1.Sx、Sy可以是任意正数 2.Sx、Sy<1，则物体缩小 3.Sx、Sy>1，则物体放大 4.Sx、Sy＝1，则物体大小形状不变
5.2.2 比例变换
如果令
则比例变换可以表示成以下的矩阵形式：
5.2.3 旋转变换
旋转变换：物体上的各点绕一固定点沿圆周路径作转动称为旋转变换。 可用旋转角表示旋转量的大小。 一个点由由位置（x，y）旋转到（x’，y’）的角度为自水平轴算起的角 度，为旋转角，可由三角关系得：
平移变换的矩阵形式缩写为：
5.3.2 几何变换的齐次坐标表示
2.比例变换 比例变换的矩阵形式为：
缩写为： 式中： 是用参数Sx及Sy表示的3×3的比例变换矩阵。
5.3.2 几何变换的齐次坐标表示
3.旋转变换 旋转变换矩阵形式为：
缩写为： 式中：
为一个含有参数的3×3的旋转变换矩阵。
5.3.3 其他变换
Ys
VYT WYT
VYB WYB
Yw
WYB VYB
5.1 窗口到视区的变换
三、窗口区和视图区的坐标变换
如令 a＝（VXR-VXL）/(WXR-WXL) b＝VXL-WXL•（VXR-VXL）/(WXR-WXL) c=(VYT-VYB)/(WYT-WYB) d＝VYB-WYB •(VYT-VYB)/(WYT-WYB)
2.窗口区：用户指定的任一区域(W) • 窗口区W小于或等于用户域WD • 小于用户域的窗口区W叫做用户域的子域。
• 窗口可以有多种类型，矩形窗口、圆形窗口、多边形窗口等等 • 窗口可以嵌套，即在第一层窗口中可再定义第二层窗口，在第I层窗
口中可再定义第I+1层窗口等等。
5.1窗口到视区的变换
二、屏幕域和视图区
5.1 窗口到视区的变换
三、窗口区和视图区的坐标变换
设窗口的四条边界WXL,WXR,WYB,WYT 视图的四条边界VXL,VXR,VYB,VYT 则用户坐标系下的点（即窗口内的一点）(Xw,Yw)对应屏幕视图区
中的点（Xs,Ys），其变换公式为
X
s
VXR VXL WXR WXL
X w
WXL VXL
5.2.3 旋转变换
相对于坐标原点的旋转变换公式：
如果令
则有
5.3 二维几何变换的齐次坐标表示
5.3.1齐次坐标技术
三种基本几何变换的矩阵表示形式：
平移变换的处理方法与其他两种变换的形式不一样，希望能够用 一种一致的或同类的方法来处理这3种变换，使得这3种基本变 换能很容易地结合在一起，形成各种复杂的组合变换。
1.屏幕域(DC)： 设备输出图形的最大区域，是有限的整数域。如图形显示器
分辨率为1024768→DC[0..1023][0..767]
2.视图区：任何小于或等于屏幕域的区域 • 视图区用设备坐标定义在屏幕域中 • 窗口区显示在视图区，需做窗口区到视图区的坐标转换。 • 视图区可以有多种类型：圆形、矩形、多边形等。 • 视图区也可以嵌套区的变换 5.2 二维基本变换 5.3 二维几何变换的齐次坐标表示 5.4 组合变换 5.5 三维几何变换
5.1 窗口到视区的变换
一、用户域和窗口区
1 .用户域：程序员用来定义草图的整个自然空间(WD)
• 人们所要描述的图形均在用户域中定义。 • 用户域是一个实数域，理论上是连续无限的。
5.2 二维基本变换
图形变换一般是指对图形的几何信息经过几何变换后产生新的图 形。
对于线框图的变换，通常以点变换作为基础，把图形的一系 列顶点作几何变换，连接新的顶点系列即可产生新的图形 对于用参数方程描述的图形，可以通过参数方程作几何变换， 实现对图形的变换
5.2.1 平移变换
平移是一物体从一个位置到另一个位置所作的直线移动。如果要 把一个位于P（x，y）的点移到新位置p’（x’，y’），则只要在 原坐标上加上平移距离Tx和Ty即可
5.3.1齐次坐标技术
使用齐次坐标表示法在计算机图形处理中的优越性： （1）将平移、旋转、缩放3种变换用统一的方式，即用矩阵乘积的方式表 达。提供了用矩阵运算将二维、三维或更高维空间中的一个点集从一个坐 标系变换到另一个坐标系的有效方法。 （2）可以表示无穷远点 齐次坐标（hx，hy，h）
h0时，随着h的变化，每个齐次点代表了空间的一条线 将3个坐标都除以h，得到（x，y，1）代表该直线与（x，y，w）空 间中h＝1平面交的点。 h＝0，代表该直线趋于无穷远点。
简化为：YXs
s
a c
X Yw
w
d
b
(1)式
5.1 窗口到视区的变换
三、窗口区和视图区的坐标变换
简化为：YXs
s
a c
X Yw
w
d
b
(1)式
1) 当ac时，即x 方向的变化与y方向的变化不同时，视图中的图 形会有伸缩变化，图形变形。
2) 当a=c=1，b=d=0,且窗口与视图区的坐标原点也相同，则在视 图区产生与窗口区相同的图形。
5.3.1齐次坐标技术
齐次坐标： 基本思想：把一个n维空间的几何问题，转换到n＋1维空间中去解决。 形式：用一个有n＋1个分量的向量去表示一个有n个分量的向量的方法
如二维平面上的点（x，y）的齐次坐标表示为（ hx，hy ，h），h是任 一不为0的比例系数。 齐次坐标表示（x，y，h）二维笛卡儿直角坐标（x/h，y/h） 规格化齐次坐标：齐次坐标表示不是唯一的，通常将h＝1时的齐次坐标称 为规格化的齐次坐标。
平移距离（Tx，Ty）称为平移向量或向量。 如果用向量形式来表示位移前后的两个点
5.2.1 平移变换
平移向量表示为：
那么，可以用矩阵相加来表示P点的位移
记为：
5.2.2 比例变换
比例变换：用来改变一物体大小的变换，也称为缩放变换。 如果要对一个多边形进行比例变换，那么可把各顶点的坐标（x，y） 均乘以比例因子Sx，Sy，以产生变换后的坐标（x’，y’）
5.3.2 几何变换的齐次坐标表示
由于齐次坐标表示的点是用3个分量的行向量来表示的，这样变换矩阵也必 须是3×3的矩阵，以便于矩阵相乘，当然变换后得到的点也是有3个分量的 齐次坐标。 1.平移变换 平移矩阵可写为：
5.3.2 几何变换的齐次坐标表示
1.平移变换 对含有平移距离Tx及Ty的3×3的变换矩阵，可引入缩写符号