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第1.1节
n阶行列式的定义
本节从二、三阶行列式出发，给 出n阶行列式的概念. 基本内容： 二阶与三阶行列式 排列及其逆序数 n阶行列式定义 转置行列式
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a11 a12 记号： a21 a22
它表示数：
称其为二阶行列式 .
a11a22 a12a21
即
a11 a12 a21 a22
奇偶排列: 若排列i1i2…in的逆序数为奇（偶）数， 称它为奇（偶）排列.
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逆序数的计算方法
并规定从小到大 不妨设元素为 1至n的自然数， 设i1i2 in为一个n级排列。 为标准次序。 考虑元素i j (i 1,2 n), 如果比i j 大，且排在 i j前面的元素有 t j 个， 那么ji的逆序是t j 个， 全体元素
逆序之和就是 i1i2 in的逆序数， 即
N (i1i2 in ) t n t n1 t1
例2
t
j 1
n
j
N(n(n-1)…321) =0+1+2+…+(n-1)=n(n-1)/2
n!个） 称为一个n级排列（总数为 . 如：由1,2,3可组成的三级排列有3！=6个： 123 132 213 231 312 321 注意:上述排列中只有第一个为自然顺序(小大),其 他则或多或少地破坏了自然顺序(元素大小与位置相
反)——构成逆序.
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(2)排列的逆序数

定义： 在一个n 级排列i1i2…in中，若某两数的前 后位置与大小顺序相反,即is>it(t>s),则称这两数构 成一个逆序.排列中逆序的总数,称为它的逆序数， 记为N (i1i2…in).
例２
1 (1)当 为何值时，D 0,
(2)当 为何值时
设 D
3

2

3
,
D 0.
2 3 0 0，或 3 2 2 D
解
3
1
例3
求二阶行列式
a 1 b 2
(2)三阶行列式 记号
a11 a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
1 0 1 3 5 0 4
2
0 1
x 1 x2

1 0 1 3 5 0 4
( x 1) ( x x 1) 1 x 2 x2 x 1 x3 1 2 x
1
0 1 5 1 1 3 4 7 1
§1.2
1.排列及其逆序数
n阶行列式
(1)排列 由自然数1,2,…,n,组成的一个有序数组i1i2…in
a21 a22 a31 a32
可以用对角线法则来记忆如下.
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主对角线法
a11
a12
a13 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a33 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32
a21 a22 a31 a32
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例4 计算三阶行列式
6 2 8
例6 a, b R,
a , b 满足什么条件时有
a b 0 b a 0 0 1 0 1
解
a b 0 2 a b a 0 b2 1 0 1
由题可得，即使
a 2 b2 0,
a, b R, a b 0.
即 a b 0 时， 给定的行列式为零．
1 2 4 D 2 2 1 3 4 2
解:由主对角线法，有
D 1 2 ( 2 ) 2 1 ( 3 ) ( 4 ) ( 2 ) 4 ( 4 ) 2 ( 3 ) 2 ( 2 ) ( 2 ) 1 1 4 4 6 32 24 8 4
例7
a
1 0
1 a 0 0 的充分必要条件是什么？ 4 1 1
解
a 1 4
2
1 a 1
0 0 a2 1 1
a1
或 a 1
a 1 0
1 a 0 0 a 1 或 a 1
4 1 1
a 1 0
练习： 计算下列行列式
x 1 x
解
2 2
1 x x 1
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14
例5
1 4 1 1 0 1 2 0 0 0 2 0 3 5 1 0 6 2 5 (1) 3 4 0 3 0 (1) 2 4 6 1 5 0) 1 0 0 3 1 2 ( 1) 0 0 3 1 0 1
a11a22 a12a21
数a（ ij i, j 1,2)称为它的元素。
今后对任何行列式，横 排称为行， 竖排称为列 ,
aij中i称为行标, j称为列标, aij 表示第i行第j列元素, 左上角到右下角表示主对角线，
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右上角到左下角表示次对角线， 例１
5 1 3 2
5 2 (1) 3 13
第1章 行列式
行列式是线性代数的一个重要组 成部分.它是研究矩阵、线性方程组、 特征多项式的重要工具.本章介绍了n 阶行列式的定义、性质及计算方法， 最后给出了它的一个简单应用——克 莱姆法则.
第1章

行列式
n阶行列式的定义 行列式的性质 行列式按行（列）展开 克莱姆法则—行列式的一个简单应用 数学实验
称为三阶行列式.
它表示数
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32
即
7
a11
a12
a13 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a33 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32
例1
N (2413)=3
N(312) =2
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(2)排列的逆序数

定义： 在一个n 级排列i1i2…in中，若某两数的前 后位置与大小顺序相反,即is>it(t>s),则称这两数构 成一个逆序.排列中逆序的总数,称为它的逆序数， 记为N (i1i2…in).
例1

N (2413)=3
N(312) =2