数列专练（裂项相消法）
1. 已知数列{}n a 的前项和2
2n S n n =+；
（1）求数列的通项公式n a ；（2）设1234
1
23111
1
n n n T a a a a a a a a +=++++
，求n T ．
2. 已知数列{}n a 的前项和为n S ，且满足213
(1,)
22n S n n n n N *=+≥∈
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设n T 为数列⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧
+11n n a a 的前n 项和，求使不等式20121005>n
T 成立的n 的最小值.
2. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，()11
1,2,3,
2
n n a S n +==．
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）当()312
log 3n n b a +=时，求证：数列11n n b b +⎧⎫⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和1n n
T n =
+.
3. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，点),
(n s n n 在直线2
1121+=x y 上，数列{}n b 满足0212=+-++n n n b b b ，()
*N n ∈，113=b ，且其前9项和为153.
（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）设)
12)(112(3
--=n n n b a c ，求数列{}n c 前n 项的和n T .
4. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n S a =-，(1,2,3)n =⋅⋅⋅；数列{}n b 中，11,b = 点
1(,)n n P b b +在直线20x y -+=上．
（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）设数列12n b +⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前n 和为n S ，求12111
n
S S S ++
+
；
5. 设{}n a 是正数组成的数列，其前n 项和为n S ，并且对于所有的n N *
∈，都有2)2(8+=n n a S .
（1）写出数列{}n a 的前3项；
（2）求数列{}n a 的通项公式(写出推证过程)； （3）设14+⋅=n n n a a b ，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求使得20
m T n <对所有n N *
∈都成立的最小正
整数m 的值.
6. 数列{}n a 前n 项和为2
2n S n n =+，等比数列{}n b 各项为正数， 且11b =，{}
n a b 是公比为64的
等比数列．
（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）证明：
11S ＋21S ＋……＋n S 1＜4
3．
7. 等差数列{}n a 中，前三项分别为45,2,-x x x ，前n 项和为n S ，且20k S =． （1）求x 和k 的值； （2） 求和：123
3333n n
T S S S S =++++
．
8. 已知等差数列{}n a 的首项11a =，公差0d >，且第二项、第五项、第十四项分别是一个等比数列的第二项、第三项、第四项． （1）求数列{a n }的通项公式；
（2）设()
()1
3n n
b n N n a *
=
∈+，123n
n S
b b b b =++++，是否存在t ，使得对任意的n 均有
36
n t
S >
总成立？若存在，求出最大的整数t ；若不存在，请说明理由．
9. 设数列
{}
n a 的前n 项和为
n
S ，点
(,
)()n
S n n N n *∈均在函数32y x =-的图像上.
（1）求数列
{}
n a 的通项公式；
（2）设
13+=
n n n a a b ，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求使得20n m
T <
对所有n N *∈都成立的最小正
整数.
2. 解：（1）111)1,2
n a S ===当时
………………………………………………2分
22113132)2,(1)(1)2222 1
n n n n a S S n n n n n -⎡⎤
≥=-=+--+-⎢⎥⎣⎦=+当时………………6分
12,1()n a a n n N *=∴=+∈ ……………………………………………………7分
（2）)
2(1
)1(1)2)(1(111+-+=++=+n n n n a a n n
，……………………………9分 )
2(221212111....41313121+=
+-=+-+++-+-=
∴n n
n n n T n …………11分 10051005,201020122(2)2012
n n T n n >
>∴>+又得 ........................13分 2011n ∴的最小值为 (14)
5. 解:(1) n=1时 2
118(2)a a =+ ∴12a = n=2时 2
1228()(2)a a a +=+ ∴26a =
n=3时 2
12338()(2)a a a a ++=+ ∴310a = …………4分 (2)∵28(2)n n S a =+ ∴2
118(2)(1)n n S a n --=+>
两式相减得: 2218(2)(2)n n n a a a -=+-+ 即22
11440n n n n a a a a -----=
也即11()(4)0n n n n a a a a --+--=
∵0n a > ∴14n n a a --= 即{}n a 是首项为2,公差为4的等差数列 ∴2(1)442n a n n =+-⋅=- …………10分 (3)1441111
()(42)(42)(21)(21)2(21)(21)
n n n b a a n n n n n n +=
===-⋅-+-+-+
∴12111111
[(1)()(
)]2335
(21)(21)
n n T b b b n n =++
+=-+-+
+--+
11111(1)2212422
n n =
-=-<++ …………14分 ∵20n m T <
对所有n N +∈都成立 ∴
1
202
m ≥ 即10m ≥ 故m 的最小值是10 …………16分
6. 解：（1）113a s ==， 2n ≥时，{}
22
1(2)(1)2(1)21n n n a S S n n n n n -=-=+--+-=+
设{}n b 公比为q ，则2
1253
64a a b b
q b b ===，
因为{}n b 各项为正数所以8q =，18,21n n n b a n -∴==+（2）211111()222
n S n n n n ==-++ 11S ∴
＋21S ＋……
111111111
(1)2324352
n S n n =-+-+-+⋅⋅⋅+-+ 111131113
(1)()22124212
4
n n n n =+--=-+++++ 所以不等式得证。

9. 解: (1) 由题意得 32n
S n n =- , 即 232n S n n =-,
当2n ≥时 , 22132[3(1)2(1)]65n n n a S S n n n n n -=-=-----=-,
当1n =时, 111615
a S ===⨯-, ∴
165()
n n n a S S n n N *-=-=-∈,
(2) 由(1)得
133111()(65)(61)26561n n n b a a n n n n +=
==--+-+,
∴
111111
[(1)()(
)]277136561n T n n =-+-+
+--+
11(1)
2
61n =-+ . 因此,使得11(1)()26120m n N n *-<∈+成立的m 必须且只需满足
1220m ≤
, 即10m ≥, 故满足要求的的最小正整数10m =。