)xnn n n x x x x x n e n n n n n x n n n n n-⋅≥-⋅+=-≥-⋅=-,即证.1. （2014年卓越联盟）32||210x x -+<,求x 范围.【解】由3232||210||2||10(||1)(|||0x x x x x x x -+<⇔-+<⇔-<所以由数轴标根法得15||((1,2x +∈-∞,又因为||0x >,所以15(1)(1,2x +∈-.1、 （2013年卓越联盟）设函数()sin f x x x =．若1x 、2ππ22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，，且()()12f x f x >，则A ．12x x >B ．120x x +>C ．12x x <D ．2212x x >答案:（文科）D ．历年自主招生试题分类汇编——初等数论7．（2013年北约）最多有多少个两两不等的正整数，满足其中任意三数之和都为素数． 解析 设满足条件的正整数为n 个．考虑模3的同余类，共三类，记为0，1，2． 则这n 个正整数需同时满足①不能三类都有；②同一类中不能有3个和超过3个．否则都会出现三数之和为3的倍数．故4≤n ．当4=n 时，取1，3，7，9，其任意三数之和为11，13，17，19均为素数，满足题意， 所以满足要求的正整数最多有4个．题6（2012年北约）在1，2，…，2012中取一组数，使得任意两数之和不能被其差整除，问最多能取多少个数？解： 将1，2，…，2012分成（1，2，3），（4，5，6，）…，（2008,2009,2010）,（2011,2012）这671组，如果所取数672n ≥，则由抽屉原理必然有两个数属于同一组，不妨设为a b >，则1a b -=或2。
当1a b -=时，此时a b -整除a b +，不合要求。
当2a b -=时，此时，a 与b 同奇偶，所以a b +为偶数，从而a b -也能整除a b +，也不合要求。
∴671n ≤，考察1,4,7，…，2011这671个数中的任两数a b >，则32,a b k k N *+=+∈，而3,a b l l N *-=∈，∴a b -不整除a b +，从而可知，最多能取671个数，满足要求。
评析： 本题考查整除问题，而解答主要用到竞赛数学中的抽屉原则和剩余类，整除等简单的数论知识，体现出自主招生试题要求考生有一定的竞赛数学知识，并掌握数学竞赛的一些常用方法和技巧。
6. （2013年华约）已知,,x y z 是互不相等的正整数,|(1)(1)(1)xyz xy xz yz ---,求,,x y z . 【解】本题等价于求使(1)(1)(1)1()xy xz yz xy yz zx xyz x y z xyz xyz---++-=-+++为整数的正整数,,x y z ,由于,,x y z 是互不相等的正整数,因此|1xyz xy yz zx ++-,不失一般性不妨设x y z >>,则13xyz xy yz zx yx ≤++-<,于是3z <,结合z 为正整数,故1,2z =, 当1z =时,|1xy xy y x ++-,即|1xy y x +-,于是12xy xy y x x ≤++-<,所以2y <, 但另一方面y z >,且为正整数,所以2y ≥矛盾,不合题意.所以2z =,此时2|221xy xy y x ++-,于是2221xy xy y x ≤++-,即221xy y x ≤+-, 也所以224xy y x x <+<,所以4y <,又因为2y z >=,所以3y =; 于是6|55x x +,所以655x x ≤+,即5x ≤,又因为3x y >=,所以4,5x =, 经检验5x =符合题意,于是符合题意的正整数,,x y z 有(,,)x y z =(2,3,5)、(2,5,3)、(3,2,5)、(3,5,2)、(5,2,3)、(5,3,2)注:该题与2011年福建省高一数学竞赛试题雷同.历年自主招生试题分类汇编——导数7. （2014年华约）已知*,,n N x n ∈≤求证:2(1)n x x n n e x n--≤.【证明】原不等式等价于2((1))xn nx n x n e n-≤-⋅.当2x n ≥,上述不等式左边非正,不等式成立;当2x n <时,由1(0)y e y y ≥+≥及贝努力不等式(1)1(1,1)n y ny n y +≥+≥>-,从而22222((1))((1)(1))(1)(1)xnn n n x x x x x n e n n n n n x n n n n n-⋅≥-⋅+=-≥-⋅=-,即证.7. （2013年华约）已知()(1)1x f x x e =-- 求证:(1)当0x >,()0f x <;(2)数列{}n x 满足111,1n n x x n x e e x +=-=,求证:数列{}n x 单调递减且12n n x >. 【解】(1)当0x >时,()0xf x xe '=-<,所以()f x 在(0,)+∞上递减,所以()(0)0f x f <=. (2)由11n nx x n x ee +=-得11n n x x ne ex +-=,结合11x =,及对任意0,1xx e x >>+,利用数学归纳法易得0n x >对任意正整数n 成立,由(1)知()0n f x <,即1n n xxn e x e -<, 即1n n x x n n x ex e +<,因为0n x >,所以1n n x x e e +<,即1n n x x +>,所以数列{}n x 递减,下面证明12n n x >,用数学归纳法证,设1()x e g x x -=,则221()()x x xe e f x g x x x -+'==-, 由(1)知当0x >时,()0f x <,即()0g x '>,故()g x 在(0,)+∞递增,由归纳假设12n n x >得1()()2n n g x g >,要证明1112n n x ++>只需证明1112n n xe e ++>,即112()n n g x e +>,故只需证明1121()2n n g e +>,考虑函数2()()x h x xg x xe =-,因为当0x >时212x x e >+,所以222()(1)[(1)]022x x xxx x h x e e e e =-+=-+>,故()h x 在(0,)+∞上递增,又102n >,所以1()02n h >,即1121()2n n g e +>,由归纳法知,12n n x >对任意正整数n 成立.注:此题的函数模型与2012年清华大学保送生考试试题的函数模型相似.(14) （2012年华约）记函数2()1,1,22!!nn x x f x x n n =+++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅证明：当n 是偶数时，方程()0n f x =没有实根；当n 是奇数时，方程()0n f x =有唯一的实根nθ，且2n n θθ+＞。