初中几何专题五：图形变换问题一、旋转旋转变换：定义：将平面图形F绕这个平面内一定点O在这个平面内旋转（顺时针和逆时针）一个角α得到新图形F’，这种几何变换叫做旋转变换，定点O叫做旋转中心，定角α叫做旋转角，如图所示。
→①图形与图形是全等形。
②图形F与图形F’的对应线段相等。
③图形F与图形F’的对应线段上的对应点的顺序相同。
④若图形F上一点A在图形F上的对应点为A’，则∠AOA‘=α⑤图形F与图形F’的对应角相等。
⑥图形F与图形F’的任意一对对应线段（或延长线）的夹角都等于α（0°＜α≤90°）或180°-α（90°＜α＜180°）[注]：旋转变换法是通过图形的旋转变换，借助图形各元素之间的新旧位置关系探索解题途径的一种方法，它的关键是选择适当的旋转中心，寻找合适的旋转角，正确运用旋转变换的六条性质去解题。
解题策略：图形的旋转是把图形的一部分或全部绕着一个确定的点从一个位置移动到另一个位置。
通过旋转可以把题目中一些不明朗的关系明朗化，它的最大特点是在旋转过程中旋转部分两点之间的距离不变、两直线间的夹角不变和对应直线的夹角等于旋转角。
它的使用范围一般是等腰三角形或中心对称图形。
有时再结合基本辅助线添加更能体现其在添加辅助线中的优势。
一、基本性质应用例1：如图所示，用一张半透明的薄纸覆盖在画有任意△AOB的纸上，在薄纸上画出与△AOB重合的一个三角形，然后用一板图钉在点O处固定。
将薄纸绕着图钉（即O点）转动一个角度450，薄纸上的三角形就旋转到了新的位置，标上A ˊ，O，Bˊ，我们可以认为△AOB旋转450后变为△AˊOBˊ，从图中我们可以发现点A旋转到点Aˊ，OA旋转OAˊ，∠AOB旋转到∠AˊOBˊ，这些都是相互对应的点，线段与角，请你再仔细观察图形回答。
（1）点B的对应点是哪一个点？线段OB的对应线段是哪一个线段？∠B的对应叫是哪个角？（2）在将△AOB旋转到△AˊOBˊ的位置时，旋转中心是哪一个点？旋转角度是多少°？（3）△AOB的边OB的中心D的对应点在哪里？解；根据图示可以发现：点B的对应点是Bˊ，线段OB的对应线段是OBˊ，∠B的对应角是∠Bˊ；旋转中心是点O ，旋转的角度是450；△AOB 的边OB 的中心D 的对应点为对应边线段OB 的中心D 二、旋转时对称图形的认识与区分如图所示：我们可以发现等边三角形，平行四边行，圆，它们都是一个共同点，这些图形能与自身重合像这种一个图形绕着某一点旋转一定角度后能与自身重合的图形是旋转对称图形。
例1：在上述三个基本平面图形中，他们的旋转中心是哪一点，旋转角度是多少？对于这三个旋转图形的旋转方式是不是只有一种呢？解析：等边三角形的旋转中心是其三边垂直平分线（三个内角平分线）的交点；它围绕其中心旋转1200后能与自身重合，平行四边行的旋转中心是对角线交点，它围绕其旋转中心旋转1800后能与自身重合，而圆的旋转中心是其圆心，它围绕其圆心旋转任意一个角度都能与自身重合。
例2：如图在△ABC 的斜边AB 上取两点E ，F ，使∠FCE=450。
若AE=a ，EF=b ，FB=c 。
则以 a ，b ，c 为边的三角形是什么三角形？ 研究对象：确定三角形的类型 角度：旋转解析：将△ACE 绕点C 逆时针旋转900，得到△BCD ，连接DF 。
显然△AC E ≌△BCD ，∴AE=BD=a,CE=CD ,∠ACE=∠BCD,易得∠DCF=450.所以△ECF ≌△DCF,所以DF=EF=b,再由旋转的性质可得AB ⊥BD.所以△FBD 是直角三角形,所以a,b,c 为边的三角形是直角三角形. 三、旋转思想的应用例1：如图，正方形ABCD 中，E 为BC 边上一点，∠EAD 的平分线交DC 与F 。
求证：B E ＋DF=AE 研究对象：B E ＋DF=AE 角度： 旋转解析：把△ADF 绕点A 顺时针旋转900到△ABG 的位置，由BG=DF 知。
只需证EG=EA 即可。
因而需要证∠G=∠EAG 。
证明：把△ADF 绕点A 顺时针旋转900到△ABG 的位置，则BG=DF 。
∠G=∠DFA 。
∠1=∠4。
因为DC ∥AB 。
所以∠DFA=∠FAB 。
因为∠1=∠2。
所以∠2=∠4所以∠2＋∠3=∠4＋∠3。
即∠FAB=∠EAG 所以∠EAG=∠G 所以EA=EG=BE+GB=BE+FD 。
FE NMCBDA例2：如图：分别以△ABC 的边AB 、AC 和BC 为边作等边△ABD 、等边△ACF 、等边△BCE ，求证：ADEF 是平行四边形。
证明：如图以B 为旋转中心，将△CAB 按逆时针旋转60°，∵BC=BE,BA=BD,∠CBA=∠EBD,∴△CBA 按逆时针方向旋转60°后恰好与△EBD 重合，于是，由旋转变换的性质6可知，CA 的延长线与DE 的延长线的夹角为60°，又∠CAF=60°,∴AF ∥DE ，又DE=AC=AF,∴ADEF 是一个平行四边形。
例3：如图，已知△ABC 中，点M 是BC 边上的中点，过M 作∠BAC 的平分线AD 的平行线交AB 于E ，交CA 的延长线于F 点。
求证：BE=CF分析：这一题的已知条件中有M 是线段BC 的中点， 即点M 为线段BC 的对称中心，同时考虑到相似三角 形中的基本图形“8”字形，故可将△FMC 绕中点 M 旋转180°，这时线段CF 也由原来的位置移动到线段 BN 位置，而BN 、E 同在△BEN 中，只要证明△BEN为等腰三角形即可。
而∠Ｎ＝∠Ｆ，∠BEM=∠FEA ，只要证明∠FEA=∠F 。
又∠F=∠CAD ，∠FEA=∠BAD ，AD 又是角平分线，从而此题可证。
此题的解题关键在于将线段CF 旋转到线段BN ，从而将要证明相等的两条线段集中到一个三角形中，而这一考虑正是基于点M 为线段BC 的中点（对称中心），因此，有中心对称图形的几何题的辅助线添加不妨仿此一试。
二、轴对称轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形对称变换法：定义：把一个平面图形F 沿着某一条直线l 翻转180°，得到另一图形F 1，（如图所示），这种几何变换叫做轴对称变换，这时我们说图形F 与F 1关于直线l 对称，他们的对应点叫做关于直线l 的对称点，直线l 叫做对称轴。
→①关于某条直线对称的两个图形是全等形。
②如果两个图形关于某条直线对称，那么它们的对应点连线被对称轴垂直平分。
③两个图形关于某条直线对称，如果他们的对应线段（或其延长线）相交，那么交点必在对称轴上。
解题策略：通过翻折可以构造出轴对称图形并充分利用轴对称图形的性质进行解题。
例如等腰三角形、等腰梯形等等，它的基本特点是各个对称点到对称轴的距离相等。
A B C D E实际应用问题：在阅读理解题意的基础上，把实际问题抽象成数学问题 （1）设计轴对称图案：给出基本图形，设计对称图案，并说明含义 （2）平面镜成像问题，镜里和镜外两个物体或是图形关于镜面成轴对称（3）剪纸对折的次数N 与要剪的轴对称图形的对称轴的条数M 之间的关系是M=2？ 例1： 从轴对称的角度看，你觉得哪两个图形比较独特，简单说明理由对象：五个图形 角度：轴对称的特点分析：第一角度：从定义的角度。
我们可以E 是不同的，因为它不是对称的图形；从对称轴的条数的角度，我们知道C 是不同的，因为它有无数条对称轴例2 ：标号A 、B 、C 、D 正方形沿虚线剪开后，得到标号为P 、Q 、M 、N 关系的图形填空：A 与（）对应，B 与（）对应，C 与（）对应，D 与（）对应 对象：图形 角度：对称分析：第一角度：沿图中交出图形的特征，即两个对称的图形必然全等的特征，去寻找图中的组成图形，例如A 剪出三个三角形，而三个三角形组成的是M 。
因而A 与M 对应，以后依次类推例3 ：把一个三角形对折三次后，沿虚线剪下，则所得到的图形是上折 右折 右下折 剪下分析：在解答图形折叠问题时，一般先作出折叠前后的图形形状及位置，然后再利用轴对称变换的性质解题。
通过实物演示与操作和空间想象，易选出正确答案。
解C 。
例4：一次幽默晚会上，主持人出了一道题目，“如何把2+3=8变成一道真正的等式”很长时间没有人答出，小英仅仅拿了一面方的镜子，很快解决了答题板上的这道题目，你知道她是怎样做的么？解：镜子起到了一个对称的作用，把镜子按图所示的样子放置，镜子里面的等式就是一个真正的等式镜里镜子 镜外例5: 在△ABC 中，2ABC ACB ∠=∠，AD 是角平分线，求证：AB+BD=AC 注：本解法的实质是作△ACD 关于AD 的对称图形，△AED 这表明若题设中没有角平分线，有时以角平分线为对称轴做对称变换，可使已知条件集中起来，便于解题。
例6: 如图正方形ABCD 中，M 、N 是AD 、BC 中点，把点C 沿BE 对折使点C 落在MN 上的F 点，问此时EBC ∠的度数是多少？解析：要确定EBC ∠的度数就是要考虑EBC ∠形成的原因，根据已知条件EBC ∠的形成是因沿BE 对折使点C 落在MN 的F 点，那么这种对折的关系就相当于利用了轴对称的知识，同时又因为MN 是正方形的对称轴的一部分，故又可形成新的轴对称的关系，所以这是轴对称关系应用的问题。
例7：如图，已知：△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，EF 为AD 的垂直平分线 ，EF 、BC 交于F ，求证：DF 2=FC ×FB 。
分析：这个题目中既有角平分线又有线段的垂直平分线，它们分别是这两个基本图形的对称轴，若要翻折将那一部分翻折？结合结论中的线段DF 、FC 、FB都在一条直线上证明起来很不方便，因此考虑到将△DFE沿着直线EF（EF为线段AD的对称轴）翻折。
故连结A、F。
这时，只要证明AF2=FC×FB，只要证明△ACF∽△ABF，只要证明∠FAC=∠FBA。
由于FA=FD，所以∠FAD=∠FDA，∠ADF=∠B+∠BAD，∠FAD=∠FAD+∠CAD，而∠BAD=∠CAD为已知，故命题得证。
例8：如图，在等腰直角三角形ABC中，E、F分别是底边BC上的两点，且∠EAF=45°求证：以BE、EF、FC 为边的三角形为直角三角形。
分析：线段BE、EF、FC在一条直线上，要证明它们能组成直角三角形，关键是将它们移到一个三角形中以便于找到其边或角之间的关系。
所以将△ACF沿着直线AF翻折得到△ADF，这时DF=CF，考虑到移动的目的，连结DE并期望着DE=BE。
故想到证明△ABE≌△ADE。