特定数列求和法一错位相减法在高中所学的数列求合的方法有很多，比如倒序相加法、公式法、数学归 纳法、裂项相消法、错位相减法等等，在此处我们就只着重讲解一种特定数列求 和的方法一一错位相减法。
那到底什么是错位相减法呢？现在咱们来回忆当初学 习等比数列时老师是怎么一步步推导出等比数列的求和公式的，下面是推导过 程：数列a n 是由第一项为a i ，且公比为q 的等比数列，它的前n 项和是由已知有通过上述推导过程老师运用了一种特殊的推导方法将本来很复杂的运算简 化了，从而得到等比数列的求和公式， 这种方法叫错位相减法，那我们是不是遇 到复杂的运算就都可以用这种方法呢？答案当然不是，我们仔细观察这推导过 程，就会发现其实错位相减法是用来计算一个等比数列乘以一个等差数列而成的 复杂数列的。
可以归纳数学模型如下：S n a ia i q a i q 2 a i q n i ，求S n 的通项公式。
两端同乘以 q ，有i 时, i 时, 于是 S n a i a i q a i q 2 ...qs n aiq2 aiq3 a i q n...(1 q)s na ina i q由①可得由③可得S nsnS n n a i (q i)或者na ii)已知数列4是以a i 为首项，d 为公差的等差数列，数列 0是以b i 为首 项，q(q1)为公比的等比数列，数列C n a n b n ，求数列C n 的前n 项和.解由已知可知许许多多的高考试题以及课后习题证明了不是所有的数列题目都会很直接 地写明所求数列是一个等比数列乘以一个等差数列的形式， 通过对最近几年高考 中的数列题的分析总结出了以下几种错位相减法求和类型： 所求数列中的等差数列是已知这第一种类型的题顾名思义是所求的复杂数列中直接给出其中一个是等差 数列，则只要证明或者求出另一个是等比数列， 那么就可以用错位相减法来求解 该题，同时如果另一个不能被证明是等比数列就不能用错位相减法来求解， 得另找他法了 ■ 例1.(2013湖南文)设S n 为数列｛a n ｝的前n 项和，已知:a 1 0,2a n a 1 S 1 S n , n N(1)求a 1，并求数列｛a n ｝的通项公式 (2)求数列｛na n ｝的前n 项和.两端同乘以q 可得qC na1®q :a 1b 2a 2b 2qa ?b 3 asdq 83 匕4......an 1 bn 1q an b n qan 1bna nb n q由①-②得(1 q)C na 1b 1 d(b 2 b 3 ...b n 1b n ) a n b n q 化简得 C nCdd(b 2b 3 ... b n 1 b n )a nb n q /(qCnai b1a2b 2a3b3■■-i q分析：在本题中第二问要求的是数列｛na n ｝的前n 项和，其中的a n 我们不能 直接知道是什么数列，n 可以由做题经验看出是公差为1的等差数列，所以在本 题中要先求出a n ，证明是等比数列以后，贝財可以用错位相减法求解 b n .旦2a n i故数列｛a n ｝是由首项为i,公比为2的等比数列，所以数列｛a n ｝的通项公式为n ia n 2由⑴知，na n n 2n i .记数列｛na n ｝的前n 项和为B n .2B n i 2 2 22L n 2n(I )由已知，当n I 时,an i[( an i a n) ( anan i )2n i 2n 33(2 2 L 2)令n 2,得2a 2 iS 2i a 2 a 22 ，当n 2时，由2a n iS n ，2 a n i S n i解⑴令n 1得 a i a i 2 两式相减得因为a i 0所以a i12a n 2a n ia n于是B n2 n ii 2 2 3 2 L n 2②-①得n 2 n i、B n n 2 (i 2 2 L 2)i (nni) 2 .例2.(20I0新课标卷理)设数列 a n 满足a i2,an i an3(I) 求数列a n 的通项公式;(2) 令b n na n ，求数列的前n 项和S n(a 2 aj] a i1） 1 所以数列｛a n｝的通项公式为a n 22n1（2）由b nna n n 22n 1知S n 1 2 2 23 325L2n 1n 2，①从而22 S n 1 23 2 25 3 272n 1L n 2 ，②①-②得2 亠3 5 2n 1 2n 1(1 2 ) S n 2 2 2 L 2 n 2 ，即1S n 9 [（3 n 1）22n 12].9评析：在上述两个例题中的第一问中都是先求出了a n是等比数列，所以此时的na n就是一个等比数列乘以一个等差数列而成的复杂数列，符合模型要求，最后才可以用错位相减法快速地求出na n的前n项和.所求数列中的等比数列是已知这种类型的题与第一种类型题相反，就是在所求的复杂数列中直接写明其中一个是等比数列，只要求出或者证明另一个是等差数列，则我们就可以用错位相减法来求解该题，如果另一个不是等差数列则我们就不能用错位相减法来求解，下面我们又来看看这类题型的应用。
道是什么数列，要通过已知求解，-12 我们可以由做题经验看出是以公比为-的2例3. （2013辽宁理17）已知等差数列a n 满足a20，a6a810.(1) 求数列a n的通项公式;(2) 求数列孕7的前n项和.2n 1分析：在本题中最终要求的是数列許的前n项和'其中的a"不能直接知等比数列，故在本题中我们要先求出a n ，证明它是等差数列以后，贝財可以用 错位相减法求出数列 為 的前n 项和. 2 解(1设等差数列a n 的公差为d ，从已知条件可知道: a d o 2a 12d 10 解得d' 故数列a n 的通项公式为a n 2 n (2)设数列為的前n 项和为S n ，2 即a ? a 3 & 4 2 2 2 a n2* 1故S 1，所以当n 1时，①-③有： 鱼 2 a 2a r 2a 2 /鱼 22 a 12an 12* 1a3a222a. 2nanan 1a n 歹，2* 1又 a n an 1 1所以S n一a 1 (11小21)J 丿a n亠122 221Z1 n1 -尹2 n4 1 2n1 —2n 2n S 丄 n2门i例4. (2012江西理16)已知数列｛a n ｝的前n 项和为S n =—2+ kn(k € N *),并 2且S n 的最大值为8.(1)确定常数k ，并求a n ；9 2a⑵求数列｛ —的前n 项和T n .9 2a 分析：在本题第二问中要求的是数列｛-1 的前n 项和，其中的a n 不能直2 11 接知道是什么数列，要通过已知求解， 厶可以由数学经验看出是公比为 -的等22比数列，所以在本题中要先求出a n ，证明它是等差数列后，才可以用错位相减 法求出数列｛士学的前n 项和。
2n解（1）根据题目可知，当n = k € N *时，S=— ^n 2+ kn 取得最大值，即28=Sk =—『=期 16(k € N +),因此k = 4，从而-a n = Si — S —1= — n (n 》2).2an=2- n.（等差数列）T n = b l + b 2+…+ b n所以又 a 1 = S 1=—，所以将a n 代入b n 得b丄bn2n1T n= 2T n—T n2n评析：在上述两题中的第一题中先证明了 a n 是等差数列，所以此时的先在第一问求出了 S n 的公式，再根据这个公式求出了 电是等差数列，所以此时n的b n 也是一个等差数列与一个等比数列的乘积形式， 符合模型要求，最后我们在 这两个题中才借用错位相减法来快速地求出所求数列的前 n 项和. 所求数列中的等比数列和等差数列都未知求解这种类型的题的难度就比较大了，因为在所求的复杂数列中不能直接 明显地看出它其中包含的等差数列和等比数列， 则需要根据题目已知来找出或者 证明所求数列是一个等差数列与一个等比数列的乘积， 这样才能依据错位相减法来计算结果。
例5. （2013山东.理）设等差数列a n 的前n 项和为S n ，且S 4 4S 2,a 2n 2a . 1 （1） 求数列a n 的通项公式； （2） 设数列b n 的前n 项和T n ，且T n（为常数），令C n b ?n （n N ）.2求数列C n 的前n 项和R n .分析：本题中要求的是数列C n b 2n （n N ）的前n 项和，其中b 2n 不能直接 知道是什么数列，在第二问中又知道 b n 和a n 有关系，所以在本题的第一问中我 们要先求出a n ，再在第二问中将b n 求出，最后当C n 满足错位相减法的条件后我 们就可以用错位相减法来求解了 •解：（1）由S 4 4S 2,a 2n 2a n 1, a n 为等差数列，可得a 1 1,d 2 所以 a n 2n 1a * i就是一个等差数列与一个等比数列的乘积形式, 符合模型要求；第二题中,(2)由Tn2nb i T i 1 当n 2时,①-③可得所以当0时, @-®得当0时,Tn 1a n 1 12n 1n2b n 1 ，2nn1C n b2n 1 ，4n12n 1 R n 0 2 ---4424n 1 112n 1 R n 19,3 …… n 444443n1R n -n 199 4C n b2n1(n 1)^(n42)3n 19 4n 1例6. （2009上海青浦区）设数列a n的前n和为S n ,已知S1S4 -y，一般地，S n (n 1)24(2n 112 3(n23(2n 1)-1）,（当n为奇数时）（n（当n为偶数时）N*)(1)求a4 ；(2)求a2n ；（3）求和：3恂2 玄3玄4 玄5氏a2n 1a2n -它是数列，但可以抱着这样的心态来看看，通过第二问中的 和，也许可以转化为一个等差数列与一个等比数列的乘积形式,位相减法来求和了 • 解 （1）略.72 (2k ) 4(22k 1)32(2k) 4(22k 212 3(在上述两题中，都不能直接知道所求的是什么形式的数列，所以只 能从题目中找出相关条件，将所求的结论转化成一个等差数列与一个等比数列的 乘积形式，使之符合模型要求，这样才能在这两个题中借用错位相减法来快速地 求出所求结果。
总结数列求和不仅在高中数学中有着十分重要的作用，也是学习高等代数的基 础，有着承前启后的作用，本文通过对一般形式下错位相减法的运算再现， 使我 们体会错位相减法的内在规律，感受数学解题思想的魅力，其实我们学习错位相 减法，更重要的是总结其中所渗透的数学思想方法， 将数学思想和方法融为一体，(2)当 n 2k 时, (k N* )a2ks2kS 2k 1所以 a2n4n( n N* ).(3) (2) 同理可求得:32n 111(2n 1)，81829384959632n 132n =T i ，T n 4T n两式相减得 3T n 所以1 2 3 -[4 3 42 5 4331 2 3[42 3 43 5 3】[4 2（424332n 1n 1T n 丁 4(2n 1) 4n］ 44 4n) (2n 1) 4n1］， (2n 1) 4n1］， 32n 来求出那一串的 那么就可以用错 12 1) 22k评析:才能在解决数列求和问题上得心应手。